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湖北省襄阳市枣阳七中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析



湖北省襄阳市枣阳七中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) 1.函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范 围是( ) A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 2.下列命题中是真命题的是( A. 对?x∈R,x ≥x 2 C. 对?x∈R,?y∈R,y <x
2 x

) B. 对?x∈R,x <x D. ?x∈R,对?y∈R,xy=x ) D. 2
2

3.若复数(1﹣i) (a+i)是实数(i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1

4. 现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是( ) A. 24 B. 64 C. 81 D. 48 5.已知函数 A.
2

,则 f(2)的最小值为( B. 16 C. D.



6.设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ) A. y=x﹣1 或 y=﹣x+1 C. y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) B. y= D. y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) (x﹣1)

7.设 m>3,对于数列{an} (n=1,2,…,m,…) ,令 bk 为 a1,a2,…,ak 中的最大值,称 数列 {bn} 为{an} 的“递进上限数列”.例如数列 2,1,3,7,5 的递进上限数列为 2,2,3, 7,7.则下面命题中 ①若数列{an} 满足 an+3=an,则数列{an} 的递进上限数列必是常数列; ②等差数列{an} 的递进上限数列一定仍是等差数列 ③等比数列{an} 的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=(
2



A. 0.6

B. 0.4

C. 0.3

D. 0.2

9.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A. p∧q 是真命题 B. p∨q 是假命题 题

C. ﹁p 是真命题

D. ﹁q 是真命

10.设点 P(x,y) ,则“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分) 11.函数 y=f(x)在定义域(﹣2,4)内可导,其图象如图所示,设函数 f(x)的导函数 为 f′(x) ,则不等式 f′(x)>0 的解集为 ′.

12.函数 y=x +x ﹣5x﹣5 的单调递增区间是 13.设 a∈R,则“a<1”是“a <1”成立的 充要条件或既不充分也不必要) 14.二项式 展开式中的第
2

3

2

条件. (填充分不必要,必要不充分,

项是常数项.

15. (x

+

) 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展开 项.

n

式中的常数项是第

三、解答题(75 分) 16.设复数 z 满足|z|=1,且(3+4i)?z 是纯虚数,求 . 17.命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 2 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2 2

19.已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴 的交点为 C. (Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2 ,求实数 a 的值;

2

2

,求△ AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

20.已知函数 f(x)=x(x﹣m) (x﹣n) . (I)当 n=2 时,若函数 f(x)在[1,3]上单调递减,求实数 m 的取值范围; (II)若 m>n>0, ,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 f(x)均相切, 求 m 和 n 的值. 21.已知 λ∈R,函数 f(x)=lnx﹣ (Ⅰ)当 λ=2 时,求 f(x)的最小值; (Ⅱ)在函数 y=lnx 的图象上取点 Pn(n,lnn) (n∈N ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn, Sn= + +…+ .对任意正整数 n,试证明: ; .
*

,其中 x∈[1,+∞) .

(ⅰ)Sn< (ⅱ)Sn>

湖北省襄阳市枣阳七中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) x 1.函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范 围是( ) A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:求导 f′(x)=2 ﹣2 ﹣a,注意到其在(1,2)上是增函数,故可得 f′(1)f′(2)< 0,从而解得. 解答: 解:∵f′(x)=2 ﹣2 ﹣a 在(1,2)上是增函数, ∴若使函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内, 则 f′(1)f′(2)<0, 即(﹣a) (3﹣a)<0, 解得,0<a<3, 故选 C. 点评:本题考查了导数的综合应用,同时考查了极值的定义,属于中档题. 2.下列命题中是真命题的是( A. 对?x∈R,x ≥x 2 C. 对?x∈R,?y∈R,y <x 考点:四种命题的真假关系. 专题:计算题. 分析: 对于所给的四个命题,可以看出,当 x= 时,不等式不成立,A 不正确; 当 x=0 时,不等式不成立,B 不正确; 当 x 是负数时,不等式不成立,C 不正确, 当 x=0 时,不管 y 取什么值,等式都成立,D 正确. 解答: 解:A 不正确,当 x= 时,不等式不成立; B 不正确,当 x=0 时,不等式不成立, C 不正确,当 x 是负数时,不等式不成立, D 正确,当 x=0 时,不管 y 取什么值,等式都成立. 故选 D.
2 x x x

