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第二章习题解答及参考答案



第二章 标量衍射理论
部分习题解答及参考答案
[2-1] 在基尔霍夫衍射公式(2-2-16)或(2-2-20)中,同时对光场及其法向导数施加了边 界条件,从而导致了理论本身的不自恰性。为了消除这种不自恰性,索末菲选择了换用格林 函数的办法,使新的格林函数或其法向导数在表面 S1 上为 0,这时就不必同时对光场及其法 向导数施加边界条件。例如,可以选择 G 同时

由观察点 P0 及其对衍射屏的镜对称点 P0 各

~

~ eikr01 eikr01 自出发的同相位的单位振幅的球面波给定(图 X2-1),即 G+ = r01 是 P0 + ~ 式中, ~ r01 r01
点与 P 1 点间的距离。 (1) 试求: G+ (P ) 在衍射屏上的法向导数;

~

(2) 欲将观察点的复振幅用衍射孔 Σ 上的光扰动来表示,需要什么样的边界条件? (3) 利用(2)的结果,求出孔径被从 P 2 点发出的单色球面波照明时, U ( P 0 ) 的表达式。

图 X2-1

习题[2-1]图示

解:由题设有:
ikr01 ?G+ ( P / r01 1 ) = 2e ? ? ? ? ?G+ ( P 1 ? eikr01 1 ? eikr%01 1) % = cos n , r ik ? + cos n , r ik ? =0 ( 01 ) ? ( 01 ) ? ? ? ? ? % % r r r r n 01 ? 01 01 ? 01 ? ? ?

将上述结果代入式(2-2-16)得:

u( p0) =
这时只需对

1 4π

?U 1 ∫∫Σ ?n G+ + dS = 2π

?U eikr01 dS ∫∫ ∑ ?n r01

?U ikr21 应用基尔霍夫边界条件。当 U (P / r21 时,则有: 1 ) = Ae ?n ? 1 ? eikr21 ?U (P ikr21 1) ? = A cos(n, r21 )? ik ? ? r ≈ Aik cos(n, r21 )e / r21 ? ?n r 21 ? 21 ?

A eik ( r01 + r21 ) 最后得: U (P0 ) = ? ∫∫ cos(n, r21 )dS iλ ∑ r01r21 e ikr01 eikr01 [2-2] 如果选择格林函数为: G? = ? ~ r01 r01
~

其中“-”号表示由 P0 点和 P0 点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下,完成上题中 的(1)、(2)和(3)。 解:由题设有:

~

? G? ( P 1) = 0 ? ikr ? 1 ? eikr%01 ? ?G? = cos n, r ? ik ? 1 ? e 01 ? cos n, r ( 01 ) ? ( %01 ) ? ik ? ? ? ? ?n %01 ? r %01 r01 ? r01 r ? ? ? ? ? 1 ? eikr01 ? = 2cos ( n, r01 ) ? ik ? ? ? r01 ? r01 ? ? ? ≈ 2ik cos ( n, r01 ) ? eikr / r01 ? 1 eikr01 将上述结果代入式(2-2-16)得: U ( p0 ) = ( ) U P cos(n, r01 )dS 1 r01 iλ ∫∫∑
于是只需对 U 施加基尔霍夫边界条件。 [2-3] 在圆孔的夫琅和费衍射花样中, 设观察平面上的总光能流为 I,半径为 r0 的圆面内所分

布的光能流等于 I i (r0 ) ,它占总光能流的百分比为 F (r0 ) .试求出 F (r0 ) 的表达式,并与教材 中表 2-5-1 进行比较。 其中 I (r ) 解: 由公式 (2-5-8) 和 (2-5-9) , 分布在小圆环 2πrdr 上的光能流等于 2πI (r )rdr , 是光能流密度(光强度) ,它是ψ ? ?= 为: I i (r0 ) =

? kdr0 ? 2z

? ? ? 的函数。在半径为 r0 的圆面积内所分布的光能流 ?
2

∫ I (r )2πrdr = ∫
r0 0 2

ψ

0

2λπ λz 2I ? λz ? I (r ) ψ ? dψ = 0 ? ? d πd π ?d ?
2



ψ

0

? J1 (ψ ) ? ? ψ ? ψdψ ? ?
2

而分布在整个观察平面上的光能流为:

2 I ? λz ? Is = 0 ? ? π ?d ?





0

? J1 (ψ ) ? ? ψ ? ψdψ ? ?
2 2 2 2

∞?J ( ∞J ( ψ ?J ( I (r ) ψ ? J (ψ ) ? ψ )? ψ )? 1 ψ ) 故: F (r0 ) = i 0 = ∫ ? 1 ψdψ / ∫ ? 1 ? ψ dψ = ∫ ? 1 dψ ? dψ / ∫0 ? 0 0 0 Is ψ ? ψ ? ? ψ ? ? ψ ?

