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第3章 圆的基本性质 单元复习



第3章 圆的基本性质

复习课

本章主要知识内容



? ? ? ? ? ? ?

3.1圆的有关概念

3.2图形的旋转
3.3垂径定理 3.4圆心角 3.5圆周角 3.6圆内接四边形 3.7正多边形 3.8弧长及扇形的面积

3.1 圆的有关概念
1.圆:在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转 一周,另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆,定点O叫做 圆心,线段OP叫做圆的半径. ★圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 2.弦、直径:连结圆上任意两点的线段叫做弦, 经过圆心的弦叫做直径. ★直经是同圆 中最长的弦,直径等于半径的2倍. 3.弧、半圆:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧, 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条 弧都叫做半圆. ★注意“弦”与“弧”之间的区别.

4.劣弧、优弧:小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧 叫做优弧,注意优弧要用三字母表示.
5.等圆、等弧:半径相等的两个圆叫做等圆;能够重合的 圆弧叫做等弧. 6.点与圆的位置关系: 如果用r表示圆的半径,d表示同一平面内点到圆心的距离, 则有: d> r d= r d< r 点在圆外 点在圆上 点在圆内

如图,点P1在⊙O外;点P2在⊙O上;点P3在⊙O内.

7.圆的确定:不在同一条直线上的三点确定一个圆. 8.三角形与圆的位置关系: (1)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个 外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内 接三角形. (2)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 如图: △ABC是⊙O的内接三角形; ⊙O是△ABC的外接圆; 点O是△ABC的外心.

1. 下列说法中,正确的是( C ) A.三点确定一个圆

B.长度相等的弧是等弧
C. 任意一个三角形只有一个外接圆 D.三角形的外心到三角形的三边距离相等 2.给出下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直 径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆. 其中错误说法的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

3. (2015湘西州)⊙O的半径为5,点A到圆心O的距离OA= 3cm,则点A与圆O的位置关系为( B ) A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 4.点P到⊙O各点的最大距离为5,最小距离为1,则⊙O的 半径为( C) A.2 B.4 C.2或3 D.4或6 5.(2015贵满仓)如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动 点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2, OP=4,则线段OM的最小值是(B ) A.0 C.2 B.1 D.3

3.2 图形的旋转
1.旋转:一般地,一个图形变为另一个图形,在运动的过程 中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方 向,转动同一个角度,这样的图形运动叫做图形的旋转, 这个固定的点叫做旋转中心. 2.图形旋转的性质: (1)图形经过旋转所得的 图形和原图形全等; (2)对应点到旋转中心的 距离相等,任何一对 对应点与旋转中心连 线所成的角度等于旋 转的角度.

3.中心对称:当图形旋转的角度为180°时.所得的图形和原

图形关于旋转中心对称.
4.圆不仅是轴对称图形,还是中心对称图形,它具有旋转 不变性.

1.下列图形中,旋转120°后能与原图形重合的是( A ) A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形

2.(2015贺州)如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31° 后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为 100°,则∠DOB的度数是( C ) A.34° C.38° B.36° D.40°

3.下列说法中错误的是( B )

A.成中心对称的两个图形全等
B.成中心对称的两个图形中,对称点的连线被对称轴平分 C.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心 D.中心对称图形绕对称中心旋转180°后,都能与自身重合 4.(2015南通) 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形 的是( A ) A. B.

C.

D.

3.3 垂径定理
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧. 2.推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的弧. 推论2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

3.弧的中点:分一条弧成相等的两条弧的点. 4.弦心距:圆心到圆的一条弦的距离.

1.(2015遂宁)如图,在半径为5cm的⊙O中,弦 AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=( B ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(2015大庆)在⊙O中,圆心O到弦AB的距离 为AB长度的一半,则弦所对圆心角的大小 为( D ) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.(2015广元)如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则 下列结论错误的是( B ) A.CE=DE ? ? BD ? C. BC B.AE=OE D. △OCE≌△ODE

4.如图,AB为半圆直径,O为圆心,C为半圆上一点,E是 弧AC的中点,OE交弦AC于点D,若AC=8cm,DE=2cm, 求OD的长. 解: ∵E为弧AC的中点,

∴OE⊥AC, 1 ∴ AD ? AC ? 4cm , 2 ∵OD=OE-DE=(OE-2)cm,OA=OE,
∴在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2, 即OA2=(OE-2)2+42, 又知OA=OE,解得:OE=5, ∴OD=OE-DE=3cm.

