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江西省于都中学高中数学 1.7常用曲线的极坐标方程教案 北师大版选修4-4


第七课时
一、教学目的:

常用曲线的极坐标方程

知识目标:进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法 能力目标:感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:运用互换公式,求曲线的性质 教学难点:准确求出曲线的直角坐标系方程 三、教学方法:讲练结合,探析归纳。 四、教学过程: (一) 、复习引入: 学生回顾 1.求曲线极坐标方程的方法 2.常用曲线的极坐标方程 (二) 、基础训练 1.直线 ? cos( ? ? ? ) ? m(? ? 2.极坐标方程 ? ?

k? k ? z ) 的斜率是 2


. 答案:cotα 椭圆

16 表示的曲线是 2 ? sin ?

3.曲线 ? sin ? ? 2 和 ? ? 4 sin ? ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的交点坐标 4.在极坐标系中与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线方程为 ( C ) A、 ? sin ? ? 2 C、 ? cos? ? 4 5.椭圆 ? ? B、 ? cos? ? 2 D、 ? cos? ? ?4 . 答案:10

9 的长轴长 5 ? 4 cos ?

6. (2009 上海理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ?

?
3



? cos? ? ? sin ? ? 1围成图形的面积是________.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】

3? 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的 图象如右图,可求得 A(

3 ?1 3 ? 3 , ) ,B(1,0) ,三角形 AOB 的面积为: 2 2
1

1 3 ? 3 3? 3 = ?1? 4 2 2
7. (2009 安徽理)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

4

( ? ? R ) ,它与曲线

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4
∴ | AB |? 2 22 ? ( (二) 、典型题目探析: 例 1【课本 P19 页 B 组中 10】求曲线 ? cos? ? 1 ? 0 关于直线 ? ?

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

?
4

对称的曲线方程。

学生练习教师准对问题讲评。 【?sin ? =-1】 例 2、(2009 辽宁理)(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? cos( ? ?

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。

?? 解: (Ⅰ)由 ? cos(
1 x ? 2 即 x ? 3 y ?1 2 3y ? 2

?
3

) ? 1得 ? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 ,从而 C 的直角 2

? ? 0时,? ? 2,所以M ( 2,0) ? ? ?
2 时,? ? 2 3 3 ,所以N ( 2 3 3 ,

?
2

)

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为 (0,

2 3 ) 3 3 2 3 ? (1. ), 则P点的极坐标为( , ), 所以 P 点的直角坐标为 3 3 6

例 3、已知 A、B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上两点,若 OA ? OB 。 ( O 为原点) a2 b2

(1)求证

1 1 为定值; ? 2 | OA | | OB | 2

(2)求 ?AOB 面积的最值。 (三) 、巩固与练习

x2 y2 设 P、Q 是双曲线 2 ? 2 ? 1(0 ? a ? b) 上的两点,若 OP ? OQ 。 a b
2

求证:

1 1 为定值; ? 2 | OP | | OQ | 2

(四) 、小结:本节课学习了以下内容: 1.熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式进行互化; 2.仔细审题,准确把握题目要求; 3.注意回答题目的的背景是直角坐标还是极坐标. (五) 、作业:课本 P25A 组中 3、4、5、 B 组中 2 五、教学反思:

3


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