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北京东城2014届高三上学期期末数学(理)试题



东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 (1)已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? (A) (0,1) (C) (??, ?1) ? (0, ??) (2)在复平面内

,复数 (A)第一象限 (B) (1, 2) (D) (??, ?1) ? (1, ??)

2?i 的对应点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
开始

( 3 )设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线

x ? ay ? 5 ? 0 平行”的
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)执行右图所示的程序框图,输出的 a 的值为 (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (5)在△ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? ,则 cos B ? (A) S=1 a=3 S=S×a S ≥100?
否 是 输出 a 结束

a =a+2

1 3

(B)

3 3

(C)
2

6 3
2

(D)

2 2 3

( 6 ) 已 知 直 线 y ? kx ? 3 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相 交 于 M , N 两 点 , 若

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围为
(A) [ ?

3 3 , ] 3 3

(B) [ ? , ]

1 1 3 3

(C) ( ??, ?

3 ] 3

D) [

3 , ??) 3

(7) 在直角梯形 ABCD 中,?A ? 90? ,?B ? 30? ,AB ? 2 3 , BC ? 2 , 点 E 在线段 CD 上,若 AE ? AD ? ? AB ,则 ? 的取值范围是 (A) [0,1] (B) [0, 3] (C) [0, ]

??? ?

????

??? ?

1 2

(D) [ , 2]

1 2

( 8 ) 定 义 max{a, b} ? ?

? ?a, a ? b, ? x ? 2, 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? 则 y ? 2, ?b, a ? b, ? ?

z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是
(A) [?6,10] (B) [?7,10] (C) [?6,8] (D) [?7,8]

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为
2



(10)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 .
1

1

2 (主视图)

1 (侧视图)

(俯视图)

(11)若点 P(4, 4) 为抛物线 y ? 2 px 上一点,则抛物线焦点坐标为
2

;点 P 到抛

物线的准线的距离为



(12)函数 y ?

x ? 1 ? x 的最大值为


2

(13)如图,已知点 A(0, ) ,点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x 上,若阴影部分面积与△ OAP 面积相等时,则 x0 ?

1 4

y P



A O x

(14)设等差数列 ? an ? 满足:公差 d ? N* , an ? N ,且 ? an ? 中任意两项之和也是该数列
*

中的一项. 若 a1 ? 1 , 则d ? 三、解答题共 6 小题,共 80 分。

5 ; 若 a1 ? 2 , 则 d 的所有可能取值之和为

.

2 (15)(13 分)已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 .

(Ⅰ)求 f (

? ? ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 12 2

(16) (13 分)已知 ?a n ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足:

b b1 b2 ? 2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 2 2 2n

(17) (14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,B1B ? 平面 A1B1C1 AC ? CB ? CC1 ? 2 ,

?ACB ? 90? , D , E 分别是 A1 B1 , CC1 的中点.
C1 (Ⅰ)求证: C1 D ∥平面 A1 BE ; (Ⅱ)求证:平面 A1 BE ? 平面 AA1 B1 B ; (Ⅲ)求直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值. C A A A1 E A D A B1 2A

B A

(18)(13 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值;

1 ? ax . x

(Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

x2 y 2 ? ?1 (19)(13 分)已知椭圆 a 2 b 2 (a ? b ? 0) 上的点到其两焦点距离之和为 4 ,且过点

(0,1) .
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) O 为坐标原点,斜率为 k 的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点 A( x1 , y1 ) ,

x1 x2 y1 y2 ? 2 ?0 ,求△ AOB 的面积. B( x2 , y2 ) ,若 a 2 b

(20)(14 分)

[来源:学科网]

an ? an ? 2 ? an ?1 ;②存在常数 若无穷数列 {an } 满足:①对任意 n ? N * , 2

M ,对任意 n ? N * , an ? M ,则称数列 {an } 为“ T 数列”.
(Ⅰ)若数列 {an } 的通项为 an ? 8 ? 2n (n ? N*) ,证明:数列 {an } 为“ T 数列”; (Ⅱ ) 若数列 {an } 的各项均为正整数, 且数列 {an } 为 “ T 数列” , 证明: 对任意 n ? N * ,

an ? an ?1 ;
(Ⅲ) 若数列 {an } 的各项均为正整数, 且数列 {an } 为 “ T 数列” , 证明: 存在 n0 ? N * , 数列 {an0 ? n } 为等差数列.

