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2010-2011(2)高三级第一学期理科数学综合练习试题


2010-2011 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题(二) 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题 第一学期理科数学综合练习试题(
本试题第一卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,第二卷为答题卡, 共 8 页。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的. 1.已知 z 是纯虚数, A. 2 i

z+2 是实数(其中 i 为虚数单位) ,则 z = ( 1? i
B. i C. ? i

) D. ?2 i
频率

2.对命题 p : A ∩ ? = ? ,命题 q : A ∩ ? = A ,下列说法正确的是( A. p ∧ q 为真 C. ?p 为假 B. p ∨ q 为假 D. ?p 为真

)组距

3.图1是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图, 若80分以上为优秀,根据图形信息可知:这次考试的优秀率为( A. 25% B. 30% C. 35% )

D. 40% 图1

4.若直线 ax + 2by ? 2 = 0( a > 0, b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 = 0 的 周长,则 A. 1

1 2 + 的最小值为( a b

) C. 5 D. 4 2 )

B. 3 + 2 2

5.某器物的三视图如图 2 所示,根据图中数据可知该器物的表面积为( A. 4π B. 5π C. 8π D. 9π

6.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条 渐近线方程为 x ? 2 y = 0 ,则它的离心率为( A. 5 B. ) C. 3
2

图2

5 2

D. 2 )

7.若关于 x 的不等式 x + 1 ? x ? 2 < a ? 4a 有实数解,则实数 a 的取值范围为( A. ( ?∞,1) U (3, +∞ ) B. (1,3) C. ( ?∞, ?3) U ( ?1, +∞)

D. (?3, ?1)

8. a = ( a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) , 若 定义一种向量积: ? b = ( a1b1 , a2b2 ) , a 已知 m = (2, ), n = (

r

r

r

r

ur

1 r 2

π
3

, 0) ,

且点 P ( x, y ) 在函数 y = sin x 的图象上运动, Q 在函数 y = f ( x) 的图象上运动, 点 且点 P 和点 Q 满足:OQ = m ? OP + n(其中 O 为坐标原点) 则函数 y = f ( x) 的最大值 A 及最小正周期 T 分 , 别为


uuur

ur

uuu r r

A. 2, π

B. 2, 4π

C.

1 ,π 2

D.

1 , 4π 2

小题,小题 二、填空题:本大题共 6 小题 小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9~13题) 必做题( 9.在二项式 (2 x ? ) 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n = _______. (用数字作答)
n

1 x

10.已知等差数列 {a n } 中,有

a11 + a12 + L + a20 a1 + a2 + L + a30 = 成立. 10 30
Ks

类似地,在等比数列 {bn } 中,有_____________________成立. 11.按如图 3 所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63 , 则判断框中的整数 H = _________.

? x 2 x ∈ [0,1] ? 12.设 f ( x ) = ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) , x ∈ (1, e] ?x ?




e

0

f ( x)dx = ________.
ο

13.在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A B、C 所对的边,且 A = 30 . 、 ③ 现给出三个条件: a = 2 ; ② B = 45° ; c = ①

图3

3b .试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,
(用

并以此为依据求 ?ABC 的面积. (只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 序号填写);由此得到的 ?ABC 的面积为 . 选做题( 考生只能从中选做两题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做两题) 14. 几何证明选讲选做题 (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线, T 为切点, 几何证明选讲选做题 M T . P O

∠ATM =

π
3

,圆 O 的面积为 2π ,则 PA =

15. 坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ρ = 3 截 (坐标系与参数方程选做题) 坐标系与参数方程选做题 直线 ρ cos(θ +

A

π
4

) = 1 所得的弦长为

. 图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题 16. 本小题满分 分) 必做题) (本小题满分 本小题满分12分 (必做题) 已知坐标平面上三点 A( 2,0) , B (0,2) , C (cos α , sin α ) .
2 ,求向量 OB 与 OC 夹角的大小; (1)若 (OA + OC ) = 7 (O 为坐标原点)

uuu uuur r

(2)若 AC ⊥ BC ,求 sin 2α 的值.

17. (本小题满分 12 分) 必做题) 本小题满分 (必做题) 一个盒子内装有八张卡片,每张卡片上面分别写着下列函数中的一个: f1 ( x) = x , f 2 ( x) = 2 ,
x

f 3 ( x) = ln(| x | +3) ,f 4 ( x) = sin x ,f 5 ( x) =| sin x | ,f 6 ( x) = cos x ,f 7 ( x) = cos | x | ,f8 ( x) = 3 ,
而且不同卡片上面写着的函数互不相同,每张卡片被取出的概率相等. (1) 如果从盒子中一次随机取出两张卡片, 并且将取出的两张卡片上的函数相加得到一个新函数, 求所得新函数是奇函数的概率; (2)现从盒子中一次随机取出一张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的 函数是偶函数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了 ξ 次才停止取出卡片,求 ξ 的数学 期望.