根据贝塞尔函数公式:

2 J1 (ψ ) = J (ψ )J (ψ ) ? J (ψ )J′ (ψ ) = ?[J (ψ )J′ (ψ ) + J (ψ )J′ (ψ )] = ? 1 d J 2 (ψ ) + J 2 (ψ ) 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 ψ 2 dψ 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 F (r0 ) = J 0 (ψ ) + J1 (ψ ) ? J 0 (0 ) ? J1 (0 ) / J 0 (∞ ) + J1 (∞ ) ? J 0 (0 ) ? J1 (0 )

J (ψ ) ? d ′ (ψ ) [ x J1 ( x )] = x J 0 ( x ) → 1 = J 0 (ψ ) ? J1 ? ? dx ψ ? ? d x ? n J n ( x ) = ? x ? n J n +1 ( x ) ?(? ?→J1 ( x ) = ? J′0 (ψ ) n=0) ? ? dx 由 J1 (ψ ) × (1) 得:

(1) (2)

[

]



故: F (r0 ) = 1 ? J 0 ( ψ ) ? J1 (ψ )
2 2

J 0 (0 ) = 1, J 0 (∞ ) = J1 (0 ) = J1 (∞ ) = 0

[

][

[ ]

]

附图 2-1

F (r0 ) 随ψ

变化

其函数曲线如附图 2-1 所示,与第一,第二和第三暗环(即当ψ = 3。832, 7。015 和 10。 173 时)对应的 F (r ) 值分别为 0。839,0。910 和 0。938,因而,大约 84%的光能包含在以 第 1 暗环为界限的圆内,大约 7%的光能包含在第一和第二暗环之间,等等。 [2-4] 试证明关系式(2-5-15) 。 解:圆环光孔的面积为:

D = πa 2 ? π εa
2

( )

2

= πa 2 1 ? ε 2

(

)
2

将上式代入式(2-5-14)得:

C D2 ? ?? 2 J1 ( kar0 / z ) ? 2 ? 2 J1 ( k ε ar0 / z ) ? ? ? I ( r0 ) = ?? ? ?ε ? ?? 2 2 ?? kar0 / z ? ? ? k ε ar0 / z ? ? (1 ? ε ) ?
令 x = kar0 / z , M = 即:

(1)

(1 ? ε )

C D2

2

2 2

,在衍射斑中心处其强度极大值由式(1)求导解得,

′ (εx ) ? 2 J1 (εx ) ? dI 2 J (εx ) ? ? 2 x J′ 2εx J1 ? 2 J (x ) 1 ( x ) ? 2 J1 ( x ) ? = 2M ? 1 ? ε 2 1 ? ?? ? 2 dx x εx ? ? (εx )2 ? x ? ′ ′ ? ( εxJ1 (εx )) ? 2 J1 (εx ) ? ? ? 2 J1 ( x ) 2 2 J1 (εx ) ? ? ( x J1 ( x )) ? 2 J1 ( x ) ? = 4M ? ?ε ??? ? 2 2 εx ? ? x ( ) x ε ? x ? ? ?

按极值条件,令 x J 0 (x ) ? 2 J1 (x ) x = 0 = 0, εx J 0 (εx ) ? 2 J1 (εx ) x = 0 = 0 求得:

2 J (εx ) ? ? x J 0 ( x ) ? 2 J1 ( x ) εx J 0 (εx ) ? 2 J1 (εx ) ? ? 2 J (x ) ? = 4M ? 1 ? ε 2 1 ??? ? x2 εx ? ? (εx )2 ? x ? = J 0 (0 ) = 1
2

2 J1 (x ) 2 J1 (εx ) = x εx
2 2

x=0

于是由(1)式得:

I 0 = M (1 ? ε

)

? π a2 ? 2 2 = C D =? ? (1 ? ε ) ? λz ?
2 2

得证

[2-5] 试证明关系式(2-5-28) 。 解: 由式( 2-5-27 ) 知 ,波 长 为 λ 和 λ + ?λ 的 q 级 衍射 极大 分 别 位 于 x0 = λzqf 0 和

x0 + ?x0 = (λ + ?λ )zqf 0 ,按瑞利判据,刚好能分辨的条件是:波长 λ 的 q 级极大正好与波

长 (λ + ?λ ) 的 q 级极小重合,即:

