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高一年级数学第二学期期中考试试卷



高一年级数学第二学期期中考试试卷
试卷页数:8 页 考试时间:120 分钟 一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分) 1、若 tan110? ? a, 则 cot 20 的值是
?

A、 ?a

B、 a

C、

2、点 P 在直线 MN 上,且 MP ? A


???? 1 2

1 2

B

?

???? ? 1 ???? PN ,则点 P 分 MN 所成的比为 2 1 1 C ? D2或 2 2

1 a

D、 ?

1 a

3、将向量 OA ? (4, ?3) 按 a ? (5, ?2) 平移后的向量为 A、 (4, ?3) B、 (?9,5) C、 (1,1) D、 (9, ?5)

??? ?

?

4、下列函数中,周期为 1 的奇函数是 A、 y ? 1 ? 2sin 2 ? x C、 y ? tan B、 y ? sin ? 2? x ?

? ?

??
? 3?

?
2

x
o

D、 y ? sin ? x cos ? x

5、若 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? 3, b ? 5 ,则 a ? b 等于 A、 17 6、已知函数 f ? x ? ? sin( B、7 C、

?

?

?

?

? ?

x ? ? ) cos( ? ? ),???x ? R,???? 是常数,当 x ? 1 时 f ? x ? 取最大值, 则 θ 的一个值是 2 2 ? ? 3? A. B. C. D. ? 4 4 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 7、已知四边形 OABC 中, CB ? OA, OA ? a , OC ? b , 则 AB ? 2 ? ? ? ? ? b ? a ? a a ? A B a? C b? D b? ?b 2 2 2 2 uur r uu u r r uuu r r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8、设 O、A、B、C 为平面上四个点,OA ? a ,OB ? b ,OC ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,a ? b ? b ? c ? c ? a ? ?1, ? ? ? 则 a ? b ? c 等于
A.2 2 B.2 3 C.3 2 D.3 3 ?

?

?

15 2

D、15

9、已知钝角 ? 的终边经过点 P?sin 2? , sin 4? ? ,且 cos ? ? 0.5 ,则 ? 的值为 A. arctan ??

? 1? ? ? 2?

?? 1? B. arctan

C. ? ? arctan

1 2

D.

3? 4

10、在 ?ABC 中, sin 2 A ? ?

1 ,则 cos A ? sin A 的值为 4

A、 ?

5 2

B、 ?

5 2

C、

3 2

D、
?? ?

5 2
?? ? 1 ?? ? 1 ?? ? CB ,连 DC 并延长至 E,使| CE |= | ED |, 4 2

11、平面上 A(-2,1) ,B(1,4) ,D(4,-3) ,C 点满足 AC ? 则点 E 坐标为: 5 A、 (-8, ? ) 3
?? ? ?

8 11 B、 (? , ) 3 3
?? ? ? ?? ?
?

C、 (0,1)

D、 (0,1)或(2,

11 ) 3

?? ?? ? a b ? 12、△OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ? ? ? ? ? , t ∈R,则点 P 一定在 ? a b ? ? ? ? ?
?

A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上 二、填空题: (每小题 3 分,共 12 分)

B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上

13、已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a =(2,3)同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为 14、函数 y ? 2 sin( 4 x ?
? ? ?

uuu r

r

uu u r

2? ) 的图象与 x 轴的各个交点中,离原点最近的一点的坐标为__________。 3

15、设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) ? 3a ? 2b ? ? ? 3a ? 2b ? ? 9 a
16、定义运算 a ? b 为: a ? b 三、解答题: 17、 (本题满分 6 分)

(1) a ? b c ? c ? a b ? 0 ; (2) a ? b ? a ? b ; (3) b ? c a ? c ? a b 不与 c 垂直
2

? ? ?

? ? ?

?

?

? ?

?2 ? 4 b 中,

? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

真命题是________________________

?a?a ? b ? ?? , 例如,1 ? 2 ? 1 ,则函数 f(x)= sin x ? cos x 的值域为 ? ? b a ? b ?



已知 M、O、N 三点共线,存在非零不共线向量 e1 ,???e2 ,满足: OM ? e1 ? ? cos ? ?

? ? ?? ?

???? ?

?? ? ?

? 1 ? ?? e ? 2, 4?

???? ?? ? ? 1 ? ?? ON ? e1 ? ? sin ? ? ? e2 , ? ??0,???? ? ,求 ? 的值。 4? ?
18、 (本题满分 8 分) 已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? m, ?(3 ? m)) . (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 19、 (本题满分 9 分) (1)已知 tan ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ?

??

? ? ?3 ,求 4?

sin ? ? 3cos ? ? sin ? ? 的值。 (4 分) 1 ? tan ?

BM 是中线, ?ABC 中,AC ? 2 AB , (2) 如图: D 在线段 BC 上, 且 DC ? 2BD , 用向量证明 AD ? BM 。
(平面几何证明不得分) (5 分)
A M

????

??? ?

????

??? ?

B

D

C

20、 (本小题满分 9 分) 已知: f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a.(a ? R, a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期;

, ] 上的最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 6 ?? (3)在(2)的条件下,函数 f ( x) 的图象先按 m 平移后再经过周期变换和振幅变换得到函数 y ? sin x 的图
象,求 m . 21、 (本小题满分 8 分) (普通班只做 (1) (2) ;教改班只做 ( 2) (3) ) .. .. 已知锐角△ABC 中, sin ? A ? B ? ?

(2)若 f ( x) 在[ ?

? ?

??

3 1 ,???sin ? A ? B ? ? , 5 5

(1)求 cos 2 A 的值; (2)求证: tan A ? 2 tan B ; (3)设 AB ? 3 ,求 AB 边上的高。

22、 (本小题满分 10 分) (普通班做) ...... 已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为

??

?

??

?? ? 3 ? ,且 m ? n?? ?1 . 4

?

? ? C , 向量 p ? (cos A, 2 cos 2 ) ,其中 A,C 为△ABC 的内角, 2 2 ? ? ? 且 A,B,C 依次成等差数列,试求| n? + p? |的取值范围。

?

?

?

22、 (本小题满分 10 分) (教改班做) ...... 已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 夹角为

?? ? 3 ? ,且 m ? n?? ?1 . 4 ? ? ? ? ? 2 C ) ,其中 A,C 为△ABC 的内角, (1)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为 , 向量 p ? (cos A, 2 cos 2 2 ? ? ? 且 A,B,C 依次成等差数列,试求| n? + p? |的取值范围。

??

?

??

(2)若 A、B、C 为△ABC 的内角,且 A,B,C 依次成等差数列, A ? B ? C ,设

f ? A? ? sin 2 A ? 2 ?sin A ? cos A? ? a2 , f ? A? 的最大值为 5 ? 2 2 ,关于 x 的方程

?? m ? ? ?? sin ? ax ? ? ? ???? a ? 0 ? 在 ?0,??? ? 上有相异实根,求 m 的取值范围。 3? 2 2? ? ?

第二学期期中考试

高一数学答卷纸
一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分) 考试号____________ 1 题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (每小题 3 分,共 12 分) 13、____________________。 14、____________________。 15、____________________。 三、解答题: 17、 16、____________________。

姓名__________ 班级__________



线











18、 (1)

(2)

19、(1)

(2)
A

M

B

D

C

20、

21、 (请普通班的同学把表格中相应位置的“○”涂黑;教改班的同学把表格相应中位置 的“○”涂黑)

普通班 ○

教改班 ○

22、 (请普通班的同学把表格中相应位置的“○”涂黑; 教改班的同学把表格相应中位置的“○”涂黑)

普通班 ○

教改班 ○

第二学期期中考试

高一数学答案
一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分) 考试号____________ 1 题 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 D 10 A 11 B 12 A



二、填空题: (每小题 3 分,共 12 分) 13、_______(5, 4)_______。 14、______ ?



?? ? ,???0 ? ________。 ? 12 ?
? ? 2? ? _______。 2 ?

姓名__________

15、_____(2) (4)_______。

16、______ ? ?1,???





三、解答题:

线

? ?1 ???? ? ???? ? ? 17、设 OM ? ? ON ? ? ? 1? 1 ??? ? cos ? ? 4 ? ? sin ? ? 4 ? ? ?
∴ sin ? ? cos ? ?

1 ?? 2 ? , ∴ sin ? ? ? ? ? 。 2 4? 4 ?

∵ ? ??0,???? ? , ∴ ? ?

3? 2 ? arcsin 4 4

18、 (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,

? AB ? (3,1), AC ? (2 ? m,1 ? m), 故知 3(1 ? m) ? 2 ? m
∴实数 m ?

1 时,满足的条件 2

(2) 若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 AB ? AC ,

? 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0
19、(1) ∵ tan ? ? ?

解得 m ?

7 4

? ?

??

? ? ?3 ,∴ tan ? ? 2 4?

sin ? ? 3cos ? ? sin ? ? 3 tan ? ? tan 2 ? 2 ∴ = = 2 1 ? tan ? ?1 ? tan ? ? ?1 ? tan ? ? 15
(2) : AD ?

? 1 ???? ???? ? ??? ? 1 ???? 2 ??? AB ? AC , BM ? ? AB ? AC , 3 3 2 ???? ???? ? 1 ??? ? 2 ???? 2 4 AB ? AC ? 0 ∴ AD ? BM ? 6 ∴ AD ? BM

????

A

?

?

M

B

D

C

20、? f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ? (1)最小正周期 T ?

?
6

) ? a ?1

2? ?? 2
3 3 6 6 2

(2) x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? ? ? [? ? , ? ]
6 6

??

1 ? ? s i n2 (x ? ) ? 1 2 6

即?

? f ( x) max ? 2 ? a ? 1 ? f ( x) min ? ?1 ? a ? 1

? 2a ? 3 ? 3 ? a ? 0
先向右平移 ? 12 再向下平移 1

(3) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

f ( x) ? 2 sin 2 x

?? ? m ? ( ,??? 1) 12

21、 (请普通班的同学把表格中相应位置的“○”涂黑;教改班的同学把表格相应中位置 的“○”涂黑) (1)∵ C ?

普通班 ○

教改班 ○

?
2

,∴ A ? B ?

?
2



∴ cos ? A ? B ? ? ? ,???cos ? A ? B ? ?

4 5

2 6 5 3?8 6 25

∴ cos 2 A ? cos ? ?? A ? B ? ? ? A ? B ?? ??? (2)把 sin ? A ? B ? ?

3 1 ,???sin ? A ? B ? ? 展开即可得证。 5 5 ? 3 3 (3)∵ ? A ? B ? ? ,????sin ? A ? B ? ? , ∴ tan ? A ? B ? ? ? 2 5 4 tan A ? tan B 3 ? ? , 又 tan A ? 2 tan B , 即 1 ? tan A tan B 4
∴ 2 tan B ? 4 tan B ? 1 ? 0 ,解得: tan B ?
2

2? 6 ,舍负值, 2

∴ tan B ?

2? 6 ,∴ tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6 2
CD CD ? , tan A tan B

设 AB 边上的高为 CD,则 AB ? AD ? DB ? 由 AB ? 3 得: CD ? 2 ? 6

22、 (请普通班的同学把表格中相应位置的“○”涂黑; 教改班的同学把表格相应中位置的“○”涂黑) (1)设 n ? ( x, y),由m ? n ? ?1 ,有 x ? y ? ?1 ①

普通班 ○

教改班 ○

由 m与n 夹角为 ? ,有 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ∴ | n |? 1, 则x 2 ? y 2 ? 1. ② 由①②解得 ?

3 4

3 ?. 4

? x ? ?1, ? x ? 0, ∴即 | n |? (?1,0) 或 n ? (0,?1). 或? ? y ? 0. ? y ? ?1.

(2)由 n与q 垂直知 n ? (0,?1). 由 2B=A+C 知 B ?

?

2 2? , A ? C ? ? ,0 ? A ? . 3 3 3

? ? ? ? C 若 n ? (0, ?1), 则 n ? p ? (cos A, 2 cos 2 ? 1) ? (cos A, cos C ), 2 ? ? ?2 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C 1 4 ?| n ? p | ? cos 2 A ? cos 2 C ? ? ? 1 ? [cos 2 A ? cos( ? ? 2 A)] 2 2 2 3 ?? 1 ? 2 ? ? 5 ? (3)A ? ? 0,??? ? , 设 ? 1 ? cos(2 A ? ).??? 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? ? , 3? 2 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 1 1 1 ? 5 1 5 ??1 ? cos(2 A ? ) ? . ? 1 ? cos(2 A ? ) ? .即| n ? p |2? [ , ). 3 2 2 2 3 4 2 4 ? ? ? 2 5 ?| n ? p |? [ , ). 2 2
t 2 ?1 sin A ? cos A ? t ,则 sin A cos A ? ,其中 t ? 1,??? 2 ? ? 2

?

f ? A? ? sin 2 A ? 2 ?sin A ? cos A? ? a2 = t 2 ? 1 ? 2t ? a 2 ? ? t ? 1? ? a 2 ? 2
2

∴ f max ? A? ?

?

2 ?1 ? a2 ? 2 ? a2 ? 1 ? 2 2 ? 5 ? 2 2

?

2

∴a ? 4
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 ∴方程 sin ? ax ?

? ?

??
??

m ?? m ? ? ? ???? a ? 0 ? ,即为 sin ? 2 x ? ? ? ??? 3? 2 3? 2 ?

∵该方程在 ?0,??? ? 上有相异实根,∴ ? ? 1?????即 3 ? m ? 2 。 2 2 2? ?

?

3

m



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