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2016年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学3卷)



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2016 年普通高等学校招生全国统一考试

A. 各月的平均最低气温都在 0 C 以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大

文科数学
一.选择题 1 . 设 集 合

C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均气温高于 20 C 的月份有 5


5.若 tan ? ?

3 ,则 cos2 ? ? 2sin 2? ? ( 4



S ? {x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0} ,

A.
T ? {x | x ? 0} ,则 S

T ?(



64 25
4

B.

48 25
2 1

C.1

D.

16 25

A.[2,3]
C.[3, ??)

B.(??, 2] [3, ??)
D.(0, 2] [3, ??)


6.已知 a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? 25 3 ,则(



Ab . ?a?c C.b ? c ? a

B.a ? b ? c D.c ? a ? b

4i 2.若 z ? 1 ? 2i ,则 ?( z z ?1
A.1

7.执行下面程序框图,如果输入 a ? 4, b ? 6 ,那

B. ?1

C.i

D. ? i

么输出的 n ? (



3 . 已 知 向 量 B A? (

1 3 3 1 , ) ,B C? ( , , ) 则 2 2 2 2

?ABC ? (
A.30



B.45

C.60

D. 1 2 0

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制 了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达 图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C ,

B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C .下面叙述
正确的是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

9. 在 ABC 中,B ? 则 cos A ? ( )

?

1 , BC 边上的高等于 BC , 3 4

A.

3 10 10 B. 10 10

C. ?

10 10

D. ?

3 10 10

1

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9.如图,网格纸上的小正方形的边长为 1 ,粗实线 画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积 为( )

a1 , a2 ,

若m ? 4 , , ak 中 0 的个数不少于 1 的个数. )个

则不同的“规范 01 数列”共有(

A. 1 8
二.填空题

B.16

C.14

D.12

?x ? y ?1 ? 0 ? 13 . 若 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

z ? x ? y 的最大值为
14 . 函 数 y ? s i nx?



3 c ox s的 图 象 可 由 函 数
个单

A.18 ? 36 5

B.54 ? 18 5

y ? sin x ? 3 cos x 的图象至少向右平移
位长度得到.

C.90

D.81

10. 在封闭的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内有一个体积 为 V 的球, 若 AB ? BC , AB ? 6 ,BC ? 8, AA1 ? 3 , 则 V 的最大值为( )

15 . 已 知 f ( x) 是 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ?

ln(? x )? 3x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, ? 3) 处的切
线方程为 .
2 2

A.4?

B.

9? 2

C.6?

D.

32? 3

16.已知直线 l : mx ? y ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 12 相交于 A, B 两点,过 A, B 分别作 l 的垂线与 x 轴交 于 C, D 两点, 若 | AB |? 2 3 , 则 | CD |? 三.解答题 17.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 .

x2 y 2 11.已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b
(a ? b ? 0) 的左焦点, A, B 分别为 C 的左右顶点,
P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴,过点 A 的直线 l 与
线段 PF 交于点 M , 与 y 轴交于点 E , 若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的单离心率为( )

? ? 0.
(Ⅰ)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若 S5 ?

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

31 ,求 ? . 32

12.定义“规范 01 数列”{an } 如下:{an } 共有 2m 项,其中 m 项为 0 , m 项为 1 ,且对任意 k ? 2m ,

2

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18.下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害处 理量(单位:亿吨)的折线图:

19. 如图, 四棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABCD , (Ⅰ) 由折线图看出, 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ) 建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到 0.01 ) , 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

AD∥BC , AB ? AD ? AC ? 3, PA ? BC ? 4 ,
M 为线段 AD 上一点,AM ? 2MD, N 为 PC 中点.
(Ⅰ)证明: MN∥平面 PAB ; (Ⅱ)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.

? yi ? 9.32, ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

?

0.55 , 7 ? 2.646 .
参考公式:

相关系数 r ?

? x y ? nx y
i ?1 i i

n

(? x ? nx )(? y ? n y )
i ?1 2 i 2 i ?1 2 i 2

n

n



回归方程 y ? bx ? a ,

b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx .

3

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20.已知抛物线 C : y ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x
2

轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准 线于 P, Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 中点,证明

AR∥FQ ;
(Ⅱ) 若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求

AB 中点的轨迹方程.

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) , 以坐标原点为极点,x ? ? ? y ? sin ?
轴 正 半轴 为 极轴 建立 极 坐标 系 ,曲 线

21.设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其 中 a ? 0 ,记 | f ( x) | 的最大值为 A . (Ⅰ)求 f ( x) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ( x) |? 2 A .
'
'

C2 : ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4
(Ⅰ)求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求 | PQ | 的最 小值及此时 P 的直角坐标.

?

4



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