?x0 = (λ + ?λ )zqf 0 ? λzqf 0 =
所以: R =

λ = qf 0b = qN ?λ

λz b

[2-6]

设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-2 所示的双矩孔,求其夫琅和费衍射图

样的强度分布,并画出衍射强度沿 x 轴和 y 轴的截面图。设

? 3 ?1 = m ,z 是观察距离, λ 是照明光波长。 λz 2

X Y = 10m ?1 , = 1m ?1 , λz λz

图 X2-2

双矩孔

解:双矩孔的透过率函数为:

? x y ??/2? ? x y + ?/2? t ( x1 , y1 ) = rect? 1 , 1 ? + rect? 1 , 1 ? Y Y ?X ? ?X ? 当用单位振幅的单色平面波垂直照明时,其透射光场即为 U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) ,而在观察平
面上的衍射场为:

1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) U ( x0 , y0 ) = e e F {t ( x1 , y1 )} iλ z k 1 ikz i 2 z (x 0 2 + y 0 2 ) e e = ? 2 XY sinc (Xf x , yf y )cos(πf y ? ) iλ z
k

将 f x = x0 / λ z , f y = y0 / λz 代入上式,最后得衍射图样的强度分布为:

当 y0 = 0 时,由题给条件算得:

x y ? 2 ? π?y0 ? ? 2 XY ? 2? I (x0 , y0 ) = ? ? sinc ? X 0 , Y 0 ? cos ? ? ? λz ? ? λz λz ? ? λz ?

2

I (x0 ,0 ) = 40 XY sinc 2 (10 x0 )

如附图 2-2 所示,其极小值位置为:

x0 =

当 x0 = 0 时,又有

n m 10

( n = ±1,±2,L)

?3 ? I ( y0 , 0) = 40 XY sinc2 ( y0 ) cos ? π y0 ? ?2 ? 3 π 如附图 2-3 所示,其极小指位置由 y0 = n(n = ±1,±2,L) 及 πy0 = (2n + 1) 决定,即 2 2

1 5 7 L y0 = ± , ± 1, ± , ± 2, ± , ± 3, 3 3 3

附图 2-2

习题[2-6]图示之一

附图 2-3

习题[2-6]图示之二

[2-7] 若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 X2-3 所示的方形环带,试导出该方形环 带的夫琅和费衍射的表达式。

图 X2-3

方形环带

解:方形环带的透过率函数为:

当用单位振幅的单色平面波垂直照明时,其透过此环带的光场 U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) ,故观察 面上的光场分布为:

?x y ? ?x y ? t ( x1 , y1 ) = rect? 1 , 1 ? ? rect? 1 , 1 ? ?a a? ?b b?

1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) U ( x0 , y0 ) = e e F {t (x1 , y1 )} iλ z k 1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) 2 = [a sinc (af x , af y ) ? b 2sinc (bf x ,bf y )] e e iλ z
k

光强分布为:

? 1 ? I ( x0 , y0 ) = ? ? ? λz ?

2

? 2 y0 ? 2 ? x0 y0 ? ? ? x0 ? a sinc ? a λz , a λz ? ? b sinc ? b λz , b λz ? ? ? ?? ? ? ?

2

[2-8] 如图 X2-4 所示, 边长为 2a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模, 其中 心落在 (ξ ,η ) 点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求出与它相距为 z 的观察平面上夫 琅和费衍射图样的光强度分布。

图 X2-4

[2-8]题图示

参考答案:仿前一题方法可算得:

y ? y ? ?i 2 π ? + ? ? x ? x ? 1 ? I ( x0 , y0 ) = ? ? 4a 2 sinc ? 2a 0 ,2a 0 ? ? a 2 sinc ? a 0 , a 0 ?e ? λz λz ? λz ? ? λz λz ? ? λz ? λz ?
[2-9]

2

? ξx0 ηy0 ?

2

1? 2π ? x1 ? ,求透射场的角谱。 ?1 + cos 2? 3λ ? 解:当用单位振幅的单色平面波垂直照明模块时,其透射场 U t ( x1 ) = t ( x1 ) ,故其角谱为:
模板,其透过率函数为: t ( x )1 =

波长为 λ 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上,在孔径平面上有一足够大的

? cos α cos β ? