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第三章 杆件的基本变形


第三章 杆件的基本变形 这一章主要研究材料力学的有关内 容,主要研究各种构件在外力作用下的内 力和变形。在保证满足强度、刚度和稳定 性的前提下,为构件选用适宜的材料、确 定合理的截面形状和尺寸,以达到即安全 又经济的目的。 材料力学的研究对象主要是“杆件” , 所谓杆件是指纵向(长度方向)尺寸远比 横向(垂直于长度方向)尺寸大的多的构 件,例如柱、梁和传动轴等。杆有两个主 要的几何因素,即横截面和轴线。横截面 指的是垂直于轴线方向的截面,后者即为 所有横截面形心的连线。 杆件在外力作用下产生的变形,因外 力作用的方式不同而有下列四种基本形

式: (1) 轴向拉压变形; (2) 剪切变形; (3) 扭转变形, (4) 弯曲变形。 在工程实际中,有些构件的变形虽然 复杂,但总可以看作是由以上几种基本变 形组合而成,称为组合变形。 第一节 拉伸和压缩 在工程结构和机器中,有许多构件是 轴向拉伸和压缩作用。本节主要讨论轴向 拉伸的压缩时杆的内力和变形,并对材料 在受拉、压时的力学性能进行研究,从而 得出轴向拉、压杆的强度计算方法。 一、内力与截面法 1、内力的概念

杆件在外力作用下产生变形,其内部 的一部分对另一部分的作用称为内力。显 然,若外力消失,则内力也消失,外力增 大, 内力也增大。 但是对一定的材料来说, 内力的增加只能在材料所特有的限度之 内,超过这个限度,物体就会破坏。所以, 内力与强度是密切相关的。 2、截面法

m
F F

m ⅠF
N

F FN Ⅱ F

设一直杆,两端受轴向拉力 F 作用。 为了求出此杆任一截面 m-m 上的内力, , 我们可以假想用一个平面,沿截面 m_m 将

杆截断,把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分,取Ⅰ段 作为研究对象。在Ⅰ段的截面 m_m 上到处 都作用着内力,其合力为 FN。FN 是Ⅱ段对 Ⅰ段的作用力,并与外力 F 相平衡。由于 外力 F 的作用线沿杆件轴线,显然,截面 m_m 上的内力的合力也必然沿杆件轴线。 对Ⅰ段建立平衡方程: FN-F=0 得 FN=F 将受外力作用的杆件假想地切开用 以显示内力,并以平衡条件来确定其合力 的方法,称为截面法。 所以求杆件内力的方法—截面法可 概述如下: 截取代平 二、拉伸与压缩的受力、变形特点 构件一般都为直杆,因此在计算中

都可以简化为图 3-2 所示的受力简图。 由图可见,杆件拉伸和压缩的受力特 点是:作用与杆件上的外力合力的作用线 沿杆件轴线。 FD 作用线与杆轴线重合, 力 即垂直与横截面并通过截面形心,这样的 内力称为“轴力” 。 变形特点是:沿轴线方向产生纵向伸 长或缩短。凡以轴向伸长为主要变形特征 的杆件称为拉杆,以轴向压缩为主要变形 特征的杆件称为压杆。 求轴力的一般法则为:任一截面上的 轴力, 在数值上等于该截面左边 (或右边) 所有轴向外力的代数和。 在确定了拉(压)杆的轴力后,还不 能立即判断杆在外力作用下是否会因强 度不够而破坏。例如有两根材料相同的拉

杆,一根较粗,一根较细,在相同的轴向 拉力作用下,两杆的轴力相等,但细杆可 能被拉断而粗杆不断。要判断杆的强度是 否足够,必须知道横截面上的分布内力集 度,通常称为“应力” 。由于轴力沿横截 面的法线方向作用,与它相应的应力必然 沿此截面的法线方向,称为法向应力或正 应力,用符号σ表示。正应力σ为单位面 积上的内力,表示为:σ=FN/A 线应变ε为单位长度的伸长量。正应 力σ与线应变ε存在下列关系。 σ=E.ε 三、拉伸(压缩)时材料的力学性质 材料的力学性能主要有两个方面:一 是强度特性,二是变形特性。要正确认识 材料的力学性能, 就得进行试验。 在常温、