东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题, 每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)D (3)A (4)C (5)C (6)A (7)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?6 (12) 2

3 (10) 2
(13)

(11) (1, 0) , 5 (14) 1, 63

6 4

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ?1 ? 得 f ( x ) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ? 分 (16)(13 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,则依题设 d ? 0 . 由 a2 ? a6 ? 14 , 可 得 a4 ? 7 .由 a3a5 ? 45 ,得 (7 ? d )(7 ? d ) ? 45,可得

3sin 2 x cos x ? cos2 x ,

? ? ? ) .所以 f ( ) ? 2sin ? 3 . ???8 分 6 12 3

? ? ? ?? ,所以 ? 2 x ? ? . 6 6 6 2

? ? ? ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 2 . 6 2 6 2 ? ? ?? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ?1 .??13 ? 6 6 2 2

d ? 2.
所以 a1 ? 7 ? 3d ? 1 .可得 an ? 2n ? 1.???6 分 (Ⅱ)设 cn ?

bn ,则 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an ? 1 . 即 c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n , 2n

可得 c1 ? 2 ,且 c1 ? c2 ? ? ? cn ? cn ?1 ? 2(n ? 1) . 所以 cn ?1 ? 2 ,可知 cn ? 2 (n ? N*) .所以 bn ? 2
n ?1



所 以数列 ?bn ? 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

所以前 n 项和 Sn ?

4(1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 . ??13 分 1? 2

(17) (14 分) 证明: (Ⅰ) 取 AB 的中点 F , 连结 DF , 交 A1 B 于点 M , 可知 M 为 DF 中点, 连结 EM ,易知四边形 C1 DME 为平行四边形, 所以 C1 D ∥ EM .
[来 源:学§科§网 Z§X§X§K]

又 C1 D ? 平面 A1 BE , EM ? 平面 A1 BE , 所以 C1 D ∥平面 A1 BE .??4 分 证明:(Ⅱ)因为 A1C1 ? C1 B1 ,且 D 是 A1 B1 的中点,所以 C1 D ? A1 B1 . 因为 BB1 ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? C1 D .所以 C1 D ? 平面 AA1 B1 B . 又 C1 D ∥ EM ,所以 EM ? 平面 AA1 B1 B .又 EM ? 平面 A1 BE , 所以平面 A1 BE ? 平面 AA1 B1 B .?? ??9分 解:(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 B(0, 2, 0) , C1 (0, 0, 2) , E (0, 0,1) , A1 (2, 0, 2) .

???? ? BC1 ? ( 0?,

???? ??? ? 2, , EA 2 ) ? (2, 0,1) EB ? (0, 2, ?1) . , 1

设平面 A1 BE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

z C1 A D A M A F A

B1 2A

???? ? ? EA1 ? n ? 0, 则 ? ??? ? ? ? EB ? n ? 0.

?2 x ? z ? 0, 所以 ? ?2 y ? z ? 0.

A1

E A C A

令 x ? 1 .则 n ? (1, ?1, ?2) . 设向量 n 与 BC1 的夹角为 ? ,

???? ?

x AA

B A y A

???? ? 3 BC1 ? n 3 则 cos ? ? ???? . 所以直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值为 . ?? ? ?? 6 6 BC1 n
14 分 (18)(13 分)解:(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ?

1 ( x ? 0 ), x

f '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 . x x2 x

所以,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时,函数有最小值 f (1) ? 1 . ??6分 (Ⅱ) f '( x) ?

1 1 ax 2 ? x ? 1 . ? 2 ?a ? x x x2

当 a ? 0 时, ax 2 ? x ? 1 在 x ? [2, ??) 上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求. 当 a ? 0 时,要使 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调函数, 当且仅当 x ? [2, ??) 时, ax 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立.即 a ?

