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2014届上海市杨浦区高三数学一模试卷(理科


上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理科) 2014.1.2 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定 位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1. 计算: n??

lim

3n ? 3n ? 1

. (结果用反三角函数值表示).

2.若直线 y ? 3x ? 1 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 ? ?

2 x?1
3.若行列式

4 2

1

?0

,则 x ?
1

. .

2 C A? 4.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 U

x2 ?
5.双曲线

y2 ? 1(b ? 0) b2 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? ________.
x ?1

6.若函数 f ?x ? ? 3 ? 2 的反函数为 f

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



7. 若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积 等于

?cm ? .
3
2 2

8. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________. 9. 已知函数 f ( x) ? ?sin ?x ? cos?x ? ? 1 的最小正周期为 ? ,则 ? ? _________.
2

10. 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费 用为 2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 P.F. Productions 后期制作 吨.

1/6

11. 已知复数 ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 元二次方程是________.

z?

5

?

? ??2

,则一个以 z 为根的实系数一

1 ( x 2 ? )n x 的二项展开式中,所有二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项 12. 若
为 .
2 2

13.设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1有公共点的 概率是 .

? f ( x), x ? 0, F ( x) ? ? ?? f ( x), x ? 0. 给出下列命题: 14.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数
x



F ( x) ? f ( x)

; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总 .

有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

b c 15. 若空间三条直线 a 、 、 满足 a ? b , b // c ,则直线 a 与 c

???( ).

(A) 一定平行
x ?1 ? 2

(B) 一定相交

(C ) 一定是异面直线

(D) 一定垂直

16. “

x ?0 成立”是“ x ? 1 成立”的
(B) 必要非充分条件.

???( ).

(A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(D) 既非充分又非必要条件.

17. 设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为
2/6

???( ).

(A)

?

2 , 3 . (B)

?

?1 , 3 ?

. (C )

?

2, 2 .

?

(D)

?0 , 2?



?b, (a ? b) 4 a ?b ? ? f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x a, ( a ? b) ? x 18.定义一种新运算: ,已知函数 ,若函数
g ( x)? f ( x? 恰有两个零点,则 k 的取值范围为 ) k
???( ). . (D)

(A)

?1, 2?



(B)

(1, 2 ) .

(C ) (0, 2)

( 0 , 1) .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 . 已知向量 m ? x , 1 , n ? ?a , 1? 2ax ? ,其中 a ? 0 .函数 g ? x ? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3?
2

?

?

上有最大值为 4,设 (1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3

f ?x ? ?

g ?x ? x .

? ?? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.
3/6

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域),其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦 ” 点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其 中 ? 为锐角. 求抛物线 ? 方程; 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5

4/6

分,第(2)小题满分 6 分.

x2 ? y2 ? 1 已知椭圆 ? : 4 .
(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分

1? ? M?m , ? 2 ? 满足 m ? 0 ,且 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 ?

m?? 3.
①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、
2 2

R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 13 分, 第①问 5 分,第②问 8 分.

5/6



Sn

是数列

?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N* 都有 2S n ? ?kn ? b??a1 ? an ? ? p 成立, (其中

k 、 b 、 p 是常数) .
S (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 n ;
(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, ①若

a3 ? 3



a9 ? 15

,求数列

{an }

的通项公式;

②设数列 如果

?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“ ? 数列”.
,试问:是否存在数列
* ?an ? 为“ ? 数列” ,使得对任意 n ? N ,都有

a2 ? a1 ? 2

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? Sn ? 0 12 S1 S2 S3 Sn 18 .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所 ,且
有取值构成的集合;若不存在,说明理由.

杨 浦 区

2013 — 2014

学 年 度 第 一 学 期 高 三 模 拟 测 试

2014.1.2

6/6

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 ; 2. arctan3 ; 3.2; 4. ?? ? , 0 ? ; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;

5 9. 理 ? 1 ; 10. 30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12. 理 15 ;13.理 9 ,
2

14.理②、③, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18.理 B; 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? .

??6

7/6



1 2 1 ? a ? a ? a3 3 (2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ? 3
20. 【解】 (1)由题得 g ? x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a
2 2

??12 分

??4 分

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4

所以, a ? 1

??7 分

(2)由(1)的他,

f ?x ? ?

g ( x) 1 ? x? ?2 x x

??8 分

?1 ? t ? ? ,3? x x ? 3 ? 以 f ?3 ? ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , 令 t ? 3 ,则
x

k?


f (t ) t 恒成立,

??9 分

1 ?1 ? 1 f (t ) 1 f (t ) ? ? ,3? ? ( ? 1) 2 ?1 t t 且 t ? 3 ? ,当 t ,即 t ? 1 时 t 最小值为 0,

??13 分 ??14 分

?k ? 0
21. 【解】 理科 (1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??5 分 ??6 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1)
8/6

2 2 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2

??7 分

AF ?
解得

2( c o? ? 1) s 2 s i n? 2(1 ? sin ? ) cos2 ?

??8 分

BF ?
同理:

??9 分

DF ?

2(1 ? sin ? ) cos2 ? 2(1 ? cos? ) sin 2 ?

??10 分

CF ?

