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解圆锥曲线问题常用方法(一)1



解圆锥曲线问题常用方法
【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 2、韦达定理法 弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” 即设弦的两个端点 , A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0

,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的 关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)

x y0 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 0 ? 2 k ? 0 。 2 2 a b a b x y0 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 0 ? 2 k ? 0 2 2 a b a b

(2)

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 4 3
y A P F H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为
F 0 ′

1

分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考虑问题。 例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。

y M D C 5 x

A

0B

例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5

例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。

例 6、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、 B、 m m ?1

C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。

2

【同步练习】

x2 y2 1、已知:F1,F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m , a b
△ABF2 的周长为( A、4a ) B、4a+m C、4a+2m D、4a-m ( )

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1, 0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、 )

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3

B、

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) 4 3
( )

C、

D、

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是

9 ( x ? ?1) 4 1 2 9 2 C、 x ? ( y ? ) ? ( x ? ?1) 2 4
A、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 2 9 ) ? y 2 ? ( x ? ?1) 2 4 1 2 9 2 D、 x ? ( y ? ) ? ( x ? ?1) 2 4
B、 ( x ?

5、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值。 25 9

3

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列, 若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB ? 4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程。

x2 y2 12、已知直线 l 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。求 a b
证: AB ? CD 。

4



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