1? x 恒成立. x2

设 g ( x) ?

x?2 1? x g '( x) ? 3 , 则 x , x2

又 x ? [2, ??) ,所以 g '( x) ? 0 ,即 g ( x) 在区间 [2, ??) 上为增函数,

1 1 g ( x) 的最小值为 g (2) ? ? ,所以 a ? ? . 4 4 1 综上, a 的取值范围是 a ? ? ,或 a ? 0 .?????13 分 4 x2 ? y 2 ? 1 .????5 (19)(13 分)解(Ⅰ)依题意有 a ? 2 , b ? 1.故椭圆方程为 4
分 (Ⅱ)因为直线 AB 过右焦点 ( 3, 0 ) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .











? x2 2 ? ? y ? 1, ?4 ? y ? k ( x ? 3). ?





y









(4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 . (*)
故 x1 ? x2 ?

12k 2 ? 4 ?k 2 8 3k 2 x x ? y y ? k ( x ? 3) ? k ( x ? 3) ? , . 1 2 1 2 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

x1 x2 y1 y2 xx ? 2 ?0 2 ,即 1 2 ? y1 y2 ? 0 . b 又 a 4 1 3k 2 ? 1 ?k 2 2 k2 ? ? 2 ? 0 ,可得 所以 2 . 2 ,即 k ? ? 2 4k ? 1 4k ? 1

方程(*)可化为 3x 2 ? 4 3x ? 2 ? 0 ,

[来源:学科网 ZX

由 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ,可得 AB ? 2

XK]

原点 O 到直线 AB 的距离

d?

3k k2 ?1

?1

.所以

S?AOB ?

1 AB ? d ? 1 . ??13 分 2

(20)(14 分)(Ⅰ)证明:由 an ? 8 ? 2n ,可得 an ? 2 ? 8 ? 2n ? 2 , an ?1 ? 8 ? 2n ?1 , 所以 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? 8 ? 2n ? 8 ? 2n ? 2 ? 2(8 ? 2n ?1 ) ? ?2n ? 0 , 所以对任意 n ? N * ,

an ? an ? 2 ? an ?1 . 2

又数列 {an } 为递减数列,所以对任意 n ? N * , an ? a1 ? 6 . 所以数列 {an } 为“ T 数列”.???5 分
[来源:Zxxk.Com]

(Ⅱ)证明:假设存在正整数 k ,使得 ak ? ak ?1 . 由数列 {an } 的各项均为正整数,可得 ak ? ak ?1 ? 1 . 由

ak ? ak ? 2 ? ak ?1 ,可得 a ? 2a ? a ? 2(a ? 1) ? a ? a ? 2 . k ?2 k ?1 k k k k 2

[来源:Z.xx.k.Com]

且 ak ? 2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?1 . 同理 ak ?3 ? ak ?1 ? 2 ? ak ? 3 ,依此类推,可得,对任意 n ? N * ,有 ak ? n ? ak ? n . 因为 ak 为正整数, 设 ak ? m , 则 m ? N * . 在 ak ? n ? ak ? n 中, 设n ? m, 则 ak ? n ? 0 . 与数列 {an } 的各项均为正整数矛盾.所以,对任意 n ? N * , an ? an ?1 ??10 分

(Ⅲ)因为数列 {an } 为“ T 数列”,所以,存在常数 M ,对任意 n ? N * ,an ? M . 设 M ? N * .由(Ⅱ)可知,对任意 n ? N * , an ? an ?1 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ? ? . 若 an ? an ?1 ,则 an ?1 ? an ? 0 ;若 an ? an ?1 ,则 an ?1 ? an ? 1 . 而 n ? 2 时,有 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . 所以 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an ?1 ,?,中最多有 M 个大于或等于1 , 否则与 an ? M 矛盾. 所以,存在 n0 ? N * ,对任意的 n ? n0 ,有 an ? an ?1 ? 0 .

所以,对任意 n ? N * , an0 ? n ?1 ? an0 ? n ? 0 . 所以,存在 n0 ? N * ,数列 {an0 ? n } 为等差数列.????14 分



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