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广东省深圳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



广东省深圳高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本题 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合要求的) 1. (5 分)若 a∈R,则 a=2 是(a﹣1) (a﹣2)=0 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分)抛物线

y =16x 的焦点为() A.(0,2) B.(4,0) C. D.
2

3. (5 分)若{ 、 、 }为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是() A. , + , ﹣ B. , + , ﹣
2 2

C. , + , ﹣

D. + , ﹣ , +2

4. (5 分)若点 P(1,1)为圆(x﹣3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为() A.2x+y﹣3=0 B.x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣3=0 D.2x﹣y﹣1=0 5. (5 分)命题 p:不等式 x(x﹣1)<0 的解集为{x|0<x<1},命题 q:“A=B”是“sinA=sinB” 成立的必要非充分条件,则() A.p 真 q 假 B.p 且 q 为真 C.p 或 q 为假 D.p 假 q 真 6. (5 分)若向量 =(1,λ,1) , =(2,﹣1,1)且 与 的夹角的余弦值为 ,则 λ 等于() A.2 B . ﹣2 C . ﹣2 或
2

D.2 或

7. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 |MF|+|MA|取得最小值的 M 的坐标为() A.(0,0) B.
2 2 2

C.

D.(2,2)

8. (5 分)已知圆 O:x +y =r ,点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短 2 弦所在的直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r =0,那么() A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离 B. l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切 C. l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交 D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)有下列四个命题: ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题;

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 x ﹣2x+m=0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中是真命题的是(填上你认为正确的命题的序号) . 10. (5 分)命题“对任何 x∈R,|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是. 11. (5 分)若直线 y=x﹣m 与曲线 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是.
2

12. (5 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB∥EF, ∠EAB=90°, AB=4, AD=AE=EF=1,平面 ABEF⊥平面 ABCD,则点 D 到平面 BCF 的距离为.

13. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左、有焦点分别为 F1,F2,若在双曲线

的右支上存在一点 P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率 e 的取值范围为.

14. (5 分)已知 P 是椭圆

=1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若

,则△ F1PF2 的面积为.

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 16. (12 分)如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点,在五棱锥 P ﹣ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.
2 2

17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 18. (14 分)已知动点 P 与平面上两定点 定值﹣ . (1)试求动点 P 的轨迹方程 C; (2)设直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 M.N 两点,当|MN|= 时,求直线 l 的方程. 连线的斜率的积为

2

19. (14 分)如图所示,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= . (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣A1C1﹣B1 的正弦值.



20. (14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 ,且长轴长与短轴长的比是 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1, 过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA, PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值.

广东省深圳高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合要求的) 1. (5 分)若 a∈R,则 a=2 是(a﹣1) (a﹣2)=0 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 根据一元二次方程根的定义,我们判断出 a=2?(a﹣1) (a﹣2)=0 及(a﹣1) (a﹣2) =0?a=2 的真假,进而根据充要条件的定义即可得到答案. 解答: 解:当 a=2 时, (a﹣1) (a﹣2)=0 成立 故 a=2?(a﹣1) (a﹣2)=0 为真命题 而当(a﹣1) (a﹣2)=0,a=1 或 a=2,即 a=2 不一定成立 故(a﹣1) (a﹣2)=0?a=2 为假命题 故 a=2 是(a﹣1) (a﹣2)=0 的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题考查的知识点是充要条件,其中判断 a=2?(a﹣1) (a﹣2)=0 及(a﹣1) (a﹣2) =0?a=2 是解答本题的关键. 2. (5 分)抛物线 y =16x 的焦点为() A.(0,2) B.(4,0) C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 焦点在 x 轴的正半轴上,且 p=8,利用焦点为( ,0) ,写出焦点坐标. 解答: 解:抛物线 y =2x 的焦点在 x 轴的正半轴上,且 p=8,∴ =4,故焦点坐标为(4,0) , 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,求 的值是解题的关键.
2

3. (5 分)若{ 、 、 }为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是() A. , + , ﹣ B. , + , ﹣ C. , + , ﹣ D. + , ﹣ , +2

考点: 空间向量的基本定理及其意义. 专题: 证明题.

