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三次函数的图象与性质



三次函数与导数例题与练习答案
例 1.(14 全国大纲卷文 21,满分 12 分)函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 3x(a ? 0) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.
解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 , f ?( x) ? 3a

x ? 6 x ? 3 ? 0 的判别式△=36(1-a).
2 2

(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? a ? 2 x ? 3x2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 3 3

所以 f ?( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 或 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在 (??, x1 )和( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增 (Ⅱ)因为 a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 (ⅰ)当 a ? 4 时, x2 ? 1 ,由(Ⅰ)知, f ( x ) 在[0,1]上单调递增, 所以 f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值 (ⅱ)当 0 ? a ? 4 时, x2 ? 1 ,由(Ⅰ)知, f ( x ) 在[0, x2 ]上单调递增,在[ x2 ,1] 上单调递减,因此 f ( x ) 在 x ? x2 ? 又 f (0) ? 1, f (1) ? a ,所以 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小值;

(ⅰ) 当 a≥1 时, △≤0, 则 f ?( x) ? 0 恒成立, 且 f ?( x) ? 0 当且仅当 a ? 1, x ? ?1 , 故此时 f ( x ) 在 R 上是增函数.

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a (ⅱ)当 a ? 1 且 a ? 0 ,时 ? ? 0 , f ?( x) ? 0 有两个根: x1 ? , , x2 ? a a
若 0 ? a ? 1 ,则 x 2 ? x1 , 当 x ? (??, x2 ) 或 x ? ( x1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 当 x ? ( x2 , x1 ) 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在 ( x2 , x1 ) 上是减函数; (??, x2 ),( x1, ??) 上是增函数; 若 a ? 0, 则 x1 ? x 2 当 x ? (??, x1 ) 或 x ? ( x2 ,??) 时,f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 ,??) 上是减函数;当 x ? ( x1 , x2 ) x ? ( x2 , x1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 上是增函数;
2 (Ⅱ)当 a ? 0 且 x ? 0 时, f ?( x) ? 3ax ? 6x ? 3 ? 0 ,所以

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值 3

当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间(1,2)是增函数. 当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间(1,2)是增函数,当且仅当 f ?(1) ? 0 且 f ?(2) ? 0 ,解得 ? 综上, a 的取值范围是 [?

5 ?a?0. 4

当 0 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值。

5 , 0) (0, ??) . 4

2 例 4.(14 年天津文科 19,满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax3 (a ? 0), x ? R 3

例 2.(14 安徽文数 20)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 ,其中 a ? 0 。 (1)讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性; (1) 当 x ? [0,1] 时,求 f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

(1) 求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? (2, ??) ,都存在

x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值范围
解: (Ⅰ)由已知,有 f ?( x) ? 2 x ? 2ax (a ? 0)
2

化一中高二理 1,理 2 共 130 份

1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ?

1 a

故B??

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

? 1 ? ,0 ? , A ? (??, f (2)) ,所以 A 不是 B 的子集。 ? f (1) ?
综上, a 的取值范围是 ? , ? 4 2

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)
-

0

? 1? ? 0, ? ? a?
+

1 a
0

?1 ? ? , ?? ? ?a ?
-

?3 3? ? ?

0 0

1 3a 2

所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? ;单调递减区间是 (??, 0) , ? , ?? ? , a? ?a ?

当 x ? 0 时, f ( x ) 有极小值,且极小值 f (0) ? 0 ; 当x?

1 时, f ( x ) 有极大值,且极大值 a

?1? 1 f ? ?? 2 ? a ? 3a

3 ? (Ⅱ)解:由 f (0) ? f ? 3 ? ? 0 及(Ⅰ)知,当 x ? ? 0, 3 ? 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ? ? , ?? ? 时, f ( x) ? 0 设 ? ? ? ? ? 2a ? ? 2a ? ? 2a ?

?? ), } 集合 B ?{ 集 合 A ? { f ( x) | x? ( 2,

1 | x ? (1, ?? )f, x ( ?) f ( x)

,则“对于任意的 0}

课后练习、作业 1 1 1.设 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax. . 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 ?1,4? 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3 1 3 1 2 2 2 解: (1)已知 f ? x ? ? ? x ? x ? 2ax ,? f ??x ? ? ? x ? x ? 2a ,函数 f ? x ? 在 ( ,??) 上 3 2 3 2 存在单调递增区间,即导函数在 ( ,??) 上存在函数值大于零的部分 3 2 2 2 1 ? f ?( ) ? ?( ) 2 ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 3 3 3 9 16 2 (2)已知 0 ? a ? 2 , f ? x ? 在 ? ,而 f ??x ? ? ? x ? x ? 2a 的图像开口 1,4?上取到最小值 ? 3 1 向下,且对轴轴为 x ? ,? f ??1? ? ?1 ? 1 ? 2a ? 2a ? 0, f ??4? ? ?16 ? 4 ? 2a ? 2a ? 12 ? 0, 2
则必有一点 x0 ? ?1,4?, 使得 f ??x0 ? ? 0, 此时函数 f ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递增,在 ?x0 ,4? 上单调递减,

x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1”等价于 A ? B ,显然, 0 ? B .
下面分三种情况讨论: (1)当

3 3 ? 3 ? ? 2 ,即 0 ? a ? 时,由 f ? ? ? 0 可知, 0 ? A ,而 0 ? B ,所以 A 不是 B 的子集。 2a 4 ? 2a ? 3 3 3 ? 2 , 即 ? a ? 时 , 有 f ( 2)? 0, 且 此 时 f ( x) 在 (2, ??) 上 单 调 递 减 , 故 2a 4 2

(2)当 1?

1 1 40 1 1 1 f ?1? ? ? ? ? 2a ? ? 2a ? 0 ,? f ?4? ? ? ? 64 ? ?16 ? 8a ? ? ? 8a 3 2 6 3 2 3 40 1 27 27 ? f ?4? ? f (1) ? ? ? 8a ? 2a ? ? 6a ? ? 12 ? ?0 3 6 2 2 40 16 ? f ( x) min ? f (4) ? 8a ? ? ? ,?a ? 1 3 3
此时,由 f ??x0 ? ? ? x0 ? x0 ? 2 ? 0 ,? x0 ? ?1或x0 ? 2 ,所以函数 f ?x ?max ? f ?2? ?
2

A ? (??, f (2)) ,因而 A ? (??,0) ;
由 f (1) ? 0 ,有 f ( x ) 在 (1, ??) 上的取值范围包含 (??, 0) ,则 (??,0) ? B 所以, A ? B

10 3

2.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? ? 3 3? 3 2 2 4.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
2

3 2 ? 1 ,即 a ? 时,有 f (1) ? 0 ,且此时 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, (3)当 2a 3

(2)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

化一中高二理 1,理 2 共 130 份

当a 当a

2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? (3)解:由题设, f ( x) ? x(? 所 以 方 程 ?

2

2 3 1 m ? m2 ? 3 3

? ? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? 递减, ? ?a ? a 2 ? 3 即 f ( x ) 在 ? ??, , ? ? ? , ? ? ? 递增 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 2 ≤? ? 7 2 ? 3 3 (2) ,且 a ? 3 解得: a ≥ ? 4 1 ? ?a ? a 2 ? 3 ≥ ? ? 3 3 ?

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 3. 设函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3
时, (Ⅰ)当 m ? 1 求曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 ))

1 2 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;
【解析】解:(09 天津文 21)(本小题满分 12 分) (1) 当 m ? 1时, f ( x) ?
w.w.w. k.s

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 3

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0, 3 1 2 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3
则 f ( x) ?? ? 解得 ?

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

3 3 ?m? 3 3

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

4.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3| x ? a | (a ? 0) ,若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值记为 g (a) 。
1? m
0

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)

(1 ? m,??)

(1)求 g (a) ; (2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4
解:(14 浙江文 21,15 分)(Ⅰ)因为 a ? 0, ?1 ? x ? 1,所以

+

-

+

(ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,
3 2 若 x ? [?1, a] ,则 f ( x) ? x ? 3x ? 3a, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ( x ) 在 (?1, a) 上是减函数; 3 2 若 x ? [a,1] ,则 f ( x) ? x ? 3x ? 3a, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ( x ) 在 (a,1) 上是增函数;

极小值

极大值

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3
3

所以 g (a) ? f (a) ? a

3

化一中高二理 1,理 2 共 130 份

(ⅱ)当 a ? 1 时,有 x ? a ,则 f ( x) ? x3 ? 3x ? 3a, f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,故 f ( x ) 在(-11)上 是减函数,所以 g (a) ? f (1) ? ?2 ? 3a 综上, g (a) ? ?

当 a ? 1 时,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的两根为 ?1 ? 1 ? a
2

当 x ? (??, ?1 ? 1 ? a ) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数; 当 x ? (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数; 当 x ? (?1 ? 1 ? a , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数; 综上 a ? 1 时, f ( x ) 在 (??, ??) 上为增函数;

?a3 ,0 ? a ? 1 ??2 ? 3a, a ? 1

(Ⅱ)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g (a) , (ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? a
3 3

若 x ?[a,1], h( x) ? x ? 3x ? 3a ? a ,得 h?( x) ? 3x2 ? 3 ,则 h( x) 在 (a,1) 上是增函数,所以 h( x)
3

当 a ? 1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 1 ? a ),(?1 ? 1 ? a , ??) ,

f ( x) 的单调递减区间为 (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a )
在 [a,1] 设的最大值是 h(1) ? 4 ? 3a ? a3 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h(1) ? 4 ,故 f ( x) ? g (a) ? 4 若 x ?[?1, a], h( x) ? x ? 3x ? 3a ? a , 得 h?(x) ? 3x
3 3 2

? 3 ,则 h( x) 在 (?1, a) 上是减函数,所以 h( x)

(2) f ( x0 ) ? f ( ) ?

1 2

1 3 1 1 ?1 1 ? x0 ? x0 2 ? ax0 ? 1 ? ? ( )3 ? ( ) 2 ? a( ) ? 1? 3 2 2 ?3 2 ?

