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解析几何初步(高一一对一)



解析几何最大的特点是利用代数方法解决几何问题。

课题

第二次课—解析几何初步
1.掌握基本的直线方程和圆的方程形式; 2.掌握直线与直线、直线与圆、圆与圆的关系判定; 3.体会数形结合思想在解析几何的应用。 1.掌握基本公式,正确使用公式解决问题; 2.体会数形结合思想在位置关系判定、对称、过定点、最值问题的应用。 数形结合思



教学目标

教学重点 教学难点

平面几何图形的形状判定:通过两直线平行或者垂直的条件,再结合平面图形的基本性质, 可以判断图形的形状。解析几何法证明平面几何问题,步骤如下: 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关量; 第二步:进行有关代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系。 基础概念梳理 1. 1)倾斜角 ɑ 斜率 k 的关系 斜率等于倾斜角的正切值 特别注意 ? ?

?
2

时,k 不存在

当? ? ( 0,

?
2

) 时, k ? 0, k随?的增大而增大, k也随 ?的增大而增大;

当? ? ( ,? )时, k ? 0, k随?的增大而增大,但 k随?的增大而减小; 2 当? ? 0 时, k ? 0; 当? ?

?

?

2

时,斜率不存在。

2)求直线斜率的方法 ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα . ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k=

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

2. 1)直线的方程 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及适用范围。

2)两条直线的位置关系
11

注:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程是 Ax+By+m=0 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程是 Bx-Ay+n=0 3)两直线交点 联立方程组求解可得交点坐标。 4)距离公式
2 2 (y 2 - y1) 两点间距离公式 | AB |? (x2 - x1) ?

平面直角坐标系中点坐标公式

P1 ( x1 , y1 )、 P2 (x 2 , y 2 )的的中 点P0 ( x 0 , y 0 ), 则x 0 ?
点到直线距离公式 d ?

x1 ? x 2 y ? y2 ,y 0 ? 1 。 2 2

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

平行线间距离公式 d ?

| c1 - c 2 | A2 ? B 2

5)过定点的直线系:将已知的方程整理成关于参数的方程,则关于变数的方程应有无 穷 多 解 , 进 而 求 出定 点。 如 整 理 为 f ( x) ? a ? g ( x) ? 0 , 而 该 方 程有 无 穷 多 解 , 则 有

f ( x) ? 0且g ( x) ? 0 ,其解就是所有直线都恒过的定点。
感受 ax ? y ? a ? 0 所代表的直线系与 cos? ? x ? sin ? ? y ? cos? ? 0 的区别。 (前者无 x=1)
' 6) 对称问题 P 其中 Q 为中点。 ( x' , y ')关于点Q( x0 , y0 )的对称点P(2x0 ? x' ,2 y0 ? y ' ) ,

求直线关于点对称的直线

已 知 l 方 程 为 : Ax ? By ? C ? ( 和点 0 A ? B ? 0)
2 2

P( x0 , y0 ), P ' ( x ' , y ' )是对称直线l'上任意一点,它关于 P( x0 , y0 )的对称点 (2 x0 - x ' ,2 y0 - y ' )在直线l上,代入得 A(2 x0 - x ' ) ? B(2 y0 - y ' ) ? C ? 0
即为所求的关于 P 点对称直线的方程。同理可得

点A(x, y)关于直线x ? y ? C ? 0的对称点A'的坐标为(- y ? C ,- x ? C ); 则曲线f ( x, y) ? 0关于直线x ? y ? C ? 0的对称曲线为 f (- y ? C ,- x ? C ) ? 0
讲解例题 3、5、9、13 感受解析几何中数形结合的思想,强调数的精确性和形的直观性。 学习要有吃苦精神,态度和方法很大程度决定了你的能力水平。 1、做题之前,先回顾课本,尝试弄清楚课本中的公式定理来源、解题思路方法。

22

2、然后做题,独立思考,检测自己掌握情况;对于存在问题,积极探讨或者寻求帮助! 3、建立错题本,对于所犯的错误记录当时犯错原因和正确思路,及时回顾;对于一些比较 好的公式定理、题目也可以及时记录、欣赏。 4、做题知其然,也要知其所以然。弄清题目背后隐藏的考查知识点和考查方式。 5、建立每个章节的知识框架,熟悉框架中知识点和它们之间的联系,此时你可以洞察题目 本质,你会发现原来数学这么简单!

