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2016届高考数学(理)考点分类自测:第18讲+双曲线(人教版含解析)



2016 年高考理科数学考点分类自测:双曲线
一、选择题 1.“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的 A.必要但不充分条件 C.充分必要条件 B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 x,若顶点到渐近线的 3 的 方 程 为
2 2

(

)

2.已知双曲线 2-

2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± 距 ( ) 离 为 1 , 则 双 曲 线

x2 y2 a b

x 3y A. - =1 4 4
C. - =1 4 4

2

2

B.

3x y - =1 4 4 D. - =1 4 3

2

2

x2 y2

x2 4y2

3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 C. 2
2

(

)

B. 3 D.3

4.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3

y2

???? ???? PA1 ? PF2 的最小值为
A.-2 81 B.- C.1 16 D.0

(

)

x2 y2 y2 2 5.设椭圆 + =1 和双曲线 -x =1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一 2 m 3
个交点,则 cos∠F1PF2 的值为 A. C. 1 4 2 3
2 2

(

)

1 B. 3 1 D.- 3

6.已知双曲线 mx -y =1(m>0)的右顶点为 A,若该双曲线右支上存在两点 B、C 使得△

ABC 为等腰直角三角形,则实数 m 的值可能为
A. 1 2 B.1 D. 3

(

)

C.2 二、填空题

7.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 ________. 8.已知双曲线 kx -y =1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,那么双曲线的 离心率为________;渐近线方程为____________. 9.P 为双曲线 x - =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4) +y =4 和(x-4) +y =1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 三、解答题 10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x +y =10 相交于点 P(3,-1),若此圆过 点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程.
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

y2

2

2

2

2

11.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

x2 y2 a b

12.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线

x2 y2 a b
1 5

E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .
(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC =λ

??? ?

??? ? ??? ? OA + OB ,求 λ 的值.

详解答案

一、选择题 1.解析:若 ax +by =c 表示双曲线,即 + =1 表示双曲线,则 <0,

2

2

x2 y2 c c a b

c2 ab

这就是说“ab<0”是必要条件,然而若 ab<0,c 可以等于 0,即“ab<0”不是充分条件. 答案:A 2.解析:不妨设顶点(a,0)到直线 3x-3y=0 的距离为 1,即 =1,解得 a=2. 3+9 3a

又 =

b a

3 2 3 x 3y ,所以 b= ,所以双曲线的方程为 - =1. 3 3 4 4

2

2

答案:A 3.解析:设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2=1 可

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b4 b2 c 2 2 2 2 2 2 得 y = 2,所以|AB|=2? =2?2a.∴b =2a .c =a +b =3a .∴e= = 3. a a a
2

答案:B 4.解析:设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0)、F2(2,0),则有 =x -1,y 3
2

y2

2

2

=3(x -1), PA1 ? PF2 =(-1-x,-y)?(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y =x +3(x
2 2

????

????

2

???? ???? 1 2 81 2 -1)-x-2=4x -x-5=4(x- ) - ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时, PA1 ? PF2 取得 8 16
最小值-2. 答案:A 5.解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 法一: 由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0,-2),F2(0,2), 2 3 2 2 联立 + =1 与 -x =1 组成方程组, 解得 P( , ). 所以由两点距离公式计算得|PF1| 2 6 3 2 2 = 6+ 3,|PF2|= 6- 3.

x2 y2

y2

又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| 1 cos∠F1PF2= = . 2|PF1|?|PF2| 3 法二: 由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0,-2).F2(0,2), 由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2| 1 = 6- 3,同上由余弦定理可得 cos∠F1PF2= . 3 答案:B 6.解析:由题意可得,点 A 的坐标为( 1 ,0),设直线 AB 的方程为 y=tan 45°(x
2 2 2

m



1 ),即 x=y+

m

? ?x=y+ 1 m ,与双曲线方程联立可得,? m 2 2 ? ?mx -y =1
1

,则(m-1)y +2 my

2

2 m 2 m 2 m =0,解得 y=0 或 y= .由题意知 y= 为 B 点的纵坐标,且满足 >0,即 0<m<1, 1-m 1-m 1-m 根据选项知. 答案:A 二、填空题 4 9 7.解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2=

a

b

1,考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等 式 a +b =c ,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心 率 e=2. 答案:2 8.解析:双曲线 kx -y =1 的渐近线方程是 y=± kx.∵双曲线的一条渐近线与直线 1 1 1 2x+y+1=0 垂直,∴ k= ,k= ,∴双曲线的离心率为 e= 2 4
2 2 2 2 2

k

+1 5 = ,渐近线方程 2 1

k
1 为 x±y=0. 2 答案: 5 1 x±y=0 2 2

9.解析:双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为 r1 =2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2, |PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2) -(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

答案:5 三、解答题 10.解:切点为 P(3,-1)的圆 x +y =10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行, 且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x±y=0. 设所求双曲线方程为 9x -y =λ (λ ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ =80, ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 11.解:直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= ∴s=d1+d2= 2ab = 2ab .
2 2 2 2

x2

y2

x y a b

b?a-1? , a2+b2

b?a+1? . a2+b2

a +b

2

2

c

4 2ab 4 2 2 2 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c -a ≥2c . 5 c 5 于是得 5 e -1≥2e ,即 4e -25e +25≤0. 5 2 解不等式,得 ≤e ≤5. 4 由于 e>1,∴e 的取值范围是[ 5 , 5]. 2
2 2 4 2

12.解:(1)点 P(x0,y0)(x≠±a)在双曲线 2- 2=1 上,

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 有 2- 2=1. a b
由题意又有
2

y0 y0 1 ? = , x0-a x0+a 5
2 2 2 2 2

可得 a =5b ,c =a +b =6b , 则 e= =
2

c a

30 . 5
2 2

? ?x -5y =5b (2)联立? ?y=x-c ?

,得 4x -10cx+35b =0,

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

5c x +x = , ? ? 2 则? 35b xx= . ? ? 4
1 2 2 1 2



设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即? 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b , 有(λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b .
2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?x3=λ ? ?y3=λ ?

x1+x2, y1+y2.

化简得:λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ (x1x2-5y1y2)=5b , 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1-5y1=5b ,
2 2 x2 2-5y2=5b . 2 2 2

2

2

2

2

2

2

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 得:λ +4λ =0,解出 λ =0,或 λ =-4.
2 2 2



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