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广东省珠海四中2015-2016学年高二上学期10月阶段测试数学理试题



珠海四中 2015-2016 学年高二 10 月阶段测试 数学理试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知数列 1 , 3 , 5 , 7 , 3 , 11 ,…, 2n ? 1 ,…,则 21 是这个数 2015.10.24

列的(

) B.第 11 项 C.第 12 项 ( D.
)


A.第 10 项

D.第 21 项 )

2、若 △ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,那么 cos C ?

A. ?

1 4
2

B.

1 4
2

C. ?
1 1 ? 2 2 ab a b

2 3

2 3

3. 已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a ? b
2 2

B. a b ? ab

C.

D.

b a ? a b


4. 在数列 ?an ? 中,已知前 n 项和 Sn ? 7n2 ? 8n ,则 a100 的值为( A. 69200 B. 1400 C. 1415 D. 1385 )

5. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? ( A. 36 B. 72 C. 18 D. 114 6. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 4,a2 ? a3 ? 12 ,则 a5 ? (



A.64

B.81

C.128

D.243

7. 已知等差数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项,所有奇数项之和为 132 ,所有偶数项之和为 120 ,则

n 等于(
A. 9

) B. 10

C. 11

D.不确定

8. 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn,Tn ,已知 ( A. 7 ) B.

Sn a 7n ,则 5 等于 ? Tn n ? 3 b5

2 3

C.

27 8

D.

21 4

9、在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30?, 60? ,则塔高

为 ( A


400 m? 3

B

400 3 m? 3

C

200 3 m? 3

D

200 m 3

10. 小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列

{an } 有以下结论:① a5 ? 15 ;

② {an } 是一个等差数列;

③数列 {an } 是一个

等 比 数 列 ; ④ 数 列 {an } 的 递 堆 公 式 an?1 ? an ? n ? 1 (n ? N * )。 其 中 正 确 的 是 ( )

(1)

(2)

(3)

(4)

A.①②④

B.①③④

C.①②

D.①④

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a 9 ? 16, a 4 ? 1 ,则 a 12 ? 12. 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ?

1 2 2 n ? n?4, 这个数列的通项公式为_____ 4 3

13. 一个凸多边形内角成等差数列,其中最小角为 120? ,公差为 5 ? ,则多边形的边数 是 .

14.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? x ? 2 的定义域为

三、解答题(写出必要的解题过程,共计 80 分) 15.如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ? ,距离 18 6 海里,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30 ? , 距离为 12 3 海里, 货轮由 A 处向正北航行到 D 处时, 再看灯塔 B 在 北偏东 120? ,求: (1) A 处与 D 处的距离(7 分) ; (2)灯塔 C 与 D 处的距离(7 分) 。 C B D

A

16. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 ?bn ? 中,

b1 ? 1 ,点 P(bn , bn?1 ) 在直线 x-y+2=0 上。

(1)求 a1 , a 2 的值;

(2)求数

列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式

17、已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边; (1)若 ?ABC 面积

S ?ABC ?
的形状.

3 o s B, s i A, b 的值; (2) 若a ? cc 且 b ? cn 试判断 ?ABC , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 2

18. A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c . 若 m = ?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B? ,且 m ? n ? (Ⅰ)求 A ;

1 . 2 (Ⅱ)若 a = 2 3 ,三角形面积 S = 3 ,求 b ? c 的值.

19. 已知数列 ?an ? 各项均不为 0 ,且满足关系式 an ?

3an ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? 3

(1)求证数列 ?

?1? 1 (2)当 a1 ? 时,求数列 ?an ? 的通项公式. ? 为等差数列; 2 ? an ?

高二数学参考答案 1. 【解析】答案为 B。令 2n ? 1 ? 21 ? n ? 11 ,故选 B。 2. 【解析】 答案为 A。 由已知得 a : b : c ? 2 : 3 : 4 , 可设 a ? 2k , b ? 3k , c ? 4k (k ? 0) ,

则 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 4k 2 ? 9k 2 ? 16k 2 1 ? ? ? ,故选 A。 2ab 2 ? 2k ? 3k 4

3. C.4. D. 5. B.6. B. 7. B

8. D.

9. A.

10. 【解析】答案为 D。易知该数列为 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , ?,排除法可得。

? 59 , n ? 1, ? ? 12 11.15 12. an ? ? 13.9 ? 6n ? 5 , n ? 1. ? ? 12

14、 x | x ? ?2或x ? 1

?

?

15.解: (1)设 AD ? x ,由题意知
?DAB ? 75?, ?ADB ? 60?, ?ABD ? 45? ,
D C B

由正弦定理可得:

x 18 6 ,解得 x ? 36 , ? sin 45? sin 60?

答: A 、 D 两处相距 36 海里。 (2)设 CD ? y ,
A

由余弦定理可得: y 2 ? 362 ? 12 3 ? 2 ? 36 ?12 3 cos30? ,∴ y ? 12 3 答:灯塔 C 与 D 处的距离为 12 3 海里。
16.

?

?

2

解: (1)∵ an 是 Sn 与 2 的等差中项∴ S n ? 2an ? 2 ∴ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2

a1 ? a2 ? S 2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4
(2)∵ S n ? 2an ? 2 , S n?1 ? 2an?1 ? 2 又∵ S n ? S n?1 ? an (n ? 2, n ? N *)

∴ an ? 2an ? 2an?1 ,

an ? 2(n ? 2, n ? N *) a n ? 1 ∵ an ? 0 ,∴

即数列 ?an ? 是等比数列∵ a1 ? 2 ,∴ an ? 2n ∵点 P(bn , bn?1 ) 在直线 x-y+2=0 上,∴ bn ? bn?1 ? 2 ? 0 ∴ bn?1 ? bn ? 2 ,即数列 ?bn ? 是等差数列, 又 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1
17、 (1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 2 2 2 2 由

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 12 ? 2 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,∴ a ? 3

a 2 ? c2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? 在 Rt ?ABC 中, 2ac a a sin A ? ,所以 b ? c ? ? a 所以 ?ABC 是等腰直角三角形 c c 1 18.解: , (Ⅰ)∵ m = ?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B? ,且 m ? n ? 2 1 1 B?co s C ?s i n B ?s i n C ? , ∴ cos ?B ? C ? ? , ∴ cos 2 2 1 ?? ? A? ? , 即 cos 2 1 2 即- cos A ? ,又 A ? ?0, ? ? ,∴ A ? ? . 2 3 1 1 2 (Ⅱ) S ?ABC ? bc ? sin A ? bc ? sin ? ? 3 ,∴ bc ? 4 2 2 3 2 2 2 又由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos1200 ? b 2 ? c 2 ? bc
(2)由 a ? c ? ∴16= ?b ? c? ,故 b ? c ? 4 .
2

19. 解: (1)

1 an ?1 ? 3 1 1 1 1 1 ,? ? ? ? ? ? 是常数, an 3an ?1 3 an ?1 an an?1 3

∴?

?1? 3 (2) an ? . ? 为等差数列. n?5 ? an ?



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