静载荷下的拉伸试验是研究材料力学性 能最常用、最基本的试验。试验采用的是 用低碳钢车制成的国家标准统一规定的 标准试件。L0 为试件的试验段长度,称为 标距,两端的粗头作为与试验机连接用的 接头。为了便于对不同粗细的试件在拉断 后工作段的变形程度进行比较,通常对圆 截面试件的标距 L0 与直径 d 的比值规定为 L0=10d 或 L0=5d。下面以低碳钢和铸铁 分别为塑性和脆性材料的代表做试验。 1、低碳钢拉伸时的力学性质 进行拉伸试验时,将试件安装在试验 机上,然后在试件上装上变形仪,开动试 验机,使试件承受逐渐增加的轴向拉力的 作用,拉力的数值可以从试验机的示力盘 上读出,试件的伸长量可以从变形仪上读

出。拉力逐渐增大,变形也随着增大。当 拉力增加到一定数值时,试件就被拉断, 试验结束。 在试验过程中,拉力 F 和试件的伸长 量△L 有一一对应的关系,如果以拉力 F 为纵坐标,以△L 为横坐标,根据两者的 对应关系,描绘出 F 与△L 的关系曲线, 称为拉伸图或 F-△L 曲线。许多试验机 上都有自动绘图设备,拉伸图可在试验过 程中自动绘出,它描绘了低碳钢试件拉伸 时外力和变形的变化关系的全过程。但 是,拉伸图还不宜用来表示材料拉伸时的 力学性能。因为拉伸图与试件尺寸有关, 在相同的拉力下,细长试件的变形较大, 而短粗试件的变形则较小。为了消除原始 尺寸的影响,获得反映材料性质的曲线,

通常采用σ=F/A 为正应力,ε=△L/L0 为应变,得到材料的应力-应变图,就可 较好地反映材料的力学性能。

y N F
60
0

x

W
D F B F

C A 4m
5.64 m

受力分析如下图所示:

RC C
DR D
D

A

RD RA

F

F

B

σ
σb σs σe σp

c c ab

d

e

O
阶段:

ε

低碳钢整个拉伸变形过程可分为四个 (1)弹性阶段:在这个阶段试件的 变形是弹性的。如果将试件上的荷载去 掉,变形可以全部恢复。在拉伸的初始阶 段,Oa 为一直线段,表示应力与应变成线

性关系,符合胡克定律。超过 a 点后,应 力和应变不在保持线性关系,所以,我们 把相应于直线最高点 a 点的应力σp 称为 材料的比例极限。低碳钢的比例极限σp= 200MPa 。随着试验继续下去,试件所受 的拉力增加,应力也增加,ab 段图线开始 变弯,说明σ与线应变ε不在是正比关 系,而所产生的变形仍为弹性变形。所以 我们把与比例极限非常邻近的 b 点所对应 的应力值σe 称为材料的弹性极限。它表 示卸载后材料不产生塑性变形的最大应 力值。由于σp 与σe 在数值上极为接近, 试验中很难准确测出,所以在实用上认为 两者是重合的。 (2)屈服阶段(bc 段) :荷载继续增 加,试件引力超过 b 点后,由 b 点逐渐发

展到 c 点,然后再由 c 到 c′,曲线的坡 度迅速减小,当拉力增加到某一值时,应 变急剧的增长,而应力却保持在一定的小 范围内波动,在图上出现接近水平的波状 线,这种现象好像钢材对外力“屈服”了 一样。所以这个阶段称为屈服阶段或流动 阶段。对应 c 点的应力值σs 称为材料的 屈服点。低碳钢的σs=240MPa。当应力 达到屈服极限σs 时,试件将产生显著的 塑性变形, 以致构件不能正常工作。 所以, 在进行构件设计时,一般规定钢材的最大 应力不得超过屈服极限σs。由此可见, 材料的屈服极限是衡量材料强度的一个 重要指标。 若试件经过抛光,则在试件表面上将 可看到大约与试件轴线成 45°方向的条

纹。这些条纹是因为材料沿试件的最大剪 应力面发生滑移所引起的,通常称为滑移 线。 (3)强化阶段:经过屈服阶段后, 试件由于塑性变形是内部的晶粒结构发 生了变化,材料抵抗变形的能力又有所增 强。这就是说,要使试件继续变形,就需 要增加拉力,故应力又随应变的增加而增 加,在图中形成上升的曲线 c′d,这种现 象称为强化,这一阶段称为强化阶段。对 应于最高点 d 点的应力σb 称为强度极限。 低碳钢的强度极限σb=400MPa。σb 是试 件被拉断前所能承受的最大应力值。它也 是衡量材料强度的一个重要指标。
(4)局部变形阶段(de