分析: 空间的一组基底, 必须是不共面的三个向量, 利用向量共面的充要条件可证明 A、 B、 D 三个选项中的向量均为共面向量,利用反证法可证明 C 中的向量不共面 解答: 解:∵( + )+( ﹣ )=2 ,∴ , + , ﹣ 共面,不能构成基底,排除 A; ∵( + )﹣( ﹣ )=2 ,∴ , + , ﹣ 共面,不能构成基底,排除 B; ∵ +2 = ( + )﹣ ( ﹣ ) ,∴, + , ﹣ , +2 共面,不能构成基底,排除 D; 若 、 + 、 ﹣ 共面,则 =λ( + )+m( ﹣ )=(λ+m) +(λ﹣m) ,则 、 、 为 共面向量,此与{ 、 、 }为空间的一组基底矛盾,故 , + , ﹣ 可构成空间向量的一 组基底. 故选:C 点评: 本题主要考查了空间向量基本定理,向量共面的充要条件等基础知识,判断向量是 否共面是解决本题的关键,属基础题 4. (5 分)若点 P(1,1)为圆(x﹣3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为() A.2x+y﹣3=0 B.x﹣2y+1=0 C.x+2y﹣3=0 D.2x﹣y﹣1=0 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 求出圆心坐标,求出 PC 的斜率,然后求出 MN 的斜率,即可利用点斜式方程求出直 线 MN 的方程. 解答: 解:圆心 C(3,0) , ,∴MN 方程为 y﹣1=2(x﹣1) ,即 2x﹣y
2 2

﹣1=0, 故选 D. 点评: 本题是基础题,考查直线的斜率的求法,直线方程的求法,考查计算能力,转化思 想的应用. 5. (5 分)命题 p:不等式 x(x﹣1)<0 的解集为{x|0<x<1},命题 q:“A=B”是“sinA=sinB” 成立的必要非充分条件,则() A.p 真 q 假 B.p 且 q 为真 C.p 或 q 为假 D.p 假 q 真 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 对命题 p,q 分别判断真假,然后按照复合命题的真假判断解答. 解答: 解:由题意命题 p:不等式 x(x﹣1)<0 的解集为{x|0<x<1},为真命题; 因为“A=B”是“sinA=sinB”成立的充分不必要条件,所以命题 q 是假命题. 故选 A. 点评: 本题考查了命题的真假判断以及复合命题的判断,属于基础题.

6. (5 分)若向量 =(1,λ,1) , =(2,﹣1,1)且 与 的夹角的余弦值为 ,则 λ 等于() A.2 B . ﹣2 C . ﹣2 或 D.2 或

考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据向量数量积的定义以及坐标表示,列出方程,求出 λ 的值. 解答: 解:∵向量 =(1,λ,1) , =(2,﹣1,1) , 且 与 的夹角的余弦值为 , ∴ ? =| |×| |cos< , > = = × × ; ×

又 ? =1×2+λ×(﹣1)+1×1=3﹣λ,



=3﹣λ;
2

两边平方得
2

=(3﹣λ) ,

整理得 5λ ﹣36λ+52=0, 解得 λ=2,λ= .

故选:D. 点评: 本题考查了空间向量的应用问题,解题时应类比平面向量的定义与性质,是基础题. 7. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 |MF|+|MA|取得最小值的 M 的坐标为() A.(0,0) B. C. D.(2,2)
2

考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 求出焦点坐标和准线方程,把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|,利用 当 P、A、M 三点 共线时,|MA|+|PM|取得最小值, 2 把 y=2 代入抛物线 y =2x 解得 x 值,即得 M 的坐标. 解答: 解:由题意得 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ ,设点 M 到准线的距离为 d=|PM|,

