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湖北省襄阳市枣阳市白水中学2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高二(上)10 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. ) 1.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是( )

A.8

B.6

C.4

D.3

2.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对全班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同 学 20 名) ,采用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 10 的样本进行研究,某女同学甲被抽 ) 取的概率为( A. B. C. D.

3.已知某校高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818,教育部门抽查了该校高一学生学 ) 号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况.这里所用的抽样方法是( A.抽签法 B.分层抽样 C.系统抽样 D.随机数表法 4.在一次歌咏比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( A.92,2.8 B.92,2 C.93,2 D.93,2.8 )

5.x1,x2…xn 的平均数为 ,方差为 S2,则数据 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的方差是( A.S2 B.3S2 C.9S2 D.9S2+30S+25 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

)

A.1

B.

C.

D.

7.1 升水中有 2 只微生物,任取 0.1 升水化验,含有微生物的概率是( A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2

)

8.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 ) 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是(

A.19、13

B.13、19

C.20、18

D.18、20

9.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如 下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 ,其中 10.0 8.0 11.3 8.5 ,据此估计,该社区一户 11.9 9.8

根据上表可得回归直线方程

) 收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 10.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( )

A.63

B.31

C.15

D.7

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. y)满足 x+y≥1 已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z},则从 A 中任选一个元素(x, 的概率为__________. 12.高三(1)班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中任选 3 人参加上海市某社区敬 老服务工作,则选出的人中至少有一名女生的概率是__________. (结果用最简分数表示) 13.两个数 90,252 的最大公约数是__________. 14.连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币,在至少有一次出现正面向上的条件下,恰有一次出 现反面向上的概率为__________. 15.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女生当选的概率是__________(用分数作答) .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.近期世界各国军事演习频繁,某国一次军事演习中,空军同时出动了甲、乙、丙三架不 同型号的战斗机对一目标进行轰炸,已知甲击中目标的概率是 ;甲、丙同时轰炸一次,目 标未被击中的概率是 ;乙、丙同时轰炸一次都击中目标的概率是 .

(Ⅰ)求乙、丙各自击中目标的概率. (Ⅱ)求目标被击中的概率. 17.为考察某种甲型 H1N1 疫苗的效果,进行动物实验,得到如下疫苗效果的实验列联表: 感染 未感染 总计 20 30 50 没服用

x y 50 服用 M N 100 总计 设从没服用疫苗的动物中任取两只,感染数为 ξ,从服从过疫苗的动物中任取两只,感染数 为 η,工作人员曾计算过 P(ξ=2)= P(η=2)

(1)求出列联表中数据 x,y,M,N 的值; (2) 写出 ξ 与 η 的均值 (不要求计算过程) , 并比较大小, 请解释所得出的结论的实际意义; (3)能够以 97.5%的把握认为这种甲型 H1N1 疫苗有效么?并说明理由. 参考数据: P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

18. (14 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中 环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)= +2a+ ,x∈R,

其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若取每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性 污染指数,并记作 M(a) . (1)令 t= ,x∈R,求 t 的取值范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问:目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标? 19.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 分组 低碳族的人 占本组的频 数 率 [25,30) 120 0.6 第一组 [30 35 195 p 第二组 , ) [35,40) 100 0.5 第三组 [40,45) a 0.4 第四组 [45,50) 30 0.3 第五组 [50,55) 15 0.3 第六组 (Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (Ⅱ)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.

20. (13 分)如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成 绩(单位:分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x,y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) .

21.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标(m,n) ,求: (1)点 P 在直线 x+y=7 上的概率; (2)点 P 在圆 x2+y2=25 外的概率.

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳市白水中学高二(上) 10 月月考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. ) 1.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是( )

A.8

B.6

C.4

D.3

【考点】循环结构. 【专题】计算题. 【分析】按照程序的流程写出前几次循环的结果,直到 k=4 执行“否:得到 x=8,输出即可. 【解答】解:经过第一次循环得到 S=1+1×31=4,k=2 经过第二次循环得到 S=4+2×32=22,k=3 经过第三次循环得到 S=22+3×33=103,k=4 此时执行“否:得到 x=8 故选 A. 【点评】本题考查循环结构,本题解题的关键是读懂框图,并且能够利用数字进行检验,本 题是一个基础题. 2.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对全班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同 学 20 名) ,采用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 10 的样本进行研究,某女同学甲被抽 ) 取的概率为( A. B. C. D.

【考点】等可能事件的概率;分层抽样方法. 【专题】常规题型. 【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是 50,而满足条件的事件数 是 10,由古典概型公式得到结果,题目抽样时不管采用什么抽样,每个个体被抽到的概率 相等.