3.4 圆心角
1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等,所对的弦也相等.

3.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所 对应的其余各对量都相等.

1.在同圆或等圆中,下列说法错误的是( A) A.相等的弦所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等
? , 2.如图,AB,CD是⊙O的直径, ? AE ? BD 若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( C )

A.54° C.64°

B.60° D.68°

3.如图,在⊙O中,AB、CD是直径,CE∥AB且交圆于E,
? ? BE ? . 求证:BD

证明:连结OE, ∵CE∥AB, ∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E, ∵OC=OE, ∴∠C=∠E, ∴∠DOB=∠BOE,

? ? BE ? , ∴ BD

3.5 圆周角
1.圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理:圆周角的度数等于它 所对弧上的圆心角度数的一半.

3.推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆
周角所对的弦是直径. 推论2:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等;相等的圆周角所对的弧也相等.

1.下列命题中,正确的命题个数是( A )
①顶点在圆周上的角是圆周角; ②圆周角度数等于圆心角度数的一半; ③90°的圆周角所对的弦是直径; ④圆周角相等,则它们所对的弧也相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2015巴中)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB, ∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( A ) A.25° C.60° B.50° D.30°

3.(2015台州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角 线AC上,EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数; (2)求证明:∠1=∠2. (1)解:∵BC=DC, ∴∠CBD=∠CDB=30°, ∵∠BAC=∠CDB=39°, ∠CAD=∠CBD=39°, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°; (2)证明:∵EC=BC, ∴∠CEB=∠CBE, 而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD, ∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD, ∵∠BAE=∠CBD, ∴∠1=∠2.

3.6 圆内接四边形
1.圆内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆 上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做 四边形的外接圆. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ⊙O是四边形ABCD的外接圆 2.圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补. 3.推论:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. ∠EAD=∠C

1.(2015邵阳)如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知 ∠ADC=140°,则∠AOC的大小是( A ) A.80° C.60° B.100° D.40°

2.如图,MN是⊙O的直径,若∠E=25°, ∠PMQ=35°,则∠MQP的度数为( C ) A.30° C.40° B.35° D.50°

3.7 正多边形
1.正多边形:各边都相等、各内角也相等的多边形. 2.正多边形与圆的位置关系 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形 的外接圆,这个正多边形叫做圆内接正多边形,任何正 多边形都有一个外接圆.

1.顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点,得到如图 的图形,下列说法错误的是( B )
A. △ACE是等边三角形 B. 此图既是轴对称图形也是中心对称图形 C. 连结AD,则AD分别平分∠EAC与∠EDC D. 图中一共能画出3条对称轴 2.(2015成都)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为 ? 的长分别为( D ) 4,则这个正六边形的边心距OM和 BC ? A.2, B.2 3 ,?
3 2? C. 3, 3 4? D.2 3, 3

3.8 弧长及扇形的面积
1.弧长计算公式 在半径为R的圆中,n°圆心角所对的弧长l的计算公式为:

n? R l? 360
2.扇形面积的计算公式 如果扇形的半径为R,圆心角为n°,扇形的弧长为l, 那么扇形面积S的计算公式为:

n? R 2 1 S? ? lR 360 2

1.(2015义乌)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ⊙O的半径为2,∠B=135°则 ? AC 的长( B )
2 3 2.(2015兰州)如图,⊙O的半径为2,AB、CD 是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意 一点(P与A、B、C、D不重合),经过P作 PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是 MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时, 点Q走过的路径长为( A )
A.

A.2?

B.?

C.

?

D.

?

?
4

B.

?
2

C.

?
6

D.

?
3

3.(2015自贡)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∠CDB=30°,CD= 2 3 ,则阴影部分图形的面 积为( D )
2? A.4? B.2? C.? D. 3 4.(2015日照)如图,等腰直角△ABC中,

AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜 边BC于D,则阴影部分面积为(结果 保留? )( A )
A.24 ? 4? C.32 ? 8? B.32 ? 4? D.16



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