段)当应力达到

强度极限后,试件会在某一最薄弱的局部

范围内显著收缩,产生所谓“颈缩”现象。 由于试件截面急剧缩小,塑性变形迅速增 加,因此,荷载读数(即试件抗力)反而 降低,一直到试件断裂。 试件被拉断后保留下来的塑性变形, 可以用来说明材料塑性变形的程度。 2、铸铁拉伸时的力学性质: 由图可知,铸铁拉伸时从开始直到断 裂,变形都不显著,应力和应变都很小。 整个图线上没有明显的直线部分,也没有 屈服阶段。但在工程实际中,当σ-ε曲 线的曲率很小时,常以直线代替曲线σ- ε,近似的认为材料服从胡克定律。直线 的斜率 E=tanα,称为弹性模量。拉断时 的最大应力σb 为材料的强度极限。由于 脆性材料的抗拉强度σb 很低,不易用作

受拉构件的材料。 3、材料压缩时的力学性质 有很多材料,它们抗拉和抗压的力学 性能有很大的不同。因此,除了作拉伸试 验外,还必须作压缩试验。作压缩试验的 试件,一般采用方块体或高度稍大于直径 的圆柱体。 低碳钢的压缩试验,如图 3-8 所示, 在屈服阶段以前,压缩曲线和拉伸曲线是 重合的,因此,受压时的弹性模量、比例 极限和屈服极限与受拉时相同。所不同的 是:随着压力的增大,试件将愈压愈偏, 产生很大的塑性变形,所以受压曲线不断 上升,故无法测出材料的强度极限。 铸铁压缩时,无论强度极限或延伸率 都比拉伸时大的多,所以,铸铁易用作受

压构件。铸铁受压破坏时的断口与轴线约 成 45 角,这是因为 45 截面上的最大剪 应力超过材料的抗剪强度造成的。 四、许用应力和安全系数 当塑性材料的应力达到屈服极限,脆 性材料达到强度极限,构件都不能正常工 作。所以我们把它们通称为极限应力。 为了保证构件安全可靠的工作,必须 使构件的实际应力小于极限应力,并预留 一定的安全储备,为此,常将材料的极限 应力打一折扣,即除以一个大于 1 的系数 后,作为构件实际工作应力所不允许超过 的数值。这个应力称为材料的许用应力。 [σs]=σs/n 由上式可见,对许用应力数值的规 定,实质上是如何选择安全系数问题。从
0 0

安全考虑,应加大安全系数以降低许用应 力,但这要多耗材料和人力,造成浪费。 相反,从经济考虑,则需减小安全系数以 提高许用应力,这样虽可少用材料和人 力,但又有损于安全。因此,应该合理的 权衡安全经济这两个方面的要求,而不应 片面的把某一方面强调到不适当的程度。 一般说来,确定安全系数时,应综合 考虑以下几个主要因素。 (1)材料素质,包括材料的质地好 坏, 均匀程度, 是塑性材料还是脆性材料; (2)荷载情况,包括对荷载的估算 是否准确,是静荷载还是动荷载; (3)构件的重要性; (4)构件在使用期内可能遇到的意 外事故或其他不利的工作条件;

(5)计算简图和计算方法的精确程 度。 五、拉伸与压缩时的强度校核 为了保证构件安全可靠地正常工作, 必须使用构件的最大工作应力小于材料 的许用应力,即 σmax=FNmax/A=[σ] 在已知构件的材料、截面尺寸和所受 荷载的情况下,校核构件的强度是否满足 强度的要求。若能满足,说明构件的强度 足够,否则说明构件不够安全。 第三节 一、剪切 1、剪切的概念: 如图 3-11b 所示,构件在这样一对 大小相等、方向相反、作用线相隔很近的 剪切和挤压

外力作用下,截面沿着力的作用方向发生 相对错动的变形,称为剪切变形。在变形 过程中,产生相对错动的截面 m-m 称为剪 切面。 受剪切的零件的受力特点是:作用于 构件两侧面上外力的合力的大小相等、方 向相反, 且作用线相距很近。 变形特点是: 构件沿两力作用的截面发生相对的错动。 2、剪切和切应力 钢板在外力作用下使零件发生剪切 变形。此时,在零件内部产生一个抵抗变 形的力,称为剪力。运用截面法,可求出 该截面的内力-剪力,可知:剪力大小与 外力相等且与该受力截面相切。常用 FQ 表示。 由于剪力 FQ, 剪切面上有切应力 τ 存

