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《任意角》



第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任 意 角

探讨:
回忆初中所学的角是如何定义?角的范围?

举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围?

生活实例:
①体操比赛中术语:“ 转体720°” (即转体 2 周),“转体 1080° ” ( 即转体 周)

; 3

②时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋 转?( 逆时针旋转 30 度)如果慢了 5 分钟, 又该如何校正? ( 顺时针旋转 30度)

新知:
角可以看成平面内一条 射线 绕着 端点 从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如图,一条射线由原来的位置 OA,绕着它 的端点 O按逆时针方向旋转到终止位置 OB, 就形成角?, 旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边, OB叫 终边 , 射线的端点 O 叫做叫的顶点.

? , 360? ) 初中所研究的角的范围为[0? . O

B

A

新知: 按逆时针方向旋转所形成的角叫 正 角

按顺时针方向旋转所形成的角叫 负 角,
未作任何旋转所形成的角叫 零 角.

试试
?

图 2 中的角是正角, a 为 750° ;图 3中的角 ? 、? -150 °-660 ° 是负角为 、 .

?图2

再试试画出-45 °及405°.
图3

反思:
?角的概念推广到了

任意大小的 正 和 零 角.

, 角、 负



探究任务二:坐标系中讨论角
如何将角放入坐标系中讨论?
角的顶点与 原点 重合,角的 始边 与 Χ轴的 非负半轴重合 ? 新知: 角的终边(除端点外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角. 试试:在坐标系中表示300°、390°、-330° 角,并判别它们分别在第 四 、 一 、 一 象 限. 反思:角的终边在坐标轴上,属于哪一个象限?


探究任务三:终边相同的角
?问题: 与 60°终边相同的角 420° -300° 有780°、 、 、… 都可以用式子表示为 420° .=60°+360° -300°=60°-360° 780°=60°+2×360° 反思:

与α终边相同的角如何表示?

?新知: 与角α 终边相同的角,都可用式子 k· 360°+ α 表示,k∈Z,写成集合为
? = ? + k· S={? | 360°,k∈Z }

试试: 与 390°终边相同的角 可表示为 S={ | ? = , 390° + k· 360°,k∈Z } 也可以表示为 S={? | ? =. 30° + k· 360°,k∈Z }

?

?反思:
终边相同的角不一定 相等; 但相等的角,终边 一定 相同; 终边相同的角有无数多个, 它们相差 360°的整数倍.

例 1 在 0°~360°间,找出下列终边相同 角: (1)-150°;(2)1040°;(3)- 940°



小组讨论:
变式:写出与下列终边相同的角的集 合,并写出 -720°~360°间角. (1)120°;(2)-270°;(3) 1020°

例 2 写出终边在下列位置上的角的集合: (1)y 轴; (2)直线y=x . 解: 在 0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90°,270 °角。因此,所有与90°角终边相同的 角构成集合 S 1 ={β|β= 90°+k· 360,k∈Z } 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2=﹛β|β=270°+k· 360°,k∈Z﹜ 于是,终边在y轴上的角的集合 S=S ∪S2={β|β=90°+2k· 180°,k∈Z﹜ 1

∪﹛β|β=90°+180°+2k· 180°,k∈Z﹜
= {β|β=90°+2k· 180°,k∈Z﹜ 小组讨论第 (2)小题

∪﹛β|β=90°+(2k+1)· 180°,k∈Z﹜
= {β|β=90°+n· 180°,n∈Z﹜

小结
1.角的推广; 2.象限角的定义; 3.终边相同角的表示.

注意: 0°~360°是指0°≤α<360°

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1.460° 是( B ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.在 0°~360°范围内,与﹣60 终边相同的角是 C ( ). A.30° B.60° C.300° D.330° C). 3.0°~90°间的角可表示为( A.{α | 0°<α<90°} B.{α | 0°≤α< 90°}

C. {α | 0°≤α<90°} D. {α | 0°≤α≤90°} 4. 一个角为 30°,其终边按逆时针方向旋转一周后的角 的度数为 390°. 5. 集合 M={α|α =k×90°,k∈Z}中,各角的终边都 在坐标轴上 .

动手试试
练 1. 如图,终边落在 OA 位置时的角的集合是 : 终边落在OB 位置,且在 -360°~360°内的角的 集合是_ _; 终边落在阴影部分(含边 界)的角的集合是 _.



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