) B. 对?x∈R,x <x D. ?x∈R,对?y∈R,xy=x
2

点评:本题考查四种命题的真假关系,是一个基础题,这种命题的判断,对于假命题,只要 举出一个反例,说明它不正确,对于正确的命题,需要加以证明. 3.若复数(1﹣i) (a+i)是实数(i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 ) D. 2

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:由已知中复数(1﹣i) (a+i)是实数(i 是虚数单位) ,我们可以根据该复数的虚部为 0,构造出一个关于 a 的方程,解方程即可得到实数 a 的值. 解答: 解:∵复数(1﹣i) (a+i) =(a+1)+(1﹣a)i 又由已知中复数(1﹣i) (a+i)是实数 则 1﹣a=0 即 a=1 故选 C 点评:本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算, 及复数的基本概念, 其中根据一个复 数为实数,则该复数的虚部为 0,构造出一个关于 a 的方程,是解答本题的关键. 4. 现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是( ) A. 24 B. 64 C. 81 D. 48 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;概率与统计. 分析:4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座,实际上是有 4 个人选择座位,且每人有 3 种选择方法,根据分步计数原理得到结果. 解答: 解:∵每位同学均有 3 种讲座可选择, ∴4 位同学共有 3×3×3×3=81 种, 故选 C. 点评:本题考查分步计数原理,解题的关键是看清题目的实质,分步乘法计数原理:首先确 定分步标准,其次满足:必须并且只需连续完成这 n 个步骤,这件事才算完成. 5.已知函数 A. B. 16 ,则 f(2)的最小值为( C. D. )

考点:基本不等式. 专题:计算题. 分析:由基本不等式 a+b≥2

(a>0,b>0)易于作答.

解答: 解:由题意知 f(2)=8+8a+ ≥8+2×4=16(a>0) , 所以 f(2)的最小值为 16.

故选 B. 点评:本题考查基本不等式 a+b≥2
2

(a>0,b>0) .

6.设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ) A. y=x﹣1 或 y=﹣x+1 C. y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) B. y= D. y= (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1)或 y=﹣ (x﹣1) (x﹣1)

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据题意,可得抛物线焦点为 F(1,0) ,由此设直线 l 方程为 y=k(x﹣1) ,与抛物 线方程联解消去 x,得 ﹣y﹣k=0.再设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由根与系数的关系和

|AF|=3|BF|,建立关于 y1、y2 和 k 的方程组,解之可得 k 值,从而得到直线 l 的方程. 2 解答: 解:∵抛物线 C 方程为 y =4x,可得它的焦点为 F(1,0) , ∴设直线 l 方程为 y=k(x﹣1) 由 消去 x,得 ﹣y﹣k=0

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 y1+y2= ,y1y2=﹣4…(*) ∵|AF|=3|BF|, ∴y1+3y2=0,可得 y1=﹣3y2,代入(*)得﹣2y2= 且﹣3y2 =﹣4, 消去 y2 得 k =3,解之得 k= ∴直线 l 方程为 y= (x﹣1)或 y=﹣ 故选:C
2 2

(x﹣1)

点评:本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成 1:3 的两部分,求直线 AB 的方程,着 重考查了抛物线的标准方程、 简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识, 属于中档 题.

