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2014世纪金榜二轮专题检测卷(十三) 专题四 第三讲



专题检测卷(十三)
与数列交汇的综合问题 (40 分钟) 一、选择题 1.(2013·青岛模拟)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9, 则 lo 错误!未找到引用源。(a5+a7+a9)的值是( A.-错误!未找到引用源。 引用源。 2.(2013·济宁模拟)设向量 a=(an+1,-1),b=(1,2an),若

a⊥b,则各项不为零的数 列{an}是 ( A.等比数列 C.常数列 ) B.等差数列 D.单调递增数列 B.-5 ) C.5 D. 错误!未找到

3.(2013·济南模拟)在数列{an}中,an=错误!未找到引用源。则数列{an}的前 70 项的和 S70= ( A.254 B.1270 C.2540 D.5080 )

4.(2013·烟台模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f 错误!未找 到引用源。=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足 a1=-1,且 Sn=2an+n(其中 Sn 为{an}的前 n 项和),则 f(a5)+f(a6)= ( A.3 B.-2 ) C.-3 D.2

5.设函数 f(x)=x 错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 ,A0 为坐标原点,An 为函数 y=f(x)图象上横坐标为

n(n∈N*)的点,向量 an=错误!未找到引用源。,向量 i=(1,0),设θ n 为向量 an 与向 量 i 的夹角,满足错误!未找到引用源。tanθ k<错误!未找到引用源。的最大整 数 n 是( A.2 二、填空题 6.(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后 每 天 植 树 的 棵 数 是 前 一 天 的 2 倍 , 则 需 要 的 最 少 天 数 n(n ∈ N*) 等 于 . ) B.3 C.4 D.5

7.对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则错 误!未找到引用源。的前 n 项和是 .

8.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 三、解答题 9.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=错误! 未找到引用源。 Sn+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列错误!未找到引用源。的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 Tn<错误!未找 到引用源。的 n 值. 10.(2013·天津高考)已知首项为错误!未找到引用源。的等比数列{an}不是递 减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 Tn=Sn-错误!未找到引用源。(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的 值. .

11.某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告 宣传,广告费为 n(n∈N*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出错误!未找到引 用源。千克. (1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s. (2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式. (3)当 a=50,b=200 时,要使厂家获利最大,销售量 s 和广告费 n 分别应为多少?

答案解析
1.【解析】选 B.由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 log3an+1-log3an=1,即 log3 错误! 未找到引用源。=1,解得错误!未找到引用源。=3,所以数列{an}是公比为 3 的等 比数列.因为 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以 a5+a7+a9=9×33=35. 所以 lo 错误! 未找到引用源。 (a5+a7+a9)=lo 错误! 未找到引用源。 35=-log335=-5. 2.【解析】选 A.因为 a⊥b,则 a·b=(an+1,-1)·(1,2an)=an+1-2an=0,又数列{an}各 项不为零,故错误!未找到引用源。=2,所以数列{an}是等比数列. 3.【解析】选 C.由 an=错误!未找到引用源。可知,a1=a8=a15=…=a64,a2=a9=a16=… =a65,…, S70=a1+a2+a3+…+a70=10(a1+a2+a3+…+a7)=10×错误!未找到引用源。=2 540. 4.【解析】选 A.因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,f(-x)=-f(x),因为 f 错误!未找到引用源。 =f(x),所以 f 错误!未找到引用源。 =-f(-x), 所以 f(3+x)=f(x), 所 以 f(x) 是 以 3 为 周 期 的 周 期 函 数 , 因 为 a1=-1, 且 Sn=2an+n, 所 以 a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63, 所以 f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3. 故选 A. 5.【解题提示】an=错误!未找到引用源。,则 an=(n,f(n)),从而 tanθn=错误! 未找到引用源。. 【解析】选 B.由已知得 An 错误!未找到引用源。, 又 an=错误!未找到引用源。 引用源。, =错误!未找到引用源。=错误!未找到

tanθn=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。, 所 以 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 tan θ k= 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 + =2-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 验证知 n=3 符合错误!未找到引用源。tanθk<错误!未找到引用源。. 6.【解析】记第 n 天植树的棵数为 an,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比 数列,解 Sn=错误!未找到引用源。≥100 得 n=6. 答案:6 7.【解析】曲线 y=xn(1-x)=xn-xn+1,其导数为 y′=nxn-1-(n+1)xn,所以切线斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1, 切 点 为 (2,-2n), 所 以 切 线 方 程 为 y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令 x=0 得,y+2n=(n+2)2n,即 y=(n+1)2n,所以 an=(n+1)2n,所 以错误!未找到引用源。=2n,则错误!未找到引用源。是以 2 为首项,2 为公比 的等比数列,所以 Sn=错误!未找到引用源。=2n+1-2. 答案:2n+1-2 8.【解析】由题意知:错误!未找到引用源。解得 d=错误!未找到引用源。, a1=-3,所以 Sn=-3n+错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。, 即 nSn=错误!未找到引用源。,令 f(n)=错误!未找到引用源。, 则有 f′(n)=n2-错误! 未找到引用源。 ,令 f′(n)>0,得 n>错误! 未找到引用源。 , 令 f′(n)<0,得 0<n<错误!未找到引用源。.又因为 n 为正整数,所以当 n=7 时,f(n)=错误!未找到引用源。取得最小值,即 nSn 的最小值为-49.