【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验发生的所有事件是 50, 而满足条件的事件数是 10 ∴由古典概型公式得到 P= ,

故选 A. 【点评】本题考查随机事件的概率,随机事件的概率,一般都是要通过大量重复试验来求得 其近似值.但对于等可能事件来说,每次试验只可以出现有限个不同的试验结果,并且出现 所有这些不同结果的可能性是相等的. 3.已知某校高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818,教育部门抽查了该校高一学生学 ) 号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况.这里所用的抽样方法是( A.抽签法 B.分层抽样 C.系统抽样 D.随机数表法 【考点】系统抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】当总体容量 N 较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体 分段,分段的间隔要求相等,预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一 个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 【解答】解:当总体容量 N 较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将 总体分段, 在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号, 在此编号的基础上加上分段间 隔的整倍数即为抽样编号. 某校高一学生的学号后三位数字从 001 编至 818, 抽查了该校高一学生学号后两位数字是 16 的同学的体育达标情况, 这里运用的抽样方法是系统抽样, 故选 C. 【点评】本题考查系统抽样,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成 均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取一个个体, 得到所需要的样本. 4.在一次歌咏比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( A.92,2.8 B.92,2 C.93,2 D.93,2.8

)

【考点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】先由题意列出所剩数据,由平均数和方差公式依次求出均数、方差即可. 【解答】解:由题意所剩数据:90 90 93 94 93, 所以平均数 = =92,

方差 S= [(90﹣92)2+(90﹣92)2+(93﹣92)2+(94﹣92)2+(93﹣92)2]=2.8, 故选:A. 【点评】本题考查平均数和方差公式,属于基础题.

5.x1,x2…xn 的平均数为 ,方差为 S2,则数据 3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的方差是( ) 2 2 2 2 A.S B.3S C.9S D.9S +30S+25 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】计算题. 【分析】根据一组数据的方差,可以得到在这组数据上同时加上或者减去相同的数,方差不 变,同时乘以相同的数字,方差变为所乘数字的平方倍. 【解答】解:∵x1,x2…xn 的方差为 S2, ∴3x1+5,3x2+5,…,3xn+5 的方差是 32S2=9S2, 故选 C. 【点评】本题考查一组数据的方差,主要考查方差的变化规律,本题解题的关键是看出两组 数据之间的关系. 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.1

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的 i 的值与 2 的大小,满足判 断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止. 【解答】解:框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1. 执行 ,i=0+1=1;

判断 1≥2 不成立,执行

,i=1+1=2;

判断 2≥2 成立,算法结束,跳出循环,输出 S 的值为 故选 C.



【点评】本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条 件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题. 7.1 升水中有 2 只微生物,任取 0.1 升水化验,含有微生物的概率是( A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2 )

【考点】几何概型;古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】此题可理解为“将 1 升的水分为 1÷0.1=10 份,求细菌位于其中一份的概率”来解答. 【解答】解:1 升的水分为 1÷0.1=10 份,其中一份含有细菌的概率为 P= =0.2.

故选:D. 【点评】将一个实际问题转化为一个概率公式的模型来解答,是解题的关键.用到的知识点 为:概率=所求情况数与总情况数之比. 8.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 ) 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是(

A.19、13

B.13、19

C.20、18

D.18、20

【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数. 【专题】图表型. 【分析】根据给出的两组数据,把数据按照从小到大排列,根据共有 11 个数字,写出中位 数,即可得到结果. 【解答】解:由题意知, ∵甲运动员的得分按照从小到大排列是 7,8, 9,15,17,19,23,24,26,32,41 共有 11 个数字,最中间一个是 19, 乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是 5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,40, 共有 11 个数据,最中间一个是 13, ∴甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是 19,13. 故选 A. 【点评】本题考查中位数,对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数 分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题,考查最基本的知识点. 9.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如 下统计数据表: 收入 x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

支出 y(万元)

6.2

7.5 ,其中

8.0

8.5 ,据此估计,该社区一户

9.8

根据上表可得回归直线方程

) 收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 【考点】线性回归方程. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意可得 和 ,可得回归方程,把 x=15 代入方程求得 y 值即可. 【解答】解:由题意可得 = (8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10, = (6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8, 代入回归方程可得 =8﹣0.76×10=0.4, ∴回归方程为 =0.76x+0.4, 把 x=15 代入方程可得 y=0.76×15+0.4=11.8, 故选:B. 【点评】本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题. 10.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( )