则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,

故当 P、A、M 三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣(﹣ )= . 把 y=2 代入抛物线 y =2x 得 x=2,故点 M 的坐标是(2,2) , 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的定义和性质得应用,解答的关键利用是抛物线定义,体现了转化 的数学思想. 8. (5 分)已知圆 O:x +y =r ,点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短 2 弦所在的直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r =0,那么() A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离 B. l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切 C. l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交 D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离 考点: 直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 用点斜式求得直线 m 的方程,与直线 l 的方程对比可得 m∥l,利用点到直线的距离 公式求得圆心到直线 l 的距离大于半径 r,从而得到圆和直线 l 相离. 解答: 解:由题意可得 a +b <r ,OP⊥l1. ∵KOP= ,∴l1 的斜率 k1=﹣ . 故直线 l1 的方程为 y﹣b=﹣ (x﹣a) ,即 ax+by﹣(a +b )=0. 又直线 l2 的方程为 ax+by﹣r =0,故 l1∥l2, 圆心到直线 l2 的距离为 > =r,故圆和直线 l2 相离.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故选 A. 点评: 本题考查点和圆、直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离大于半径 r,是解题的关键. 二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)有下列四个命题: ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; 2 ③命题“若 m≤1,则 x ﹣2x+m=0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中是真命题的是①②③(填上你认为正确的命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 命题判断一是直接判断二是用等价命题法①若 x,y 互为倒数,则 xy=1 成立;②三 角形全等则面积一定相等正确,③若 m≤1 则△ =4﹣4m≥0 方程有根④若 A∩B=B 应是 B?A. 解答: 解:①若 x,y 互为倒数,则 xy=1 成立;②逆命题是“三角形全等则面积一定相等” 正确则其否命题正确,③若 m≤1 则△ =4﹣4m≥0 方程有根原命题正确则其逆否命题正确④若 A∩B=B 应是 B?A 则其逆否命题不正确. 故答案是①②③

点评: 本题主要考查命题的判断方法. 10. (5 分)命题“对任何 x∈R,|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是?x0∈R 有|x﹣2|+|x﹣4|≤3. 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 将命题中的“任何”变为“?”,同时将结论否定即可. 解答: 解:“对任何 x∈R,|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是 ?x0∈R,有,|x﹣2|+|x﹣4|≤3 故答案为?x0∈R 有|x﹣2|+|x﹣4|≤3 点评: 本题考查含量词的命题的否定形式:将:“任意”与“存在”互换,结论否定. 11. (5 分) 若直线 y=x﹣m 与曲线 ,﹣1]. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 有两个表示的曲线为圆心在原点,半径是 1 的圆在 x 轴以及 x 轴上方的 有两个不同的交点, 则实数 m 的取值范围是 (﹣

部分,把斜率是 1 的直线平行移动,即可求得结论 解答: 解:∵ 部分. 作出曲线 的图象,在同一坐标系中,再作出直线 y=x﹣m,平移过程中,直线先与 表示的曲线为圆心在原点,半径是 1 的圆在 x 轴以及 x 轴上方的

圆相切,再与圆有两个交点, 直线与曲线相切时,可得, =1

∴m=﹣ 当直线 y=x﹣m 经过点(﹣1,0)时,m=﹣1,直线 y=x+1,而该直线也经过(0,1) ,即直 线 y=x+1 与半圆有 2 个交点 故答案为: (﹣ ,﹣1].

点评: 本题考查直线与曲线的交点问题,在同一坐标系中,分别作出函数的图象,借助于 数形结合是求解的关键 12. (5 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB∥EF, ∠EAB=90°, AB=4, AD=AE=EF=1,平面 ABEF⊥平面 ABCD,则点 D 到平面 BCF 的距离为 .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意作出图象,则可将点 D 到平面 BCF 的距离可化为点 A 到平面 BCF 的距离, 再转化为平面 ABEF 内点 A 到直线 BF 的距离,从而利用面积相等求解. 解答: 解:如右图,∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∴点 D 到平面 BCF 的距离可化为点 A 到平面 BCF 的距离, 又∵平面 ABEF⊥平面 ABCD, ∴平面 BCF⊥平面 ABEF, ∴点 A 到平面 BCF 的距离可化为平面 ABEF 内点 A 到直线 BF 的距离, 则在平面 ABEF 内, BF= , 则 × 则 h= 故答案为: ×h= ×4×1, . .

点评: 本题考查了学生的作图能力与转化能力,属于中档题.

13. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左、有焦点分别为 F1,F2,若在双曲线

的右支上存在一点 P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 1<e≤2.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P 点的横坐标为 x,根据|PF1|=3|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) ,利用双曲线的第二 定义,可得 x 关于 e 的表达式,进而根据 x 的范围确定 e 的范围. 解答: 解:设 P 点的横坐标为 x ∵|PF1|=3|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) 根据双曲线的第二定义,可得 ∴ex=2a ∵x≥a,∴ex≥ea ∴2a≥ea,∴e≤2 ∵e>1,∴1<e≤2 故答案为:1<e≤2. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于基 础题. ,

14. (5 分)已知 P 是椭圆

=1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若

,则△ F1PF2 的面积为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 解三角形;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先利用椭圆的方程求得:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,进一步利用余弦定理 |PF2|cosθ 解得:|PF1||PF2|=12,在利用向量的夹角 求出 θ,最后利用三角形的面积公式求的结果. 解答: 解:已知 P 是椭圆 则:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8 在△ PF1F2 中,利用余弦定理得: |PF2|cosθ =1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,

cosθ=

解得: 则:|PF1||PF2|=12

故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:椭圆的定义和性质,余弦定理得应用,向量的夹角,及三角 形的面积的应用. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分)设 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: (1)把 a=1 代入不等式后求解不等式,同时求解不等式组,得到命题 p 和命题 q 中 x 的取值范围,由 p 且 q 为真,对求得的两个范围取交集即可; (2)p 是 q 的必要不充分条件,则集合 B 是集合 A 的子集,分类讨论后运用区间端点值之间 的关系可求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由 x ﹣4ax+3a <0,得: (x﹣3a) (x﹣a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由 ,得:2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.
2 2 2 2

若 p 且 q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (Ⅱ) p 是 q 的必要不充分条件,即 q 推出 p,且 p 推不出 q, 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B 是 A 的真子集, 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a) ;a<0 时,A=(3a,a) . 所以当 a>0 时,有 ,解得 1<a≤2,

当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 点评: 本题是命题真假的判断与应用,考查了必要条件问题,考查了数学转化和分类讨论 思想,是中档题. 16. (12 分)如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点,在五棱锥 P ﹣ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得; (2)由于 PA⊥底面 ABCDE,底面 AMDE 为正方形,建立如图的空间直角坐标系 Axyz,分 别求出 A,B,C,E,P,F,及向量 BC 的坐标,设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z) ,求 出一个值,设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 α,运用 sinα=|cos H(u,v,w) ,再设 ,用 λ 表示 H 的坐标,再由 n |,求出角 α;设 =0,求出 λ

和 H 的坐标,再运用空间两点的距离公式求出 PH 的长. 解答: (1)证明:在正方形 AMDE 中,∵B 是 AM 的中点, ∴AB∥DE,又∵AB?平面 PDE,∴AB∥平面 PDE, ∵AB?平面 ABF,且平面 ABF∩平面 PDE=FG, ∴AB∥FG; (2)解:∵PA⊥底面 ABCDE,∴PA⊥AB,PA⊥AE, 如图建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) ,C(2,1,0) ,P(0,0,2) , E(0,2,0) ,F(0,1,1) , 设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即 , ,

令 z=1,则 y=﹣1,∴n=(0,﹣1,1) , 设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 α,则 sinα=|cos |=| |= ,

∴直线 BC 与平面 ABF 所成的角为

, ,

设 H(u,v,w) ,∵H 在棱 PC 上,∴可设

即(u,v,w﹣2)=λ(2,1,﹣2) ,∴u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵n 是平面 ABF 的法向量, ∴n ∴PH= =0,即(0,﹣1,1)?(2λ,λ,2﹣2λ)=0,解得 λ= ,∴H( =2. ) ,

点评: 本题主要考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面平行、垂直的判定和性 质,同时考查直线与平面所成的角的求法,考查运用空间直角坐标系求角和距离,是一道综合 题. 17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 考点: 圆的标准方程;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)法一:写出曲线与坐标轴的交点坐标,利用圆心的几何特征设出圆心坐标, 构造关于圆心坐标的方程,通过解方程确定出圆心坐标,进而算出半径,写出圆的方程; 法二:可设出圆的一般式方程,利用曲线与方程的对应关系,根据同一性直接求出参数, (Ⅱ)利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A,B 坐标,通过 OA⊥OB 建立坐 标之间的关系,结合韦达定理寻找关于 a 的方程,通过解方程确定出 a 的值. 2 解答: 解: (Ⅰ) 法一: 曲线 y=x ﹣6x+1 与 y 轴的交点为 (0, 1) , 与 x 轴的交点为 (3+2 , 2 0) , (3﹣2 ,0) .可知圆心在直线 x=3 上,故可设该圆的圆心 C 为(3,t) ,则有 3 +(t﹣1)
2 2 2

=(2

) +t ,解得 t=1,故圆 C 的半径为
2

2

2

,所以圆 C 的方程为(x﹣3)

+(y﹣1) =9. 2 2 法二:圆 x +y +Dx+Ey+F=0 x=0,y=1 有 1+E+F=0 2 2 y=0,x ﹣6x+1=0 与 x +Dx+F=0 是同一方程,故有 D=﹣6,F=1,E=﹣2, 2 2 即圆方程为 x +y ﹣6x﹣2y+1=0 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足方程组

,消去 y,得到方程 2x +(2a﹣8)x+a ﹣2a+1=0,由已知 可得判别式△ =56﹣16a﹣4a >0. 在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4﹣a,x1x2= ①,
2 2

2

2

由于 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0,又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得 2x1x2+a(x1+x2)+a =0② 2 由①②可得 a=﹣1,满足△ =56﹣16a﹣4a >0.故 a=﹣1. 点评: 本题考查圆的方程的求解,考查学生的待定系数法,考查学生的方程思想,直线与 圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想, 考查垂直问题的解决思想, 考查学生分析问题解 决问题的能力,属于直线与圆的方程的基本题型. 18. (14 分)已知动点 P 与平面上两定点 定值﹣ . (1)试求动点 P 的轨迹方程 C; (2)设直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 M.N 两点,当|MN|= 时,求直线 l 的方程. 连线的斜率的积为

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设出 P 的坐标,利用动点 P 与平面上两定点 连线的斜率的积为定值 ,建立方程,化简可求动点 P 的轨迹方程 C.

(Ⅱ)直线 l:y=kx+1 与曲线 C 方程联立,利用韦达定理计算弦长,即可求得结论. 解答: 解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标是(x,y) ,由题意得:kPAkPB=



,化简,整理得

故 P 点的轨迹方程是

, (x≠±



(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 得, (1+2k )x +4kx=0 ,x1 x2=0, ,
4 2 2 2 2 2

∴x1+x2= |MN|=

整理得,k +k ﹣2=0,解得 k =1,或 k =﹣2(舍) ∴k=±1,经检验符合题意. ∴直线 l 的方程是 y=±x+1,即:x﹣y+1=0 或 x+y﹣1=0

点评: 本题考查轨迹方程的求解,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长公式的运用,考 查学生的计算能力,属于中档题. 19. (14 分)如图所示,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= . (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣A1C1﹣B1 的正弦值. ,

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)通过建立空间直角坐标系,利用异面直线的方向向量的夹角即可得出; (2)先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值. 解答: 解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点. 依题意得 , , (1)易得 . ,B(0,0,0) , ,

于是

=

=

=



∴异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 (2)易知

. .

设平面 AA1C1 的法向量 不妨令 ,则 z= ,可得

,则

,即



. ,得 .

同样可设面 A1B1C1 的法向量

于是

=

=

= ,∴



∴二面角 A﹣A1C﹣B1 的正弦值为



点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所 成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键. 20. (14 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 ,且长轴长与短轴长的比是 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1, 过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA, PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值. 考点: 椭圆的标准方程;直线的斜率;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题. 分析: (1)待定系数法求椭圆的方程. (2)设出 A、B 坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,求出 A、B 横坐标之差,纵坐标 之差,从而求出 AB 斜率. (3)设出 AB 直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数的关系求 AB 长度,计算 P 到 AB 的距离,计算△ PAB 面积, 使用基本不等式求最大值. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 .

由题意

,解得 a =4,b =2.

2

2

所以,椭圆 C 的方程为

.故点 P(1,



(Ⅱ)由题意知,两直线 PA,PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k, 则 PB 的直线方程为 .



得,



设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,则

,同理可得









所以直线 AB 的斜率

为定值.

(Ⅲ)设 AB 的直线方程为

,由







,得 m <8.此时

2



. 由椭圆的方程可得点 P(1, 由两点间的距离公式可得 ) ,根据点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离为 = , ,



=

=

=
2



×

=

. .

因为 m =4 使判别式大于零,所以当且仅当 m=±2 时取等号,所以△ PAB 面积的最大值为

点评: 直线与圆锥曲线的综合问题,注意应用一元二次方程根与系数的关系,式子的化简 变形,是解题的难点和关键.



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