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高一数学(必修2)综合测试题



高一数学(必修 2)综合测试题
一、填空题(14 小题,共 70 分)
1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 ? 外”为 2.右图所示的直观图,其原来平面图形的面积是 ▲ ▲

A 2 O 2
45?

3.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的侧面积为 ▲


4

B

3 3
正视图 侧视图 俯视图

4. a, b, c 分别表示三条直线, M 表示平面, 给出下列四个命题: ①若 a∥M, b∥M, 则 a∥b; ②若 b ? M,

a∥b, 则 a∥M; ③若 a⊥c, b⊥c, 则 a∥b; ④若 a⊥M, b⊥M, 则 a∥b.其中不正确命题的有
序号) 5.已知正方体外接球的体积是



(填

32 ? ,那么正方体的棱长等于 ▲ 3

6.直线 3 x+y+1=0 的倾斜角为 7.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0 的交点,且平行于直线 x+2y-3=0 的直线方程是________▲___. 8.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(0,m)三点共线,则m的值为 ▲ 9.两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,-1) ,两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为 ▲ 10.两圆(x―2) +(y+1) = 4 与(x+2) +(y―2) =16 的公切线有 11.经过点 M(1,1)且在两轴上截距相等 的直线是 .... ▲
2 2 2 2



条 。

12.光线从点(―1,3)射向 x 轴,经过 x 轴反射后过点(4,6) ,则反射光线所在的直线方程一般式 是 ▲ ▲

13.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 2 有两个交点,则 k 的取值范围是

14.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后, 剩下的凸多面体的体积是 ▲

二、解答题(6 大题,共 90 分)
15. (本题 14 分)已知 ?ABC 三个顶点是 A(?1,4) , B(?2,?1) , C(2,3) . (1)求 BC 边中线 AD 所在直线方程; (2)求点A到BC边的距离. A C y

O B

x

16. (本题 14 分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由.

4cm _

12cm _

17.(本题 15 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.

P

E

D O A B

C

18.(本题 15 分) 已知直线 l 过点 P(1,1) , 并与直线 l1:x-y+3=0 和 l2:2x+y-6=0 分别交于点 A、 B,若线段 AB 被点 P 平分,求: (Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为

8 5 的圆的方程. 5

19.(本题 16 分)已知实数 a 满足 0<a<2,直线 l1:ax-2y-2a+4=0 和 l2:2x+a y-2a -4=0 与两坐标 轴围成一个四边形。 (1)求证:无论实数 a 如何变化,直线 l2 必过定点. (2)画出直线 l1 和 l2 在平面坐标系上的大致位置. (3)求实数 a 取何值时,所围成的四边形面积最小?

2

2

20.(本题 16 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=2, AA1 ? 2 ,由顶点 B 沿棱柱侧面经过 棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线与 AA1 的交点记为 M, 求: (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长 (2)该最短路线的长及

A1 M A B B1 C

C1

A1 M 的值 AM

(3)平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小

A1 M D A B B1

C1

C

高一数学试题参考答案
一、填空题(14 小题,共 70 分) 1. A ? l , l ? ? 2. 4
4.①②③ 7. 3x+6y-2=0 10. 2 13. [?1, ? ) 5. 3. 6. 72

A

4 3 3

120°

2 O 2
45?

8. 1 11.x+y=2 或 y=x 14.

9. 3 12.9x-5y-6=0

B

3 4

5 6
??????7 分 ??????7 分

二、解答题(6 大题,共 90 分)
15. (本题 14 分) 解:(1)3x+y-1=0 (2) 2 2 16. (本题 14 分)解:因为 V半球 ?

1 4 3 1 4 ? ?R ? ? ? ? 4 3 ? 134(cm 3 ) 2 3 2 3

??????5 分

1 1 V圆锥 ? ?r 2 h ? ? ? 4 2 ? 12 ? 201(cm 3 ) 3 3
因为 V半球 ? V圆锥 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子. 17.(本题 15 分)证明(1)∵O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, ∴OE∥AP, ??????4 分 又∵OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE. ??????7 分 (2)∵PO ? 底面 ABCD, ∴PO ? BD, ??????10 分

??????10 分

??????14 分

又∵AC ? BD,且 AC ? PO=O ∴BD ? 平面 PAC,而 BD ? 平面 BDE, ∴平面 PAC ? 平面 BDE. ??????13 分 ??????15 分

18.(本题 15 分)解: (Ⅰ)依题意可设 A (m, n) 、 B(2 ? m,2 ? n ) ,则

?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 3 , ? ,解得 m ? ?1, n ? 2 . ??????6 分 ? ?2(2 ? m) ? (2 ? n) ? 6 ? 0 ?2m ? n ? 0
即 A(?1,2) ,又 l 过点 P (1,1) ,易得 AB 方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ)设圆的半径为 R,则 R 2 ? d 2 ? ( 求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 .
2 2 2

??????9 分

4 5 2 3 ) ,其中 d 为弦心距, d ? ,可得 R 2 ? 5 ,故所 5 5
??????6 分

19.(本题 16 分) (1)证明:由 l2:2x+a y-2a -4=0 变形得 a (y-2)+ 2x-4=0 ????3 分 所以当 y=2 时,x=2 ???????????????????4 分 即直线 l2 过定点(2,2) ???????????????????5 分 y (2)如图 l
1

x O l2
2

???????8 分

(3)直线 l1 与 y 轴交点为 A(0,2-a),直线 l2 与 x 轴交点为 B(a +2,0),如下图 由直线 l1:ax-2y-2a+4=0 知,直线 l1 也过定点 C(2,2) ????10 分 过 C 点作 x 轴垂线,垂足为 D,于是 S 四过形 AOBC=S 梯形 AODC+S△BCD ???????11 分 y 1 1 2 l1 = ( 2 ? a ? 2) ? 2 ? a ? 2

2

2

=a ?a ? 4
2

?????????13 分

A O D

C x B l2

1 时,S 四过形 AOBC 最小.??????15 分 2 1 故当 a= 时,所围成的四边形面积最小。??16 分 2
∴当 a=

20.(本题 16 分)解: (1)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形,其对角线 长为 62 ? 2 2 ? 2 10
?

???3 分

(2)如图,将侧面 AA1 B1 B 绕棱 AA1 旋转 120 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B 运动到点 D 的位置,连接 DC1 交 AA1 于 M,则 DC1 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线, 其长为

DC 2 ? CC1 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 5
? ?DMA ≌ ?C1 MA1 ,

2

?????????6 分

? AM ? A1 M



A1 M ?1 AM

??????????????????9 分

(3)连接 DB, C1 B ,则 DB 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 的交线 在 ?DCB 中 ? ?DBC ? ?CBA ? ?ABD ? 60 ? 30 ? 90 ?CB ? DB
? ? ?

?12 分

又 C1C?平面CBD ∴ C1 B?DB

∴CC1⊥DB

∴DB⊥面 BCC1

? ?C1 BC 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)

????14 分

?侧面 C1 B1 BC 是正方形
??C1 BC ? 45?
故平面 C1 MB 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)为 45
?

???16 分

A1 M D A B B1

C1

C



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