18. 本小题满分 分) 必做题) (本小题满分 本小题满分14分 (必做题) 如图 5,已知 AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边 三角形, AD = DE = 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. C F 图5 D A B E

19. 本小题满分 分) 必做题) (本小题满分 本小题满分14分 (必做题) 过点 P0 (1, 0) 作曲线 C : y = x ( x ∈ (0, +∞ )) 的切线,切点为 Q1 ,过 Q1 作 x 轴的垂线交 x 轴于点
3

P ,又过 P 作曲线 C 的,切点为 Q2 ,过 Q2 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 P2 ,…,依次下去得到一系 1 1
列点 Q1 , Q2 , Q3 ,…,设点 Qn 的横坐标为 an . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求和:

∑a
i =1

n

i



i

(3)求证: an > 1 +

n (n ≥ 2, n ∈ N ? ) . 2

20. 本小题满分 分) 选做题) (本小题满分 本小题满分14分 (选做题 已知圆 M :( x ? m) 2 + ( y ? n) 2 = r 2 及定点 N (1, 0) , P 是圆 M 上的动点, Q 在 NP 上, 点 点

uuu r

uuur

r uuur uuu

点 G 在 MP 上,且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m = ?1, n = 0, r = 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ,是否存在一组正实数 m, n, r ,使得 直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.

21(本小题满分 14 分) 选做题) 本小题满分 (选做题 己知函数 f ( x ) =

1 . ( x + 1) ln( x + 1)

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域; (2) 求函数 f ( x ) 的增区间; (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 x +1 > ( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立?若存在,求出实数 m 的
m 1

取值范围;若不存在,请说明理由.

2010-2011 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题(二) 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题(
第 Ⅱ 卷
姓名: 班别: 成绩:


题号 答案 一 二 16 17


18


19 20 21 总分

一、选 择 题 答 题 卡 题号 答案 二、填空题: 填空题: 9、 ; 10、 ; 1 2 3 4 5 6 7 8

11、



12、



13、

,



14、

;15.

;

个小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:共 5 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: 16、解:

17、解:

18、解:

B

E

A

C

F 图5

D

19、解:

20、解

21、解:





线

2010-2011 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题(二) 年度高三级第一学期理科数学综合练习试题(
一、选择题: 选择题: 题号 答案 1
D

2
C

3
B

4
B

5
D

6
A

7
A

8
D

二、填空题: 填空题:
9. 8 ; 10. 10 b11b12 L b20 = 30 b1b2 L b30 ; 11. 5 ; 12. (或①③, 3 ) 14. 3 2 ; ; 15. 4 2 .

4 ; 13.①②, 3 + 1 3

uuu uuur r 三、解答题:16.解: 解答题: (1)∵ OA + OC = ( 2 + cos α , sin α ) , (OA + OC ) 2 = 7 , 解答题
∴ ( 2 + cos α ) 2 + sin 2 α = 7 ,………… 2 分;∴ cos α =

1 .…………… 4 分 2

又 B (0,2) , C (cos α , sin α ) ,设 OB 与 OC 的夹角为 θ ,则:

cos θ =

OB ? OC OB OC
uuur

=

uuu uuur r 2 sin α 3 π 5 = sin α = ± ,∴ OB 与 OC 的夹角为 或 π .…… 7 分 2 2 6 6
………………… 9 分

(2)Q AC = (cos α ? 2,sin α ) , BC = (cos α , sin α ? 2) , 由 AC ⊥ BC ,∴ AC ? BC = 0 , 可得 cos α + sin α =

1 ,①………………… 11 分 2 1 3 3 2 ∴ (cos α + sin α ) = ,∴ 2 sin α cos α = ? , sin 2α = ? . …………………12 分 4 4 4 17.解: (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,Q 在所给
的 八 个 函 数 中 , 奇 函 数 有 两 个 :

uuur

uuu r

uuur uuu r

f1 ( x ) = x, f 4 ( x ) = sin x; 偶 函 数 有 五

个: f3 (x) = ln( x + 3), f5 ( x) = sin x , f6 ( x) = cos x, f7 ( x) = cos x , f8 ( x) = 3; 既不是奇函数也不是偶函数 的有一个: f2(x) =2 . 由题意知 P(A) =
x

1 1 1 = . 分;答:所得新函数是奇函数的概率等于 . ξ …5 (2) 2 C8 28 28

可取 1,2,3,4,根据题意得
P(ξ = 1) =
1 C5 5 C1 C1 15 C1 C 1 C 1 5 C1 C 1 C1 C1 1 = , P(ξ = 2) = 3 ? 5 = , P (ξ = 3) = 3 ? 2 ? 5 = , P (ξ = 4) = 3 ? 2 ? 1 ? 5 = . …10 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C8 8 C8 C7 56 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56