7.设 m>3,对于数列{an} (n=1,2,…,m,…) ,令 bk 为 a1,a2,…,ak 中的最大值,称 数列 {bn} 为{an} 的“递进上限数列”.例如数列 2,1,3,7,5 的递进上限数列为 2,2,3, 7,7.则下面命题中 ①若数列{an} 满足 an+3=an,则数列{an} 的递进上限数列必是常数列; ②等差数列{an} 的递进上限数列一定仍是等差数列 ③等比数列{an} 的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点:命题的真假判断与应用;等比关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析:举出反例数列{an} 的前三项分别为 1,2,3,可判断①;分类讨论等差数列的递进 上限数列是否是等差数列,综合讨论结果,可判断②;举出反例数列{an} 的首项为 1,公 比为﹣2,可判断③ 解答: 解:若数列{an} 的前三项分别为 1,2,3,则数列{an} 的递进上限数列是 1,2, 3,3,3,…不是常数列,故①错误; 若等差数列的公差 d≤0,则数列{an} 的递进上限数列是各项均为 a1 的常数列,满足要求, 若等差数列的公差 d>0,则数列{an} 的递进上限数列是数列{an},满足要求,故②正确; 若等比数列{an} 的首项为 1, 公比为﹣2, 则数列{an} 的递进上限数列是, 1, 1, 4, 4, 16, … 不是等比数列,故③错误; 故正确的命题有 1 个. 故选:B 点评:本题以命题的真假判断为载体,考查了等差数列与等比数列,真正理解新定义“递进 上限数列”是解答的关键. 8.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题. 分析:根据随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ) ,看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=2,根据正态曲线的特点,得到 P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4) ,得到结果. 解答: 解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ) , μ=2,得对称轴是 x=2. P(ξ<4)=0.8 ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6 ∴P(0<ξ<2)=0.3. 故选 C.
2 2 2



点评:本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲 线,其对称轴为 x=μ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸, 不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的. 9.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A. p∧q 是真命题 B. p∨q 是假命题 题

C. ﹁p 是真命题

D. ﹁q 是真命

考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:根据题意,由复合命题真假表,依次分析选项即可作出判断. 解答: 解:∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧q 是假命题,选项 A 错误; p∨q 是真命题,选项 B 错误; ¬p 是假命题,选项 C 错误; ¬q 是真命题,选项 D 正确. 故选 D. 点评:本题考查复合命题的真假情况. 10.设点 P(x,y) ,则“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:直线与圆. 分析:当 x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”,当点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1,得到 x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的充分 不必要条件. 解答: 解:∵x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”, 当“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1, ∴“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的充分不必要条件, 故选 A. 点评:本题考查条件问题,本题解题的关键是看出点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上时,不能确定 这个点的坐标的大小,本题是一个基础题.

二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分) 11.函数 y=f(x)在定义域(﹣2,4)内可导,其图象如图所示,设函数 f(x)的导函数 为 f′(x) ,则不等式 f′(x)>0 的解集为 (﹣2,﹣ )∪( ,2) ′.

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析:通过图象得出函数的单调递增区间,从而求出不等式的解集. 解答: 解:由图象得: f(x)在(﹣2,﹣ ) , (, ,2)递增, ∴在(﹣2,﹣ ) , (, ,2)上 f′(x)>0, 故 f′(x)>0 的解集是: (﹣2,﹣ )∪( ,2) , 故答案为: (﹣2,﹣ )∪( ,2) . 点评:本题考查了函数的单调性,考查数形结合思想,考查导数的应用,是一道基础题.
3 2

12.函数 y=x +x ﹣5x﹣5 的单调递增区间是

考点:利用导数研究函数的单调性. 分析:先对函数进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的范围即可. 解答: 解:∵y=x +x ﹣5x﹣5∴y'=3x +2x﹣5 令 y'=3x +2x﹣5>0 解得:x<﹣ ,x>1 故答案为: (﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) 点评:本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系.属基础题. 13.设 a∈R,则“a<1”是“a <1”成立的 必要不充分 条件. (填充分不必要,必要不充分, 充要条件或既不充分也不必要) 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解; 2 解答: 解:∵a <1”,可得﹣1<a<1,
2 2 3 2 2

∴a <1?a<1, 2 若 a<1,可以取 a=﹣2,可得(﹣2) =4>1, 2 ∴“a<1”是“a <1”成立的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分; 点评:此题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件,是一道基础题; 14.二项式 展开式中的第 九 项是常数项.