在 [?1, a] 设的最大值是 h(?1) ? 2 ? 3a ? a3 令 t (a) ? 2 ? 3a ? a3 ,则 t ?(a) ? 3 ? 3a 2 ? 0 知 t (a) 在 (0,1) 上是增函数,所以, t (a) ? t (1) ? 4 ,即 h(?1) ? 4 ,故 f ( x) ? g (a) ? 4 (ⅱ)当 a ? 1 时, g (a) ? ?2 ? 3a ,故 h( x) ? x3 ? 3x ? 2 ,得 h?( x) ? 3x2 ? 3 此时 h( x) 在(-1,1)上是减函数,因此 h( x) 在[-1,1]上的最大值是 h(?1) ? 4 ,故 f ( x) ? g (a) ? 4 综上,当 x ?[?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4

1? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? x03 ? ( )3 ? ? ? x0 2 ? ( )2 ? ? a( x0 ? ) 3? 2 ? ? 2 ? 2 x 1 ? 1? 1 1 1 1 ? ?( x0 ? )( x0 2 ? 0 ? ) ? ? ( x0 ? )( x0 ? ) ? a( x0 ? ) 3? 2 2 4 ? 2 2 2
1 x2 x 1 1 ? ( x0 ? )( 0 ? 0 ? ? x0 ? ? a) 2 3 6 12 2
1 1 ( x0 ? )(4 x0 2 ? 14 x0 ? 7 ? 12a) 12 2 1 1 1 2 所 以 , 若 存 在 x0 ? (0, ) ( ,1) , 使 得 f ( x0 ) ? f ( ), 必 须 4x0 ? 14x0 ? 7 ? 12a ? 0 在 2 2 2 1 1 (0, ) ( ,1) 上有解, 2 2 ?

1 5. (14 广东文数 21) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; 1 1 1 (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 f ( x0 )=f ( ) 2 2 2
2 2 解: (1) f ?( x) ? x ? 2 x ? a ,方程 x ? 2 x ? a ? 0 的判别式 ? ? 4 ? 4a ,

a ? 0,?? ? 142 ?16(7 ? 12a) ? 4(21 ? 48a) ? 0
方程的两根为

所以,当 a ? 1 时, ? ? 0,? f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (??, ??) 上为增函数;

?14 ? 2 21 ? 48a ?7 ? 21 ? 48a ? , 8 4

化一中高二理 1,理 2 共 130 份

4

因为 x0 ? 0 ,所以 x0 只能是 ?7 ? 21 ? 48a
4

最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.
解:(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

依题意, 0 ? ?7+ 21 ? 48a ? 1 ,即 7 ? 21 ? 48a ? 11 4 所以 49 ? 21 ? 48a ? 121 ,即 ? 25 ? a ? ? 7
12 12

?7+ 21 ? 48a 1 ,得 a ? ? 5 ,故欲使满足题意的 存在,则 a ? ? 5 x0 = 4 4 4 2 1 所以,当 a ? (? 25 , ? 5 ) (? 5 , ? 7 ) 时,存在唯一的 x0 ? (0, 1 ) ( 1 ,1) 满足 f ( x0 ) ? f ( ) 2 12 4 4 12 2 2 1 5? 1 1 当 a ? (??, ? 25 ] [? 7 , 0) ? ?? ? 时,不存在 x0 ? (0, ) ( ,1) 使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2 2 12 12 4 ? ?
又由

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4 ' ' x ? 1 1 ? x ? 2 x (2) 因为 当 时, f ( x) ? 0 ;当 时, f ( x) ? 0 ;当 ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 5 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ? ? a ; 2 当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 5 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? . 2
所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?
w. w.w. k.s.5.u.c.o.m

6.已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x .(1)若 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明: ? ? ? <6. (21)解:(09 海南宁夏理 21)(本小题满分 12 分)
(Ⅰ )当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

8.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为-2.(1)求 a ; (2)证明:当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。
解: (14 年新课标文 21,本小题满分 12 分) (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? a , f ?(0) ? a 曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线方程为 y ? ax ? 2 由题设得 ?

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x?3 ? 9x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e? x
当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ? ?) (Ⅱ ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 3 ?x

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? (1 ? k ) x ? 4 由题设知 1 ? k ? 0 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 1 ? k ? 0 , g ( x) 单调递增, g (?1) ? k ? 1 ? 0, g (0) ? 4 , 所以 g ( x) ? 0 在 (??, 0] 有唯一实根。 当 x ? 0 时,令 h( x) ? x ? 3x ? 4 ,则 g ( x) ? h( x) ? (1 ? k ) x ? h( x)
3 2

? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].
?x 3

由 f '(2) ? 0,即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而 f '( x) ? ?e [ x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a]. 因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以 x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x ? (? ? ? ) x ? ?? ).
3 2

将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故 ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? 4?? ? 12 ? 4a .
2

h?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2), h( x) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ??) 单调递增,所以
g ( x) ? h( x) ? h(2) ? 0 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 没有实根

又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

9 7.设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的 2
化一中高二理 1,理 2 共 130 份 5

综上 g ( x) ? 0 在 R 由唯一实根,即曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。



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