随堂练习
1.如图, 直线 l1, l2, l3 的斜率分别为 k1, k2, k3, 则成立的是 ( )

A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1
A.3 ≤k≤ 3 3

B.k1<k3<k2 D.k3<k1<k2
B.
3 ≤k≤1 3

2.k 是直线 l 的斜率,θ 是直线 l 的倾斜角,若 30°≤θ <120°,则 k 的取值范围是( )

C.k<-

3或

k≥

3 3

D.k≥

3 3

3.在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是 AB 上异于 A、B 的一点, 光线从 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P,光线 QR 经过△ABC 的重 心,则 AP 距离为() A.2 B.1 C.

8 3

D.

4 3

4.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后 与原来的位置,则直线的斜率是__ 5.点 M(x,y)在函数 y=-2x+8 的图像上,当 x ? [2,3] 时,分别求 6.若已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1), 且x1 ? x2 ? x3 , 则 7.求函数 y ?

y 2 y ?1 和 的取值范围 x 3x ? 1

f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) , , 的大小关系。 x1 x2 x3

x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域。

8.已知直线 l:5ax-5y -a +3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线过第一象限; (2)为了不使直线经过第二象限,求 a 的取值范围. 9.已知 l 的方程为 3x ? y ? 2 ? 0 ,求: (1)点 A 的坐标为(-4,4) ,关于直线 l 的对称点 A′ 的坐标; (2)直线 y=x+2 的对称直线方程; (3)直线 l 关于点 B(3,2)的对称直线 l ? 的方程. 10.在直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,-1)距离之差最大; (2)P 到 A(4,1)和 C(0,5)距离之和最大; 11.已知 A(4,1)和 B(0,-1)与 C(2,5) ,求过 C 且与 A、B 距离相等的直线方程。 13.两条互相平行的直线分别经过 A(6,2)和 B(3,1) ,并且各自绕着 A,B 旋转,如果两平行 直线间距离为 d,求(1)d 的范围; (2)当 d 最大时两直线的方程。

33

14.有两直线 ax ? 2 y ? 2a ? 4 ? 0 和 2x ? (1 ? a 2 ) y ? 2 ? 2a ? 0 ,当 a 在(0,2)变化时, 求两直线与坐标轴围成的四边形面积最小值。 (11/4) 15. 已知直线 l : y ?

1 x 和两个定点 A(1 , 1), 和 B(2 , 2) ,问直线 l 上是否存在 P ,使得 2

| PA |2 ? | PB |2 最小,若存在求 P 点坐标;不存在,说明理由。

2、圆与圆的方程 ①圆的方程的推导步骤:建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; ③求圆的方程的两种方法: (1)待定系数法;确定 a,b,r; (2)设一般式,三个独立参数

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

设点 P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到 P(x0,y0)的距离为 d,则 点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2 点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 直线与圆的位置关系 d<r, d=r, d>r.

相交、相切、相离

(1)几何法——比较圆心距与圆半径 r 的大小.圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离

d?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2
? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

(2)代数法——由直线与圆的方程联立方程组 ?
2

,消去一个未知数

得方程 ax ? bx ? c ? 0 利用方程的解个数,得直线与圆的交点个数来判断位置关系. (2)经过一点 M(x0,y0)作圆(x-a) +(y-b) =r 的切线 2 ①点 M 在圆上时,切线方程为(x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)= r ②点 M 在圆外时,有 2 条切线、2 个切点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,方程(x0-a) (x-a)+ 2 (y0-b) (y-b)= r 不是切线方程,而是经过 2 个切点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)的直线方程. (3)直线被圆所截得的弦长公式(垂径分弦定理) (弦长,弦心距,半径,韦达定理 )
2 2 2

44

│AB│=2 r 2 ? d 2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = (1 ?