A.63

B.31

C.15

D.7

【考点】程序框图. 【专题】图表型. 【分析】A=1,B=1,满足条件 A≤5,则执行循环体,依此类推,当 B=63,A=6,不满足条 件 A≤5,退出循环体,从而求出最后的 B 的值即可. 【解答】解:A=1,B=1,满足条件 A≤5,则执行循环体, B=3,A=2,满足条件 A≤5,则执行循环体, B=7,A=3,满足条件 A≤5,则执行循环体, B=15,A=4,满足条件 A≤5,则执行循环体, B=31,A=5,满足条件 A≤5,则执行循环体, B=63,A=6,不满足条件 A≤5,退出循环体,

输出 B=63. 故选 A. 【点评】 本题主要考查了当型循环结构, 根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题 型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与 计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. y)满足 x+y≥1 已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z},则从 A 中任选一个元素(x, 的概率为 . 【考点】古典概型及其概率计算公式;几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】利用枚举法确定满足 A 以及 x+y≥1 的点的个数,根据古典概型概率公式,可得结 论. 【解答】解:满足 A={(x,y)|x2+y2≤2,x∈Z,y∈Z}的点有: (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (0,﹣1) , (0,0) , (0,1) , (1,﹣1) , (1,0) , (1,1) ,共 9 个, 则从 A 中任选一个元素(x,y)满足 x+y≥1 的有: (0,1) , (1,0) , (1,1) ,共 3 个, 则从 A 中任选一个元素(x,y)满足 x+y≥1 的概率为 . 故答案为: . 【点评】本题考查古典概型求概率的办法,确定基本事件的个数是关键. 12.高三(1)班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中任选 3 人参加上海市某社区敬 老服务工作,则选出的人中至少有一名女生的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】在 7 人中选取 3 人,所有基本事件的个数为 事件个数为 率. 【解答】解:从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人,共有 而其中至少有一个女生的取法有: ﹣ =31 种 =35 种不同的取法, ﹣ =35,符合至少有一名女生的基本 . (结果用最简分数表示)

=31.由此结合古典概型计算公式,即可得到至少选到一名女生的概

因此,选出的人中至少有一名女生的概率是 P= 故答案为:

【点评】本题在 4 名男生和 3 名女生共 7 人中选取 3 人,求至少取到一名女生的概率,着重 考查了古典概型及其概率计算公式的知识,属于基础题. 13.两个数 90,252 的最大公约数是 18. 【考点】用辗转相除计算最大公约数. 【专题】计算题. 【分析】先用 252 除以 90,余数为 72;再用 90 除以 72,余数为 18;用 72 除以 18,余数 为 0,从而可得两个数的最大公约数. 【解答】解:∵252=90×2+72,90=72×1+18,72=18×1+0 ∴两个数 90,252 的最大公约数是 18 故答案为:18 【点评】利用辗转相除法的关键是用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用 上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时,就得到要求的最 大公约数. 14.连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币,在至少有一次出现正面向上的条件下,恰有一次出 现反面向上的概率为 . 【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;条件概率与独立事件. 【专题】概率与统计. 【分析】至少有一次出现正面向上的概率为 1﹣P(全部是反面)=1﹣ 次出现反面向上的概率为 ? ? = ,恰有一

= ,再根据条件概率的计算公式求得结果.

【解答】解:连续 3 次抛掷一枚质地均匀的硬币,至少有一次出现正面向上的概率为 1﹣P (全部是反面)=1﹣ = , ? ? = ,

恰有一次出现反面向上的概率为

故在至少有一次出现正面向上的条件下,恰有一次出现反面向上的概率为

= ,

故答案为



【点评】 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率, 条件概率的计算公式的应 用,属于中档题. 15.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女生当选的概率是 (用分数作答) . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】至少有 1 名女生当选的对立事件是当选的都是男生,从 7 人中选 2 人共有 C72 种选 法,而从 4 个男生中选 2 人共有 C42 种选法,求比值,用对立事件之间的关系得到结果.

【解答】解:∵从 7 人中选 2 人共有 C72=21 种选法, 从 4 个男生中选 2 人共有 C42=6 种选法 ∴没有女生的概率是 ∴至少有 1 名女生当选的概率 1﹣ = , 故答案为: 【点评】 在使用古典概型的概率公式时, 应该注意: ( 1) 要判断该概率模型是不是古典概型; 2 A ( )要找出随机事件 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.近期世界各国军事演习频繁,某国一次军事演习中,空军同时出动了甲、乙、丙三架不 同型号的战斗机对一目标进行轰炸,已知甲击中目标的概率是 ;甲、丙同时轰炸一次,目 标未被击中的概率是 ;乙、丙同时轰炸一次都击中目标的概率是 .

