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7.5 不等式的综合应用


7.5 不等式的综合应用 1.(2013 课标全国Ⅰ ,11,5 分)已知函数 f(x)= A.(-∞,0] C.[-2,1] 1. 答案 B.(-∞,1] D.[-2,0] D
2 1 2

- 2 + 2x,x ≤ 0, 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ln( + 1), > 0.

)

2.(2013 山东,12,5 分)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大值时, + - 的最大值为( A.0 B.1 C. 2. 答案 B
2 3 3 9 4

)

D.3

3.(2013 安徽,20,13 分)设函数 fn(x)=-1+x+ 2 + 2 +…+ 2 (x∈R,n∈N*).证明:
2

(1)对每个 n∈N*,存在唯一的 xn∈ ,1 ,满足 fn(xn)=0; (2)对任意 p∈N*,由(1)中 xn 构成的数列{xn}满足 0<xn-xn+p< . 9. 证明 (1)对每个 n∈N*,当 x>0 时, f 'n(x)=1+ +…+
1 1 1 2 -1 >0,故 fn(x)在(0,+∞)内单调递增. 1

2 3

由于 f1(1)=0,当 n≥2 时, fn(1)= 2 + 2 +…+ 2 >0,故 fn(1)≥0.
2 3

又 fn

2 3

=-1+ + ∑
2 2

2 3 3 =2 2
2 -1



2

≤- + ∑

1 1 2 3 4 =2 3

1 1 3 =- + · 3 4

1- 3
2 1-3

=- ·

1 2 -1 <0, 3 3 2 3

所以存在唯一的 xn∈ ,1 ,满足 fn(xn)=0. (2)当 x>0 时, fn+1(x)=fn(x)+
+1 (+1)2

>fn(x),

故 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,xn+1<xn. 故{xn}为单调递减数列. 从而对任意 n,p∈N*,xn+p<xn. 对任意 p∈N*,由于
fn(xn)=-1+xn+ 2 +…+ 2 =0,①

2 2



fn+p(xn+p)=-1+xn+p+

2 + 2
2

+…+

+ 2

+

+1 +

(+1)

2 +…+

+

+

(+)2

=0,②

① 式减去② 式并移项,利用 0<xn+p<xn≤1,得 xn-xn+p= ∑ ≤ ∑
+ - + =2



2

+ ∑
1

+

+
2

= +1

≤ ∑
1

+

+
2

= +1

1

+

= +1

2<

= +1 (-1) +



= -

1

1

< .

因此,对任意 p∈N*,都有 0<xn-xn+p< . 4.(2013 湖南,20,13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的 居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心. (1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到三 个居民区的“L 路径”长度之和最小.

1

10. 解析

设点 P 的坐标为(x,y).

(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值 之和(记为 d)的最小值. ① 当 y≥1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当 x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以 d1(x)≥24,当且仅当 x=3 时,等号成立. d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当 y=1 时,等号成立. 故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45. ② 当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由① 知,d1(x)≥24,故 d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立. 综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.


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