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【学案导学设计】高中数学(人教A版,选修1-1)作业:3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念



第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利 用导数的定义求函数在某点处的导数.

1.函数的变化率 定义 平均 变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δy ________________,简

记作: . Δx 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函 数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限, Δy 即_______________= lim x ? 0 Δx 实例 ①平均速度; ②曲线割线的斜率.

瞬时 变化率

①瞬时速度:物体在某一时刻的速度; ②切线斜率.

2. 导数的概念: 一般地, 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
x?0

Δy =____________, Δx

我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 Δy 即 f′(x0) = lim x ? 0 Δx

,记为



一、选择题 1.当自变量从 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( A.在[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 D.以上都不对 2.已知函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则 ( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是

)

Δy 等于 Δx

(

)

A.1

C.2 D.-2 f?x0-Δx?-f?x0? 4.设 f(x)在 x=x0 处可导,则 lim 等于 Δx x?0 A.-f′(x0) B.f′(-x0)

B.-1

(

)

D.2f′(x0) 3 5.已知 f(x)=-x2+10,则 f(x)在 x= 处的瞬时变化率是( ) 2 A.3 B.-3 C.2 D.-2 1 2 6.一物体的运动方程是 s= at (a 为常数),则该物体在 t=t0 时的瞬时速度是( ) 2 1 A.at0 B.-at0 C. at0 D.2at0 2 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知函数 y=f(x)=x2+1,在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为________. 8.过曲线 y=2x 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________. 9.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v(t)=t2+2t+2,则在时间间隔[1,1+Δt] 内的平均加速度是________,在 t=1 时的瞬时加速度是________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2-2x,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.

C.f′(x0)

11.用导数的定义,求函数 y=f(x)=

1 在 x=1 处的导数. x

能力提升 12. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x), f′(0)>0, 对于任意实数 x, 有 f(x)≥0, f?1? 则 的最小值为________. f′?0? 13.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是 a=5×105 m/s2,枪弹 - 从枪口射出时所用的时间为 1.6×10 3 s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

1.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数 s=s(t)描述,设 Δt 为时间改变量,在 t0+Δt 这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是 Δs=s(t0+Δt)-s(t0),那么位移改变量 Δs Δs s?t0+Δt?-s?t0? 与时间改变量 Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度 v ,即 v = = . Δt Δt 2.由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法): Δy Δy Δy (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率 ;0 .→0 . Δx Δx Δx

第三章 导数及其应用 § 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 答案
知识梳理 f?x2?-f?x1? f?x0+Δx?-f?x0? 1. lim Δx Δx→0 x2-x1 f?x0+Δx?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? 2. lim 导数 f′(x0) y′|x=x0 lim → → Δx Δx Δx 0 Δx 0 作业设计 1.A 2.B [∵Δy=f(1+Δx)-f(1) =2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2, 2 Δy 4Δx+2?Δx? ∴ = =4+2Δx.] Δx Δx Δy f?3?-f?1? 1-3 3.B [ = = =-1.] Δx 2 3- 1 f?x0-Δx?-f?x0? f?x0?-f?x0-Δx? f?x0?-f?x0-Δx? 4. A [lim = lim - =- lim =-f′(x0).] Δx Δx Δx Δx→0 Δx→0 Δx→0 3 ?3? f? +Δx? ?-f?2? Δy ? 2 5.B [∵ = =-Δx-3, Δx Δx Δy ∴ lim =-3.] → Δx 0Δx Δs s?t0+Δt?-s?t0? 1 6.A [∵ = = aΔt+at0, Δt Δt 2 Δs ∴ lim =at0.] Δt→0 Δt 7.0.41 8.1 2-1 解析 由平均变化率的几何意义知 k= =1. 1-0 9.4+Δt 4 Δv v?1+Δt?-v?1? 解析 在[1,1+Δt]内的平均加速度为 = =Δt+4,t=1 时的瞬时加速度 Δt Δt Δv 是 li m =li m (Δt+4)=4. Δt→0 Δt Δt→0 10.解 函数 f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为: f?-1?-f?-3? ?-1?-?-3? [?-1?2-2×?-1?]-[?-3?2-2×?-3?] = =-6. 2 函数 f(x)在[2,4]上的平均变化率为: f?4?-f?2? ?42-2×4?-?22-2×2? = =4. 2 4-2 1 1 11.解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= - 1 1+Δx

1- 1+Δx -Δx = , 1+Δx 1+Δx· ?1+ 1+Δx? -1 Δy ∴ = , Δx 1+Δx· ?1+ 1+Δx? -1 Δy ∴ lim = lim Δx→0 Δx Δx→0 1+Δx· ?1+ 1+Δx? = 1 =- , 2 1+0· ?1+ 1+0? 1 ∴y′|x=1=f′(1)=- . 2 12.2 解析 由导数的定义, f?Δx?-f?0? 得 f′(0) = lim Δx Δx→0 a?Δx?2+b?Δx?+c-c = lim Δx Δx→0 = lim [ a · ( Δ x ) + b ]=b. → =
Δx 0

-1

?Δ=b -4ac≤0 ? b2 又? ,∴ac≥ ,∴c>0. 4 ?a>0 ?

2

f?1? a+b+c b+2 ac 2b = ≥ ≥ =2. b b b f′?0? 1 13.解 运动方程为 s= at2. 2 1 1 因为 Δs= a(t0+Δt)2- at2 2 2 0 1 =at0Δt+ a(Δt)2, 2 Δv Δs 1 Δs 所以 =at0+ aΔt.所以 0 =li m =at0. Δt 2 Δt Δt→0 Δt -3 5 2 由题意知,a=5×10 m/s ,t0=1.6×10 s, 所以 at0=8×102=800 (m/s). 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. ∴



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