1 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 2 k

轨迹问题:建系,设点,列式,化简,证明(同解变形)

圆与圆的位置关系

外离、外切、相交、内切、内含

(1)设两圆半径分别为 r1 , r2 ,圆心距为 d, 若两圆相外离,则 若两圆相外切,则 若两圆相交,则 若两圆内切,则 若两圆内含,则 ,公切线条数为 ,公切线条数为 , 公切线条数为 ,公切线条数为 ,公切线条数为

(2) 设两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,若两圆 相交,则两圆的公共弦所在的直线方程是 空间直角坐标系

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2
讲解例题 5、8、9、14、16、17、27 感受解析几何中数形结合的思想,强调数的精确性和形的直观性。

1.已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3 B
k ? ?2

2

2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( 4 C -2<k<3 D k>3 或 k<-2

)

2.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是(



A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 x y 3.若直线 ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则(). a b 1 1 1 1 A. a 2 ? b 2 ≤ 1 B. a 2 ? b 2 ≥ 1 C. 2 ? 2 ≤1 D. 2 ? 2 ≥1 a b a b 2 2 4. 直线 x=2 被圆 ( x ? a) ? y ? 4 所截弦长等于 2 3 , 则 a 的值为( ). A. -1 或-3 A.
5 ?3

B. 2 或 ? 2
2 2

C. 1 或 3
2 2

D. D. ?6 5 ? 14

3

5. 若实数 x, y 满足 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( B. 6 5 ? 14 C. ? 5 ? 3
2 2

).

6.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么
2 2 2

y 的最大值是________。 x
.

7.动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是
55

8. 求与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x 2 ? y 2 -12 x -12 y +54=0 都相切的半径最小的圆的标准 方程是_________. 2 2 9.设点 P(3,2)是圆(x-2) +(y-1) =4 内部一点, 则以 P 为中点的弦所在的直线方程是_______ 10. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 6mx? 2(m ?1) y ? 10m2 ? 2m ? 24 ? 0(m ? R) ,若圆的圆心在直线 l 上,则 l 的方程为___________. 11.圆 x2 ? y 2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 12.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 ,直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1(0 ? ? ? 距离为 1 的点的个数为 k,则 k=_____.
2 2 2 2

.

?
2

) 。设圆 O 上到直线 l 的

13.x +y =m 与圆 x +y +6x-8y-11=0 相交,求实数 m 的范围
14.圆 C 的方程为 x ? y ? 8x -15 ? 0 ,若直线 y ? kx - 2 上至少存在一点,使得以该点为圆
2 2

心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是_____ 15.已知两圆相交于 A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x - y ? c ? 0 上,则 m+2c=____ 16.已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 ,N,M 分别是圆 C1 圆 C2
2 2 2 2

上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为_____. 2 2 17.从点 P(x.3)向圆(x+2) +(y+2) =1 作切线,则切线长度的最小值时,求切线方程。 18.求过点 A(0,6)且与圆 x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程。 19.已知一曲线是两个定点 O(0,0), A(a,0) (a≠0)距离之比为 k 的点的轨迹,求此曲线的方程。 20.求圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3), B(-2,-5)的圆的标准方程。 21.讨论直线 y=x+b 与曲线 y ? 4 ? x2 交点的个数。 22.若曲线 y ? 1? 4 ? x2 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点,则 k 的范围。 23.自 A 点(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其发 射光线所在直线相切与圆 C:
2 2

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 ,求光线 l 所在的直线方程。
24.. 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1 , Q 是 x 轴上的动点, QA 、 QB
2 2

分别切圆 M 于 A, B 两点 (1)若点 Q 的坐标为(1,0) ,求切线 QA 、 QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值;(3)若 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程 3

25.求与 x 轴相切,圆心在直线 3x ? y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得弦长为 2 7 的圆的方程. 26.已知圆 x ? y ? 8 内有一点 P0 (-1,2),AB 为过点 P0 且倾斜角为α 的弦.
2 2

(1)当α =135°时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被 P0 平分时,写出直线 AB 的方程. 27.若圆 M : ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r (r ? 0) 上仅有两个点到直线 4 x - 3 y - 2 ? 0 的距离为 1,
2 2 2

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则半径 r 的取值范围。 28.若圆 M : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 52 上仅有四个点到直线 4 x - 3 y - c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围。 29.已知动点 P (x, y) 满足 x 2 ? y 2 ?| x | ? | y | , O 为原点, | O P|的范围和曲线围成的面积。 30.已知直线 l : 2 x - y - 4 ? 0 ,A(0,3),设圆 C 半径为 1,圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 x - y - 1 ? 0 上,过 A 点作圆 C 的切线方程,求切线方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使得 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的范围。

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