故 ξ 的分布列为

ξ
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56

5 15 5 1 3 3 Eξ = 1× + 2 × + 3 × + 4 × = .……………12 分;答: ξ 的数学期望为 . 8 56 56 56 2 2 18.解法一:(1) 证:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . 1 ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF = DE .∵ AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , 2 1 ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB = DE ,∴ GF = AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 2 则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . …… 4 分 ∴ (2) 证明: ?ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, AF ⊥ CD ∵ DE ⊥ 平面 ACD ,AF ? ∵ 平面 ACD ,∴ DE ⊥ AF .又 CD I DE = D ,故 AF ⊥ 平面 CDE . ∵ BG // AF ,∴ BG ⊥ 平 ………8 分 面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE ,∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . (3) 解: 在平面 CDE 内, F 作 FH ⊥ CE 于 H , BH . 过 连 ∵平面 BCE ⊥ 平面 CDE , ∴ FH ⊥ 平面 BCE .∴ ∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. …………10 分
设 AD = DE = 2 AB = 2a ,则 FH = CF sin 45° =

2 a, 2

BF = AB 2 + AF 2 = a 2 + ( 3a )2 = 2a ,
FH 2 = .…………13 分 BF 4 2 ∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 ………14 分 4 解法二:设 AD = DE = 2 AB = 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,
在 R t△ FHB 中, sin ∠FBH =

0, 0, 则 A ( 0, 0 ) ,C ( 2a, 0 ) , B ( 0, 0, a ) , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a . ∵ F 为 CD 的 中 点 , ∴

(

) (

)

uuu ? 3 r r uuu r ?3 ? ? uuu 3 3 F ? a, a, 0 ? . (1) 证: AF = ? a, a, 0 ? , BE = a, 3a, a , BC = ( 2a, 0, ? a ) , ?2 ? ?2 ? 2 2 ? ? ? ? uuu 1 uuu uuu r r r ∵ AF = BE + BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . …………4 分 2 uuu ? 3 r r uuu r ? uuu 3 (2) 证:∵ AF = ? a, a, 0 ? , CD = ? a, 3a, 0 , ED = ( 0, 0, ?2a ) , ?2 ? 2 ? ? uuu uuu r r uuur uuu r uuu uuu uuur uuu r r r ∴ AF ? CD = 0, AF ? ED = 0 ,∴ AF ⊥ CD, AF ⊥ ED . uuur ∴ AF ⊥ 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………8 分 r r uuu r r uuu r (3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,由 n ? BE = 0, n ? BC = 0 可得: r x + 3 y + z = 0, 2 x ? z = 0 ,取 n = 1, ? 3, 2 . …………10 分

(

)

(

)

(

)

(

)

又 B =? a, F

uuu ?3 3 ? r | BF? n| 2a 2 θ ?2 2 a,?a?,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ ,则 sin = | BF| ?| n| = 2a? 2 2 = 4 .…13 分 ? ? ?
2 . 4
3

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

…………14 分
3 2

19.解: (1)∵ y = x 3 ,∴ y′ =3x2 .若切点是 Qn (an , an ) ,则切线方程为 y ?an =3an (x?an) …1 分

当 n = 1 时,切线过点 P0 (1, 0) ,即: 0 ? a1 = 3a1 (1? a1 ) ,依题意 a1 > 0 .所以 a1 =
3 2 3 2

3 .……2 分 2

) 当 n>1时,切线过点 P ?1(an?1,0) ,即: 0?an =3an (an?1 ?an ),依题意 an >0,所以 a = a ?1(n>1 .…3 分; n n n
3 3 ? 3? 所以数列 {an } 是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 an = ? ? .…4 分 2 2 ? 2?
(2)记 Sn =
n

3 2

1 2 n ?1 n 1 2 1 2 1 2 n?1 n + +L+ + ,因为 = ? ,所以 Sn = + +L+ + .…5 分 a1 a2 an?1 an an 3 an?1 3 a2 a3 an an+1
1 1 1 1 n 2 ?2? ?2? ?2? Sn = + + L + ? = + ? ? +L + ? ? ? n ? ? 3 a1 a2 an an +1 3 ?3? ?3? ?3?
2 n n +1

两式相减,得:

n 2? ? 2? ? ?1?? ? ? n n+1 n n 3? ? 3? ? ? 2?n+1 ? ? 2?n ? ? 2?n+1 i ? ? 2? ? ? 2? ? ? ? 2? = ?n? ? =2?1?? ? ??n? ? .∴ Sn = ∑ = 6?1?? ? ? ?3n? ? = 6?2(n+3)? ? ……9 分 2 ? 3? ? 3? i=1 a ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? i ? ? ? ? 1? 3

n ? 1? n ? 1? 0 1?1? 0 1 1 2 ? 1? (3)证法 1: an = ?1+ ? = Cn +Cn ? + Cn ? ? +L+ Cn ? ? > Cn + Cn ? ? = 1+ (n ≥ 2) …14 分 2 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
证法 2:当 n = 2 时, a2 = ?

n

2

n

5 2 ?3? 9 ? = = 1 + > 1 + .…………………10 分 4 4 2 ?2?