在。切应力 τ 表示沿剪切面上应力分布 的程度,即单位面积上所受到的剪力。 τ=FQ/A 二、挤压 1、挤压的概念 在接触表面互相压紧而产生局部变 形的现象,称为挤压。 2、挤压应力 挤压面上单位面积所受到的挤压力, 称为挤压应力。 σB=FB/AB 三、剪切与挤压强度 1、抗剪强度 剪切面上的最大切应力,即抗剪强度 τmax 不得超过材料的许用切应力,表示 式为

τmax=FQ/A≤[τ] 2、挤压强度 挤压面上的最大挤压应力不得超过 挤压许用应力,即 σBmax=FB/AB≤[σB] 利用抗剪强度和挤压强度两个条件 式可以解决三类强度问题,即强度校核, 设计截面尺寸和确定许用载荷。 四、剪切与挤压在生产实践中的应用 第三节 圆轴扭转 一、扭转的概念 在一对大小相等、方向相反、作用面 垂直与轴线的两力偶作用下,它们的横截 面将绕轴线产生相对转动,这种变形称为 扭转变形。用钥匙开门,钥匙也会发生扭 转变形。

变形特点是: (1)在杆件两端受到大小相等、方 向相反的一对力偶的作用。 (2)杆件上各个横截面均绕杆件的 轴线发生相对转动。 二、圆轴扭转的外力矩计算 研究圆轴扭转问题的方法和研究拉 (压)杆的问题一样。首先,计算作用于 轴上的外力,然后再分析横截面上的内 力,建立应力和变形的计算公式,最后进 行强度、刚度计算。 作用于轴上的外力偶矩,通常不是直 接给出其数值,而是给出轴的转速和传递 的功率,此时需要按照理论力学中推导的 功率、转速、力矩三者的关系来计算外力 偶的数值。

Np=Mω M≈9550Np/n 三、扭矩计算 1、内力 求圆轴扭转时的应力-截面法。 2、符号规定 四、圆轴扭转时的应力分析 1、扭转现象与假设 我们从观察试验现象着手,取一等直 圆轴,在其圆柱表面划上一组平行于轴线 的纵向线和一组代表横截面的圆周线,形 成许多矩形(图 3-19) 。然后将其一端固 定,在另一端作用一个力偶面与轴线垂直 的外力偶矩。此时圆轴产生变形,在小变 形的情况下,可以看到: (1)各圆周线的形状、大小以及两

圆周线之间的距离均无变化,只是绕轴转 了不同的角度。 (2)所有纵向线仍近似地为一条直 线,只是倾斜了同一个角度,使原来的矩 形变成平行四边形。 由以上的观察,可得出圆轴扭转时的 基本假设(平面假设) : 扭转时,圆轴的横截面始终为平面, 形状、大小都不改变,只有相对轴线的微 小扭转变形,因此在横截面上无正应力而 只有垂直于半径的切应力。 2、切应力分布规律: 圆轴横截面上任一点的切应力与该 点所在圆周的半径成正比,方向与过该点 的半径垂直,切应力最大处发生在半径最 大处。

3、切应力计算公式: τ=MT.ρ/Ip 当 ρ=R 时,切应力最大,即 τmax=MT.R/Ip 令 Ip/R=Wt (1)实心圆轴 Ip=ΠD /32≈0.1D Wt= ΠD /16≈0.2D (2)空心圆轴 Ip=0.1D (1-α ) Wt= 0.2D (1-α ) 五、圆轴抗扭强度条件 圆轴扭转时的强度条件是:危险截面 上的最大切应力 τmax 不得超过材料的许 用剪应力[τ],即
3 4 4 4 3 4 4 3

τmax=MT/Wt

4、Ip 和 Wt 计算

τmax=MTmax/Wt≤[τ] 六、提高抗扭能力的方法 1、选用合理截面,提高轴的抗 扭 截 面系数 Wt。 2、合理安排受力情况,降低最大扭 矩 MTmax 第四节 直梁弯曲 一、弯曲的概念 弯曲变形在实际中是比较常见的一 种变形。如吊车的横梁等都会发生弯曲变 形。所以,当杆件受到垂直于其轴线的横 向外力或外力偶作用时,杆件将发生弯曲 变形。在工程中,凡是以弯曲变形为主的 构件都称为梁。 二、平面弯曲 若梁的横截面具有对称轴,对称轴与