2

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 0 求出常数项. 解答: 解: 二项式 令 =0 得 r=8, 的通项为 Tr+1= (x )
2 10﹣r



)=2

r

r

x



故展开式中的常数项是第 9 项. 故答案为:九. 点评:本题考查二项展开式的通项公式,它是解决二项展开式的特定项问题的工具. 15. (x + ) 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展开
n

式中的常数项是第 4 项. 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得展开式中 的常数项. 解答: 解:由题意可得,Cn ﹣Cn =44,可求 n=11,故(x
2 1

+

) 的展开式的通项公

n

式为 Tr+1= 令

?



=0,求得 r=3,可得展开式中的常数项是第第四项,

故答案为:4. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于 基础题. 三、解答题(75 分) 16.设复数 z 满足|z|=1,且(3+4i)?z 是纯虚数,求 . 考点:复数的基本概念;复数求模.

专题:数系的扩充和复数. 分析:设出复数 z,|z|=1 可得一个方程,化简(3+4i)?z 是纯虚数,又得到一个方程,求得 z,然后求 . 解答: 解:设 z=a+bi, (a,b∈R) ,由|z|=1 得 ;

(3+4i)?z=(3+4i) (a+bi)=3a﹣4b+(4a+3b)i 是纯虚数,

则 3a﹣4b=0,



. 点评:本题考查复数的基本概念,复数的模,是基础题. 17.命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 2 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的应用. 专题:计算题. 分析:利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于 字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 解答: 解:x ﹣4ax+3a =0 对应的根为 a,3a; 由于 a<0, 则 x ﹣4ax+3a <0 的解集为(3a,a) , 故命题 p 成立有 x∈(3a,a) ; 2 由 x ﹣x﹣6≤0 得 x∈[﹣2,3], 2 由 x +2x﹣8>0 得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) , 故命题 q 成立有 x∈(﹣∞,﹣4)∪[﹣2,+∞) . ? ? 若 p 是 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件, 因此有(3a,a)?(﹣∞,﹣4)或(3a,a)?[﹣2,+∞) , 又 a<0,解得 a≤﹣4 或 故 a 的范围是 a≤﹣4 或 ; .
2 2 2 2 2 2 2

点评:本题考查一元二次不等式的解法, 考查二次不等式与二次函数的关系, 注意数形结合 思想的运用. 18.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求导数得 f′(x)= +b,由导数几何意义得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线斜率为 k=f′(1)= ,且 f(1)= ,联立求得 a=1,b=﹣ ,从而确定 f(x)的解 析式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式等价于 lnx﹣ + <0,参变分离为 k< 侧函数的最小值即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)= +b. ∵直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率为 ,且曲线 y=f(x)过点(1,﹣ ) , ﹣xlnx,利用导数求右





解得 a=1,b=﹣ .

所以 f(x)=lnx﹣ x; (Ⅱ)由(Ⅰ)得当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立即 lnx﹣ + <0,等价于 k< 令 g(x)= ﹣xlnx,则 g′(x)=x﹣1﹣lnx. ﹣xlnx.

令 h(x)=x﹣1﹣lnx,则 h′(x)=1﹣ . 当 x>1 时,h′(x)>0,函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增,故 h(x)>h(1)=0. 从而,当 x>1 时,g′(x)>0,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 g(x)>g(1)= . 因此,当 x>1 时,k< ﹣xlnx 恒成立,则 k≤ .