??11 分

S ? S ?AFB ? S ?CFD ?
“蝴蝶形图案”的面积

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin ? cos? ) 2

? 1? t ? sin ? cos? , t ? ? 0 , ? ?1 ? ?2,?? ? ? 2 ?, ? t 令
2

??12 分

1? t ?1 1 ? ? S ? 4 2 ? 4? ? ? ? 1 ?1 ? 2 ?? t ?t 2? t 4 “蝴蝶形图案”的面积为 8 则 , 时,即
??14 分 22. 【解】 理科

1
解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m, 2 ),且 m ? 0 ,

?直线 AM 的斜率为 k1= ?直线 AM 的方程为 y=

?

1 3 2m ,直线 BM 斜率为 k2= 2m ,

?

3 1 x ?1 x ?1 2m ,直线 BM 的方程为 y= 2m ,

……2 分

9/6

? x2 ? y 2 ? 1, ? 4 ? ? y ? ? 1 x ? 1, ? m2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , 2m 由? 得
? 4m m ? 1 ? 4m ? x ? 0, x ? 2 , ? E ? m 2 ? 1 , m 2 ? 1 ? , ? ? m ?1
2

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 4 3 ?y ? x ? 1, m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 2m 由? 得 ,

?

?

? x ? 0, x ?

12m ? F ? 12m , 9 ? m ? ? 2 ? , 2 ? m ?9 m ?9?; m2 ? 9
2

……4 分

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
2

m2 ? 1 9 ? m2 ? 2 2 (m2 ? 3)(m2 ? 3) k ? 1? m 9 ? m ? ? m2 ? 3 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? , ? 4m ?直线 EF 的斜率 1 ? m2 9 ? m2

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ? 2 m ?1 4m ? m ?1 ? ,

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关.

……5 分



S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF S?BME ? | MB || ME | sin ?BME 2 2 , , ?AMF ? ?BME ,
……7 分

5S?AMF

5 | MA | | MB | ? ? S?BME ? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ? | ME | | MF | , , ,

?

5m m ? , 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2 ? m?0,

10 / 6

1 15 ? 2 ?1 2 2 ?整理方程得 m ? 1 m ? 9 ,即 (m ? 3)(m ?1) ? 0 ,
2
2 2 又有 m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ?m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

……10 分

(2) 因为直线

l1 ? l2

,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线

l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0

,

1 l2 : y ? ? x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 k 直线 ,
l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0

……12 分

d?
的距离为

1 1? k2 ,

所以圆心 (0, 0) 到直线

2 2 l 所以直线 1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦

TR ? 2 4 ? d 2 ?

2 3 ? 4k 2 1? k 2


? x ? ky ? k ? 0 ? 2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 由? 4 ,所以

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4
S ?TRQ ?
所以

QP ? (1 ?
所以

1 64 k 2 8 k2 ?1 ) 2 ? 2 k 2 (k ? 4) 2 k ?4

……14 分

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

4k 2 ? 3 ?


13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 2 2

时等号成立,

此时直线 23【解】 (理科)

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

……16 分

11 / 6

解:

2S ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,由 n 得 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2S n
用 n ? 1 去代 n 得, ②—①得, ① , , ② ……2 分

3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2S n?1


3(an?1 ? an ) ? 2an?1

an?1 ? 3an

an ?1 ?3 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴ an 在①中令 ,
∴数列

{an }

是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,

3n ? 1 S ∴ n= 2
(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,

…….5 分

n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an )
用 n ? 1 去代 n 得, ④—③得, 用 n ? 1 去代 n 得, ⑥—⑤得, ∴数列



③ , ④ …….7 分 ⑥ , …….8 分

(n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) (n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0
, , ⑤

nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0
,即

nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0
是等差数列.∵

an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an


{an }

a3 ? 3



a9 ? 15

d?
∴公差

a9 ? a3 ?2 a ? 2n ? 3 9?3 ,∴ n
a2 ? a1 ? 2 an ? a1 ? 2(n ? 1)

……10 分

易知数列

{an }

是等差数列,∵

,∴

.

12 / 6



* * ?an ? 是“ ? 数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1)


, …….12 分

a1 ? 2( p ? m ? n ? 1)

,故

a1

是偶数,

1 1 11 18 ? ? ? a1 ? 12 12 S1 18 ,故 11 又由已知,

18 ? a1 ? 12 * S ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 一方面,当 11 时, n ,对任意 n ? N ,
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S S 2 S3 Sn S1 12 都有 1 1 1 1 ? ? a ?2 S ? n(n ? 1) Sn n n ? 1 另一方面,当 1 时, n , , 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? S S 2 S3 Sn n ?1 , 则 1

.…….13 分

1 1 1 2 11 ? ? 1? ? ? S S2 3 3 18 ,不合题意. 取 n ? 2 ,则 1
1 1 1 1 ? ( ? ) S ? n(n ? 3) Sn 3 n n ? 3 a ?4 当 1 时, n , ,则 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ? ) ? 11 S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 , 1 1 1 1 ? ( ? ) Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) Sn 3 n n ? 3 a1 ? 6 当 时, , , 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 ,

…….14 分

…….15 分

…….16 分

13 / 6

18 ? a1 ? 12 a ? 4 a1 ? 6 a1 ? 8 a1 ? 10 又 11 ,∴ 1 或 或 或
所以,首项

…….17 分 ?? 18 分

a1

的所有取值构成的集合为 ?4, 6, 8, 10?

(其他解法,可根据【解】的评分标准给分)

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