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高二数学 下册知识点精品训练题1 新人教A版



数学选修 4-5
一、选择题 1
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不等式选讲


特级教师 王新敞
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新疆 源头学子小屋
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<

br />特级教师 王新敞
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设 a ? b ? c, n ? N ,且 A
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2

B

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3

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是( ? ? a ?b b?c a ?c C 4 D 6
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若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A C
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x2 ? 2x ? 2 有( 2x ? 2



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最小值 1 最大值 ?1

B 最大值 1 D 最小值 ?1
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3

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设P ? A
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2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是(
B D
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P?Q? R Q?P?R

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P? R?Q Q?R?P
3 3 2 2

C 4

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设不等的两个正数 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是( A
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(1, ??)
?

B

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4 (1, ) 3

C

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4 [1, ] 3 1 a

D

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(0,1)

5

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设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A
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1 b

1 c



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0?M ?
?

1 8

B

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1 ? M ?1 C 8

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1? M ? 8

D

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M ?8

6

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若 a, b ? R ,且 a ? b, M ?
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a b , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 ? b a
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A M ?N 二、填空题
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B

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M ?N

C

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M ?N

D

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M ?N

1 2 3 4

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设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________ x

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比较大小: log 3 4 ______ log 6 7 若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

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若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________
5
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若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x

lg x

? y lg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____

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三、解答题

1

1

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如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围

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2

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a 2 ? b2 ? c2 a ? b ? c ? 求证: 3 3

3

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当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2 ? 2(n ? 1)
n

4

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已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1
2 2 2

求证: 1 ? a ? b ?

4 3

数学选修 4-5

不等式选讲

2

参考答案 一、选择题 1
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C

?

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ,而 恒成立,得 n ? 4 ? ? ? ? ? a ?b b ?c a ?c a ?b b?c a ?c
( x ? 1) 2 1 x ?1 1 1? x 1 y? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

2

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C

3

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B

? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;
又? 6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q

4

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B

a 2 ? ab ? b2 ? a ? b, (a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?

( a ? b) 2 4

所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ?
2

( a ? b) 2 4 ,得 1 ? a ? b ? 4 3

5

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D

M ?(
?

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

8 ab bc ac ?8 abc

6

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A

? a ? b,?

a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1
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3? 2 3

y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ymax ? 3 ? 2 3 x x
a b

2

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?

设 log3 4 ? a, log 6 7 ? b ,则 3 ? 4, 6 ? 7 ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3
a b b
a ?b

b

即3

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b b ? ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1, 2 ? 2 ,则 3 ? 7 7
? (12 ? 22 ? 32 )( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3z )2 ? a 2

3

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a2 14

3

即 14( x ? y ? z ) ? a ,? x ? y ? z ?
2 2 2 2

2

2

2

a2 14

4

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3

1 M ? (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4 3 ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 M min ? 3 4
lg( xlg x ? y lg y ? z lg z ) ? 1 ? lg 2 x ? lg 2 y ? lg 2 z ? 1
而 lg x ? lg y ? lg z ? (lg x ? lg y ? lg z ) ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x)
2 2 2 2

5

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12

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10

x ? y ? z ? 12
三、解答题 1
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解:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1

? ( x ? 3 ? x ? 4 ) min ? 1
当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1 2
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证明:? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c)
2 2 2 2 2 2

2

?

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c) 2 ? 3 9
a 2 ? b2 ? c2 a ? b ? c ? 3 3
n n 1 2 n 1 n ?1 n ? Cn ? 2(n ? 1)



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证明:? 2 ? (1 ? 1) ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn

? 2n ? 2(n ? 1) (本题也可以用数学归纳法)

4

4

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证明:? a ? b ? 1 ? c, ab ?

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c2 ? c 2

? a, b 是方程 x 2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c ? 0 的两个不等实根,
则 ?? (1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 ,得 ?
2 2 2

1 ? c ?1 3

而 (c ? a)(c ? b) ? c ? (a ? b)c ? ab ? 0 即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 2

2 3

所以 ?

1 4 ? c ? 0 ,即1 ? a ? b ? 3 3

5



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