答案:-49 9.【解析】(1)由 Sn+1=错误!未找到引用源。Sn+1 得,当 n≥2 时 Sn=错误!未找 到引用源。Sn-1+1, 所以,an+1=错误!未找到引用源。an,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。(n≥2), 又 a1=1,得 S2=错误!未找到引用源。a1+1=a1+a2, 所以 a2=错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。适合上式, 所以数列{an}是首项为 1,公比为错误!未找到引用源。的等比数列, 所以 an=错误!未找到引用源。. (2)因为数列{an}是首项为 1,公比为错误!未找到引用源。的等比数列, 所以数列错误!未找到引用源。是首项为 1,公比为错误!未找到引用源。的等 比数列, 所以 Tn=错误!未找到引用源。=3 错误!未找到引用源。, 又因为 Sn=2·错误!未找到引用源。-2, 所以由不等式 Tn<错误!未找到引用源。,得:错误!未找到引用源。>错误!未 找到引用源。, 所以 n=1 或 n=2. 【误区警示】本题易错点有两处:一是忽略对错误!未找到引用源。的讨论导致 解题不完整;二是最后对 n 取值时不全致误. 【变式备选】已知 f(x)=-错误!未找到引用源。,点 Pn 错误!未找到引用源。 在曲线 y=f(x)上且 a1=1,an>0(n∈N*).

(1)求证:数列错误!未找到引用源。为等差数列,并求数列{an}的通项公式. (2)设数列{错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。}的前 n 项和为 Sn,若 对于任意的 n∈N*,存在正整数 t,使得 Sn<t2-t-错误!未找到引用源。恒成立,求 最小正整数 t 的值. 【解析】(1)因为-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=4, 所以错误!未找到引用源。是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 所以错误!未找到引用源。=4n-3,因为 an>0,所以 an=错误!未找到引用源。. (2)设 bn=错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 所以 Sn=b1+b2+…+bn =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。, 对于任意的 n∈N*使得 Sn<t2-t-错误!未找到引用源。恒成立, 所以只要错误!未找到引用源。≤t2-t-错误!未找到引用源。, 所以 t≥错误!未找到引用源。或 t≤-错误!未找到引用源。,所以存在最小的 正整数 t=2 符合题意. 10. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所 以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。 .又{an}不是递减数列且 a1=错误!未找到引用源。,所以 q=-错误! 未找到引用源。 . 故等比数列{an}的通项公式为 an=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。

=(-1)n-1·错误!未找到引用源。 . (2)由(1)得 Sn=1-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,所以 1<Sn≤S1=错误!未找到引用源。, 故 0<Sn-错误!未找到引用源。≤S1-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 . 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以错误!未找到引用源。=S2≤Sn<1, 故 0>Sn-错误!未找到引用源。≥S2-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。 . 综上,对于 n∈N*,总有-错误!未找到引用源。≤Sn-错误!未找到引用源。≤错 误!未找到引用源。 . 所以数列{Tn}最大项的值为错误!未找到引用源。,最小项的值为-错误!未找到 引用源。 . 11.【解析】(1)当广告费为 1 千元时,销售量 s=b+错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。. 当广告费为 2 千元时,销售量 s=b+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. (2)设 sn(n∈N)表示广告费为 n 千元时的销售量, 由题意得,s1-s0=错误!未找到引用源。, s2-s1=错误!未找到引用源。, …… sn-sn-1=错误!未找到引用源。. 以上 n 个等式相加得,sn-s0=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错

误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。, 即 s=sn=b+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 +…+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=b 错误!未找到引用源。. (3)当 a=50,b=200 时,设获利为 Tn,则有 Tn=sa-1 000n=10 000×错误!未找到引用源。-1 000n =1 000×错误!未找到引用源。. 设 bn=20-错误!未找到引用源。-n, 则 bn+1-bn=20-错误!未找到引用源。-n-1-20+错误!未找到引用源。+n=错误! 未找到引用源。-1. 当 n≤2 时,bn+1-bn>0; 当 n≥3 时,bn+1-bn<0. 所以当 n=3 时,bn 取得最大值,即 Tn 取得最大值.此时 s=375. 即该厂家能获利最大时,销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元.



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