2

假设 n = k 时,结论成立,即 ak > 1 + 即 n = k + 1 时. ak +1 > 1+

3 3? k ? 1 3k 1 k k +1 k ,则 ak+1 = ak > ?1+ ? =1+ + ? >1+ + =1+ . 2 2 2? 2? 2 22 2 2 2

k +1 n .……13 分;综上, an > 1 + 对 n ≥ 2, n ∈ N ? 都成立.…14 分 2 2 uuu r uuur uuur uuu r 20.解: (1)Q NP = 2 NQ,∴ 点 Q 为 PN 的中点,又Q GQ ? NP = 0 ,
…………2 分

∴ GQ ⊥ PN 或 G 点与 Q 点重合.∴ | PG |=| GN | .

又 | GM | + | GN |=| GM | + | GP |=| PM |= 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a = 2, c = 1 ,∴ b =

a 2 ? c 2 = 3,∴ G 的轨迹方程是

x2 y 2 + = 1. 4 3

…………6 分

(2)解:不存在这样一组正实数,下面证明:由题意,若存在这样的一组正实数,当直线 MN 的斜 率存在时,设之为 k ,故直线 MN 的方程为: y = k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 中点

?x12 y12 ? + =1 (x ? x )(x + x ) ( y ? y )( y + y ) ?4 3 D( x0 , y0 ) ,则 ? 2 2 ,两式相减得: 1 2 1 2 + 1 2 1 2 = 0 .……9 分 4 3 ?x2 + y2 =1 ?4 3 ?
x1 + x2 ? ? x0 = 2 y1 ? y2 1 ? 注意到 = ? ,且 ? x1 ? x2 k ? y = y1 + y2 ? 0 ? 2

,则

3x0 1 = , ②,又点 D 在直线 MN 上, 4 y0 k

∴ y0 = k ( x0 ? 1) , 代入②式得: 0 = 4 . x 因为弦 AB 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, ?2 < x0 < 2 , 故
这与 x0 = 4 矛盾,所以所求这组正实数不存在.………13 分;当直线 MN 的斜率不存在时,直 线 MN 的方程为 x = 1 ,则此时 y1 = y2 , x1 + x2 = 2 ,代入①式得 x1 ? x2 = 0 ,这与 A, B 是不同 两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在.……14 分 21. 解:(1)根据函数解析式得 ?

?x +1 > 0 , 解得 x > ?1 且 x ≠ 0 . ?x +1 ≠ 1

∴ 函数 f ( x) 的定义域是 { x x ∈ R, x > ?1且x ≠ 0} . …………………………3 分
(2) f (x) = Q

1 ln(x+1) +1 ?1 , ∴f ′(x) =? …5 分由 f ′(x) > 0 得 ln(x+1 +1<0.∴?1< x <e ?1. ) 2 2 (x +1)ln(x +1) (x+1) ln (x+1)

∴ 函数 f ( x) 的增区间为 (?1, e ?1 ? 1) .…………………………………………8 分
( 3 ) Qe?1 ?1 < x < 0,∴e?1 < x +1<1.∴?1< ln(x +1) < 0.∴ln(x +1) +1 > 0. ∴ 当 e ? 1 < x < 0 时, f ′(x) = ?
?1

ln(x +1) +1 < 0. ∴ 在区间 ( ?1, 0 ) 上,当 x = e?1 ? 1 时, f ( x) 取得最大值. (x +1)2 ln2 (x +1)
1

∴ ∴[ f (x)]最大 = f (e?1 ?1) = ?e . ………10 分; 2x+1 > (x +1)m 在 ?1< x < 0时恒成立. Q
在 ?1 < x < 0 时恒成立.∴ m >

1 ln2 > mln(x +1) x +1

ln 2 在 ?1 < x < 0 时恒成立. ( x + 1) ln( x + 1)

Q

ln 2 在 ?1 < x < 0 时的最大值等于 ?e ln 2 .∴ m > ?e ln 2. ( x + 1) ln( x + 1)
1

∴ 当 m > ?e ln 2 时,不等式 2 x +1 > ( x + 1) m 在 ?1 < x < 0 时恒成立.………14 分


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