梁的轴线构成对称面,且外力(包括荷载 和支座反力)都作用在包含此对称轴的纵 向平面内,则变形后的梁轴线将仍在此纵 向平面内,这种弯曲称为平面弯曲。 三、梁的基本形式 梁的支座形式与载荷的作用形式是 复杂多样的。为了便于分析与计算,必须 进行简化。根据简化的结果绘制计算简 图,然后进行力学计算。计算简图是进行 力学计算的依据,它必须确切的反映梁的 约束与载荷的实际情况,以保证计算结果 的准确性。 通常按照支座对梁的约束情况,将其 简化为下列三种典型形式。 (1)简支梁:一端固定绞支承,另 一端可动绞支承的梁。

(2)悬臂梁:一端固定铰支撑,林 一端自由的梁。 (3)外伸梁: 具有一个或两个外伸 部分的梁。 四、梁的内力(剪力和弯矩图) 当作用在梁上的全部外力(包括荷载 和支座反力)均为已知时,即可用截面法 求出梁上任一截面处的内力。 1、首先求出梁上所受外力 FRA=F.b/L FRB=F.a/L 2、用截面法求内力 (1)在截面 m-m 处假想地把梁切为 两段。 (2)取左端为研究对象。 (3)建立平衡方程:

由 ΣF=0 得:FRA-FQ=0 由 ΣM=0 得:M= FRA·x

FQ= FRA

3、剪力和弯矩符号的规定 剪力符号规定:左上、右下为正,反 之为负。 弯矩符号规定:使梁微段上凹为正, 反之为负。 4、建立剪力、弯矩方程,绘制剪力、 弯矩图 例 3-5:解: (1)求支反力: 由 ΣMB=0 ΣMA=0 得: FRA=F·b/L FRB=-F·a/L F·b-FRA·L=0 FRB·L+F·a=0

(2)列 FQ、M 方程: FQ(x)= FRA- F= F·b/L(0<x<a) M(x)= FRAx-F(x-a)= F·a/L(L-x),

(0≤x≤a) (3)作 FQ、M 图 五、梁的强度 1、纯弯曲 梁上各截面内剪力为零、弯矩为常数 时的弯曲变形,叫做纯弯曲。 2、正应力 (1)变形后横线仍为直线且于梁弯 曲后的轴线保持垂直,只是相对转动了一 个角度。 (2)纵线在变形后成了弧线,梁上 部凹边纵线缩短,下部凸边纵线伸长。 如果设想梁是由无数纵向纤维所组 成,则梁内必有一层纤维即不伸长也不缩 短,我们把这层纤维称为“中心层” 。中 性层把变形后横截面分成两个不同的区

域,即受拉区和受压区。中心层与横截面 对交线称为“中性轴” 。 由以上观察到的现象,通过判断和推 理可以作出如下的假设: (1)纯弯曲时,梁的横截面仍保持 为平面,这就是“平面变形假设” 。 (2)各纵向纤维间互不挤压。因此, 在正应力作用下,各纵向纤维只承受单向 拉伸或压缩。 (3)据中性轴等远处的各纵向纤维 变性相同,也就是说,各纵向纤维的变形 与它们在截面宽度上的位置无关。 4、梁的强度: σmax=Mmax/Wz≤[σ] 六、提高抗弯能力的方法 1、梁的截面形状

梁的截面形状有圆形、矩形、槽形、 工字形等。选择合理的截面,调节截面几 何性质可达到提高强度和节省材料的目 的。 2、合理布置载荷 (1)集中载荷作用。 (2)适当调整梁的支座位置,也可 降低最大弯矩值。 (3)将集中载荷靠近支座可降低最 大弯矩值。 3、采用变截面梁 4、提高抗弯刚度的措施 (1)缩短梁的长度。 (2)在不能缩短梁的长度的情况下, 增加梁的支承约束。 (3)改变梁的截面形状,尽可能采

用工字形、箱型薄壁构件。 (4)改善结构设计。 第五节 组合变形间接 一、组合变形的概念 把构件在载荷作用下,同时发生两种 或两种以上的基本变形称为组合变形。 二、拉(压)弯组合变形 三、弯扭组合变形 四、压杆稳定性 第六节 影响杆件变形的其他因素 1、交变载荷对杆件变形的影响 2、冲击载荷对杆件变形的影响 3、失稳现象对杆件变形的影响 4、引力集中对杆件变形的影响



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