∴k 的取值范围是(﹣∞, ]. 点评:本题考查了导数的综合应用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,及恒成立问题 的应用,属于中档题. 19.已知直线 l:y=kx+1(k≠0)与椭圆 3x +y =a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴 的交点为 C. (Ⅰ)若 k=1,且|AB|= (Ⅱ)若 =2 ,求实数 a 的值;
2 2

,求△ AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)若 k=1,联立直线和椭圆方程,结合相交弦的弦长公式以及|AB|= 可求实数 a 的值; (Ⅱ)根据 =2 关系,结合一元二次方程根与系数之间的关系,以及基本不等式进行求 ,即

解即可. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (Ⅰ)由 得 4x +2x+1﹣a=0,
2

则 x1+x2= 则|AB|=

,x1x2= =

, ,解得 a=2.
2 2

(Ⅱ)由

,得(3+k )x +2kx+1﹣a=0,

则 x1+x2=﹣

,x1x2=





=2

得(﹣x1,1﹣y1)=2(x2,y2﹣1) ,

解得 x1=﹣2x2,代入上式得: x1+x2=﹣x2=﹣ ,则 x2= = , = ,

当且仅当 k =3 时取等号,此时 x2=

2

,x1x2=﹣2x2 =﹣2×

2



又 x1x2=

=





= ,解得 a=5. ,此时椭圆的方程为 3x +y =5.
2 2

所以,△ AOB 面积的最大值为

点评:本题主要考查椭圆方程的求解, 利用直线方程和椭圆方程构造方程组, 转化为根与系 数之间的关系是解决本题的关键. 20.已知函数 f(x)=x(x﹣m) (x﹣n) .

(I)当 n=2 时,若函数 f(x)在[1,3]上单调递减,求实数 m 的取值范围; (II)若 m>n>0, ,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 f(x)均相切, 求 m 和 n 的值. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (I)把 n=2,代入函数 f(x)并对其进行化简,利用导数研究函数的增减性; (II)设出切点 Q(x0,y0) ,根据导数与切线的关系,求出切线的方程,再根据直线垂直, 斜率的关系,求出 m 和 n; 3 2 解答: 解: (I)当 n=2 时,f(x)=x(x﹣m) (x﹣2)=x ﹣(m+2)x +2mx.则 f′(x) 2 =3x ﹣2(m+2)x+2m, 函数 f(x)在[1,3]上单调递减,则有: ,

解得 m≥

,故实数 m 的取值范围是[

,+∞) ;

(II)设切点 Q(x0,y0) , 则切线的斜率 所以切线的方程是 又切线过原点,则 ∴ 解得 x0=0,或 , . , , ,

两条切线的斜率为 k1=f'(0)=mn, ∵k1k2=﹣1,∴(mn) ﹣2mn=﹣1,∴mn=1, 由 m>n>0, 得 , . 点评:考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用导数研究函数的单调区 间以及过莫点切线的求法,此题是一道中档题,考查的知识点比较多; 21.已知 λ∈R,函数 f(x)=lnx﹣ ,其中 x∈[1,+∞) .
2

(Ⅰ)当 λ=2 时,求 f(x)的最小值; * (Ⅱ)在函数 y=lnx 的图象上取点 Pn(n,lnn) (n∈N ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn, Sn= + +…+ .对任意正整数 n,试证明: ;

(ⅰ)Sn<

(ⅱ)Sn>



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数求函数的最小值; (Ⅱ)利用两点的连线的斜率公式得出 kn,再利用(Ⅰ)的结论对 Sn 放缩即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)λ=2 时, ,

求导可得

…(3 分)

所以,f(x)在(1,+∞)单调递增,故 f(x)的最小值是 f(1)=0.…(5 分) (Ⅱ)依题意, . …(6 分) .

(ⅰ)由(Ⅰ)可知,若取 λ=2,则当 x>1 时 f(x)>0,即

于是

,即知

.…(8 分)

所以



…(9 分)

(ⅱ)取 λ=3,则 求导可得



当 x∈(1,2)时,f'(x)<0,故 f(x)在(1,2)单调递减. 所以,x∈(1,2]时,f(x)<f(1)=0,即 .…(12 分)

注意到, 对任意正整数 n,

, 于是



即知

. …(13 分)

所以



…(14 分)

点评:本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理 能力,解题时注意转化思想的运用.



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