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新课标全国卷近五年高考题



2016 届文科人教版数学 三角函数复习资料



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 25 日

1+sin β π π 8. [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?, β∈?0, ?, 且 tan α = , 则( 2? 2? ? ? cos β π A.3α -β= 2 π C.2α -β= 2 B.3α +β= π 2

)

π D.2α +β = 2

1+sin β 8.C [解析]tan α = = cos β

?cosβ +sinβ ? 2? ? 2
β β cos2 -sin2 2 2



β β β cos +sin 1+tan 2 2 2 π β π β π π π = =tan? + ?,因为β ∈?0, ?,所以 + ∈? , ?,又 4 2 ?4 2? 2? ? 4 2? ? β β β cos -sin 1-tan 2 2 2 π π π β π β α∈?0, ?且 tan α =tan? + ?,所以 α= + ,即 2α -β= 2 . 2? 4 2 ? ? 4 2? 16.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a =2,且(2+b)· (sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 16. 3 [解析]根据正弦定理和 a=2 可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 π 根据余弦定理得 cos A= = ,所以 A= .根据 b2+c2-a2=bc 及基本不等式得 2bc 2 3 1 3 bc≥2bc-a2,即 bc≤4,所以△ABC 面积的最大值为 ×4× = 3. 2 2 [2014· 新课标全国卷 2]4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

)

A. 5 【答案】B 【解】

B.

5

C. 2

D. 1

1 1 1 2 ? S ΔABC = ac sin B = ? 2 ?1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4

[2014· 新 课 标 全 国 卷 2]14. 函 数 f _________. 【答案】1 【解析】

2? ? x? ? s i n? x? ?

? 2 s i? n cos ? x ??? 的 最 大 值 为

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤1.∴ 最大值为 1.

[2013· 新课标全国卷1]15.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______
15. 【解析】∵ = =



=



,则

=

=





=

,即

=

时,

取最大值,此时

=

,∴

=

=

=

.

[2013· 新课标全国卷1]17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3, BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 2

17 . 【解析】 (Ⅰ)由已知得,∠ PBC=

,∴∠ PBA=30 ,在△ PBA 中,由余弦定理得

o

=

=

,∴PA=



(Ⅱ) 设∠PBA=

, 由已知得, PB=

, 在△PBA 中, 由正弦定理得,

,化简得,





=

,∴

=

.

(2013 课标全国Ⅱ,理 15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ? __________. 15.答案: ?

? ?

π? 1 ? ? ,则 sin θ +cos θ = 4? 2

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? ,得 tan θ = ? ,即 sin θ = ? cos θ . ?? 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2 10 2 2 2 将其代入 sin θ +cos θ =1,得 cos ? ? 1 . 9 10 3 10 10 因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ = ? ,sin θ = ,sin θ +cos θ = ? . 5 10 10
解析:由 tan ? ? ?

10 5

? ?

17. (2013 课标全国Ⅱ, 理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值 17. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π -(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π ),所以 B ? (2)△ABC 的面积 S ?

π . 4

1 2 ac sin B ? ac . 2 4 π 2 2 由已知及余弦定理得 4=a +c - 2ac cos . 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac ? ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2? 2
因此△ABC 面积的最大值为 2+1 . [2012 新课标全国卷](9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?

? 的取值范围是()
1 5 1 3 1 ( A) [ , ] ( B ) [ , ] (C ) (0, ] ( D ) (0, 2] 2 2 4 2 4 【解析】选 A ? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意排除 ( D ) 4 4 4 ? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意排除 ( B)(C ) 4 4 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 2 4

?

? ? ? ? 3? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

?

) ? ? ? ? ? 2 , (? x ?

?

[2012 新课标全国卷](17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。 【解析】 (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 (l fx lby) [2011 新课标全国卷](5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边 在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 选B 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

[2011 新课标全国卷] (11) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最

小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则

? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

? ? 3? ? (B) f ( x) 在 ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

解 析 : f ( x )?

2 s? i n? x(? ?

?
4

) 以 ? ? 2 , 又 f(x) 为 偶 函 数 , ,所

?? ?

?
4

?

?
2

? k? ? ? ?

?

? k? , k ? z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,选 A 4 2

?

[2011 新课标全国卷](16)在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值
?

为。 解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B
? AB ? 2 BC ?

3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7

1 ? tan 4 2 ? [2010 新课标全国卷](9)若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2
(A) ?

?

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

解析:?? 是第三象限的角,?

?
2

是第二或四象限角

又 cos ? ?

cos 2 cos 2

? ?
2

? sin 2 ? sin 2

? ?
2 ? 2

2

2 ? ? 4 , 化简得 tan 2 ? ? 9,? tan ? ? ?3 ? 5 2 2 1 ? tan 2 2

1 ? tan 2

?

1 ? tan


? ?

2 ? ? 1 ,选 A 2 1 ? tan 2
1 DC, AD=2, ? ADB=120°, 2

命题意图:考察三角函数的化简求值 [2010 新课标全国卷](16)在△ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD=

若△ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______ 解析: S? ADC ?

1 3 AD ? DC ? =3 ? 3, ? CD= 3-1,BD=2 3-2 2 2
2 2 ?

在△ADC, AC= AD +DC -2AD ? DC ? COS60 =3 2- 6 在△ADB, AB= AD +BD -2AD ? BD ? COS120 = 6
2 2 ?

所以,在△ABC 中,由余弦定理的 cos ? BAC=

AB2 +AC2 -BC2 1 = , ? BAC=60° 2AB ? AC 2



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