(Ⅰ)求乙、丙各自击中目标的概率. (Ⅱ)求目标被击中的概率. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;对应思想;数学模型法;概率与统计. 【分析】 (1) 利用甲击中目标的概率是 ;甲, 丙同时轰炸一次,目标未被击中的概率是 ;

乙、丙同时轰炸一次郡击中目标的概率是 ,且甲,乙,丙是否击中目标相互独立,建立方 程,求乙,丙各自击中目标的概率; (2)直接利用对立事件的概率求解. 【解答】解: (1)记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为 A、B、C.则 由已知得 P(A)= ,P( )= [1﹣P(C)]= ,∴P(C)= ,

由 P(BC)=P(B)P(C)= ,得 P(B)= ,∴P(B)= ; (2)目标被击中的概率 P=1﹣P( )=1﹣ = .

【点评】 本题考查古典概型及其概率计算公式, 考查了相互独立事件的概率及互斥事件的概 率,是中档题. 17.为考察某种甲型 H1N1 疫苗的效果,进行动物实验,得到如下疫苗效果的实验列联表: 感染 未感染 总计 20 30 50 没服用 x y 50 服用 M N 100 总计

设从没服用疫苗的动物中任取两只,感染数为 ξ,从服从过疫苗的动物中任取两只,感染数 为 η,工作人员曾计算过 P(ξ=2)= P(η=2)

(1)求出列联表中数据 x,y,M,N 的值; (2) 写出 ξ 与 η 的均值 (不要求计算过程) , 并比较大小, 请解释所得出的结论的实际意义; (3)能够以 97.5%的把握认为这种甲型 H1N1 疫苗有效么?并说明理由. 参考数据: P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;应用题. 【分析】 (1)根据所给的两个变量概率之间的关系,写出两个变量对应的概率,得到关于 x 的方程,解方程即可,做出要求的值. (2)做出两个变量的期望值,得到服用疫苗的两只动物感染数的平均值大于不服用疫苗的 两只动物的感染数的平均值,实际意义即表明这种甲型疫苗有效. (3)根据所给的数据做出观测值,把观测值同临界值进行比较得到不能够以 97.5%的把握 认为这种甲型 H1N1 疫苗有效 【解答】解: (1)∵P(ξ=2)= P(η=2)

P(ξ=2)=

,P(η=2)=

∴ ∴x=10,x=﹣9(舍去) 于是 y=50﹣x=40,M=20+x=30,N=30+y=70. (2)Eξ= ,Eη= ,

有 Eξ>Eη,说明服用疫苗的两只动物感染数的平均值大于不服用疫苗的两只动物的感染数 的平均值,实际意义即表明这种甲型疫苗有效. (3) = =4.762

∵50.24>4.762 ∴不能够以 97.5%的把握认为这种甲型 H1N1 疫苗有效 【点评】本题考查独立性检验的应用,本题解题的关键是正确运算出要用的观测值,把观测 值同临界值进行比较,理解概率的意义. 18. (14 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中 环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)= +2a+ ,x∈R,

其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈[0, ],若取每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性 污染指数,并记作 M(a) .

(1)令 t=

,x∈R,求 t 的取值范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问:目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标? 【考点】函数最值的应用;实际问题中导数的意义. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先取倒数,然后对得到的函数式的分子分母同除以 x,再利用导数求出 的取 值范围,最后根据反比例函数的单调性求出 t 的范围即可; (2)f(x)=g(t)=|t﹣a|+2a+ .下面分类讨论:当 0<a< ,当 数 g(x)的最大值 M(a) ,然后解不等式 M(a)≤2 即可求出所求. 【解答】解: (1)当 x=0 时,t=0; 当 0<x≤24 时, =x+ .对于函数 y=x+ ,∵y′=1﹣ ∴当 0<x<1 时,y′<0,函数 y=x+ 单调递减, 当 1<x≤24 时,y′>0,函数 y=x+ 单调递增, ∴y∈[2,+∞) . 综上,t 的取值范围是[0, ]. , >a≥ ,分别求出函

(2)当 a∈(0, ]时,f(x)=g(t)=|t﹣a|+2a+ =

∵g(0)=3a+ ,g( )=a+ , g(0)﹣g( )=2a﹣ .

故 M(a)=

=

当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2, 故 a∈(0, ]时不超标,a∈( , ]时超标. 【点评】 本题主要考查了函数模型的选择与应用、 待定系数法求函数解析式及分类讨论的思 想,属于实际应用题. 19.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

低碳族的人 占本组的频 数 率 [25,30) 120 0.6 第一组 [30,35) 195 p 第二组 [35,40) 100 0.5 第三组 [40,45) a 0.4 第四组 [45,50) 30 0.3 第五组 [50,55) 15 0.3 第六组 (Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (Ⅱ)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.

组数

分组

【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用;频率分布直方图. 【专题】计算题. 【分析】 (I)根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率,做出频率,除以组距得到高, 画出频率分步直方图的剩余部分,根据频率,频数和样本容量之间的关系,做出 n、a、p 的值. (II)根据分层抽样方法做出两个部分的人数,列举出所有试验发生包含的事件和满足条件 的事件,根据等可能事件的概率公式,得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)∵第二组的频率为 1﹣(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3, ∴高为 .频率直方图如下:

第一组的人数为 ∴ .

,频率为 0.04×5=0.2,

由题可知,第二组的频率为 0.3, ∴第二组的人数为 1000×0.3=300, ∴ .

第四组的频率为 0.03×5=0.15, ∴第四组的人数为 1000×0.15=150, ∴a=150×0.4=60. (Ⅱ)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60:30=2: 1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁中有 4 人,[45,50)岁中有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选取 2 人作为领 队的有 (a,b) 、 (a,c) 、 (a,d) 、 (a,m) 、 (a,n) 、 (b,c) 、 (b,d) 、 (b,m) 、 (b,n) 、 (c,d) 、 (c,m) 、 (c,n) 、 (d,m) 、 (d,n) 、 (m,n) ,共 15 种; 其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m) 、 (a,n) 、 (b,m) 、 (b,n) 、 c m c n d m d n 8 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) ,共 种. ∴选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 .

【点评】本题考查频率分步直方图,考查频数,频率和样本容量之间的关系,考查等可能事 件的概率,考查利用列举法来得到题目要求的事件数,本题是一个概率与统计的综合题目. 20. (13 分)如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成 绩(单位:分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x,y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) .

【考点】极差、方差与标准差;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)按大小数列排列得出 x 值,运用平均数公式求解 y,

(2)判断甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12,列举得出甲队学生成绩不低于乙队学 生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种数为 3+1+1=5,运用古典概率 求解. (3)求解甲的平均数,方差,一点平均数,方差,比较方差越小者越稳定,越大,波动性 越大.得出结论:甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定. 【解答】解: (1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知 高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71, 65,64,所以 x=6, 因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5, 7,7,19,和为 41,所以 y=3, (2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88; 乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89, 甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12, 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种 数为 3+1+1=5,所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p= (3)因为甲的平均数为: = (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75, [(64﹣75)2+(65﹣75)2+2×(71﹣75)2+2×(76﹣75)2+(77﹣75) ,

所以甲的方差 S2 甲=
2

+(80﹣75)2+(82﹣75)2+(88﹣75)2]=50.2, [(56﹣75)2+2×(68﹣75)2+(70﹣75)2+(72﹣75)2+(73﹣75)2+

又乙的方差 S2 乙=

(80﹣75)2+(86﹣75)2+(88﹣75)2+(89﹣75)2]=70.3, 因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.

【点评】本题考察了茎叶图的运用,求解方差,进行数据的分析解决实际问题,考察了计算 能力,准确度. 21.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标(m,n) ,求: 1 P x+y=7 ( )点 在直线 上的概率; (2)点 P 在圆 x2+y2=25 外的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计.

【分析】 (1)列格可知,所有的点 P 坐标(m,n)共计 36 个,其中满足 x+y=7 的有 6 个, 由此求得 P 点在直线 x+y=7 上的概率. (2)用列举法求得在圆 x2+y2=25 内的点 P13 个,在圆上的点 P 有 2 个,可得共有 15 个点 在圆内或圆外,用 1 减去点在圆内或圆上的概率,即得所求. 【解答】解: (1)列表如图; 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由上表格可知,所有的点 P 坐标(m,n)共计 36 个,其中满足 x+y=7 的有 6 个, 所以 P 点在直线 x+y=7 上的概率为 = .

(2)在圆 x2+y2=25 内的点 P 有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) ,共计 13 个, 在圆上的点 P 有(3,4) , (4,3) ,共计 2 个, 上述共有 15 个点在圆内或圆上,可得点 P 在圆 x2+y2=25 外的概率为 1﹣ = .

【点评】 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用, 事件和它的对立事件概率之间的 关系,举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于基础题.


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