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【上海市2013-2014学年高二寒假作业 数学3



高二数学寒假作业
满分 100 分,考试时间 90 分钟 姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(本大题满分 36 分,每题 3 分) : 1. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? __________.

2.

数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ?

an ,则 a8 = 1 ? 2a n



.

3. 已 知 数 列 __________

?an?

满 足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 .

an n

的 最 小 值 为

2 ? ? 4.二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项是____________________。 x? ?
5.等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 ,且 2a3 ?a7 2 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 ? a7 则 b6b8 = .

10

6.等差数列 x, 6, y,12 ,则 xy 的值为

7.在等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 , 前 n 项的和是__________?

?1? S 2009 S2007 ? ? 2 ,则数列 ? ? 的 2009 2007 ? Sn ?

8.在等差数列 {an } 中, a3 ? a8 ? a13 ? m ,其前 n 项和 Sn ? 5m ,则 n ?



2 9.设映射 f : x ? ? x ? 2x ?1 是集合 A ? ?x | x ? 2? 到集合 B ? R 的映射。若对于实数

p ? B ,在 A 中不存在对应的元素,则实数 p 的取值范围是____________.
10.设数列 ?an ? ,?bn ? 都是正项等比数列, S n ,Tn 分别为数列 ?lg an ? 与 ?lg bn ? 的前 n 项和,



Sn n ? ,则 logb 5 Tn 2n ? 1

a5 =

11.计算: lim
n ??

3n ? 3n ? 1



12.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列 的数为 ai,j(i,j∈N*) ,则 (Ⅰ)a9,9= ; 次.

(Ⅱ)表中的数 82 共出现

二、选择题(本大题满分 12 分,每题 3 分): 13.等比数列 x,2 x ? 2,3x ? 3,?的第四项为( A .? ) D. 27

27 2

B.

27 2

C. ? 27

14.设等差数列 ?an ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11,则 S 9 等于( A、180 B、90 C、72 D、100

)

15.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率是 m
D.





A.

5 或 5 2

B. 5

C.

3 或 5 2

3 5 或 2 2

16.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?
2

n4 ? n2 ,则当 n ? k ? 1 时左端应在 n=k 的基础上 2

加上
2 A. k ? 1

B. ? k ? 1?

2

? k ? 1? ? ? k ? 1? C.
4

2

2

D. k ? 1 ? k ? 2 ? k ? 3 ? ??? ? ? k ? 1?
2 2 2

?

? ?

? ?

?

2

三、解答题(本大题满分 52 分): 17. (本题满分 6 分)已知数列 {an } 为等差数列, Sn 为前 (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式;
n (Ⅱ)令 bn ? an ( ) , Tn ? b1 ? b2 ?

n 项和,且 S3 ? 9, S8 ? 64.

1 2

? bn ,求 Tn .

18. (本题满分 9 分).已知等差数列 ?an ? , Sn 为其前 n 项的和, a5 ? 6 , S6 ? 18 , n ? N .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? 3an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和.

19. (本题满分 10 分).设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 4, S2 ? 3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? (2n ?1) an ( n ? N *) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

20. (本题满分 13 分).已知数列 {an } 是首项是 2,公比为 q 的等比数列,其中 a3 是 a1 与 a2 的 等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 21. (本题满分14分).已知数列 ?an ? 前n项和为 S n ,且满足 S n ? 2 ? an , n ? N * 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a2 ? a4 ?

? a4n 的和;

(Ⅲ)若记 bn ? S n ? 2n ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

试题答案

1.答案:16. 试题分析:因为 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,所以 ?

? a1 +4d =8 ?a1 =0 ,所以 ? ,所以 a9 ? a1 +8d =16 。 ? d =2 ?3a1 +3d =6

2.
3.

21 2

4.第 9 项 5.16 试题分析:在等差数列中,由 2a3 ? a7 2 ? 2a11 ? 0 ,得 2(a3 ? a11 ) ? a72 ? 0,4a7 ? a7 2 ? 0 ,则

a7 ? 0,a7 ? 4 ,又因 {bn } 是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 a7 ? 0(舍),a7 ? 4 ,又由
b7 ? 4, b6b8 ? b7 2 ? 16 .

6.
7.

n n ?1

8.15 9. ?1, ?? ? 10. 略

?

9 19

11.1

12. 略

13.A 14.B 略

15.C
16.D

17.

18.

?a1 ? 4d ? 6, ?a1 ? ?2, ? (1)依题意 ? ???2 分解得 ? , an ? 2n ? 4 .??5 分 6?5 6a1 ? d ? 18. ?d ? 2. ? ? 2
(2)由(Ⅰ)可知 bn ? 32n?4 比数列,?7 分 ,

bn +1 1 ? 9 ,所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 9 的等 9 bn

1 (1 ? 9n ) 1 9 ? (9n ? 1) 1? 9 72

数列 ?bn ? 的前 n 项的和

1 n (9 ? 1) .??????10 分 72

19.(1) an ? 2n?1 ; (2) TN ? (2n ? 3)2n ? 3

? 1? 20.(1) q ? 1, an ? 2 , q ? 1, an ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1



? ? 1 ?n ? 4?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? (2) q ? 1, S n ? 2n , q ? 1, S n ? 3
(1)∵ a3 是 a1 与 a2 的等差中项 , ∴ a1 ? a2 ? 2a3 ,又数列 {an } 是首项是 2,公比为 q
2 的等比数列,解得 a1 ? a1q ? 2a1q ,∴ q ? 1 或 q ? ?

1 .当 q ? 1, an ? 2 当 q ? 1 时, ; 2

? 1? an ? a1q n?1 ? 2 ? ? ? ? ? 2?
(2) 当 q ? 1, an ? 2 时

n ?1

.
n ?1

? 1? S ? 2n ;当 q ? 1, an ? 2 ? ? ? ? , n ? 2?

时,

1 ? ? 2?1 ? (? ) n ? 2 ? Sn ? ? ? 1 1 ? (? ) 2
21.

? ? 1 ?n ? 4?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 3 .

(1)由 S n ? 2 ? an , n ? N * --① 知 S n?1 ? 2 ? an?1 , n ? 2 ----②。 (1分)



与②作差得 an ? ?an ? an?1 , n ? 2 ,整理得

an 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (2 分) ? ,n ? 2, an?1 2

由定义知数列 ?an ? 为等比数列且公比为 , 当 n ? 1 时, S1 ? 2 ? a1 , 即首项 a1 ? 1

1 2

?1? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1? ? ? ? 2?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?1

。 。 。 。 。 。 。 (4 分) ,n? N * 。

(2)由上易知数列 a2 , a4 ,?, a4n 亦为等比数列, 且首项为 a2 ? 1? ? ?

?1? ? 2?

2?1

1 1 ?1? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (6 分) ? , 公比为 ? ? ? ,项数为 2n 项。 2 4 ? 2?

2

所以 a 2 ? a 4 ? ? ? a 4 n ?

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?4? 1? 1 4

2n

? ? ? ?

2 ? ?1? ? ?1 ? ? ? 3? ? ?2?

2n

? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (8 分) ?。 ? ?



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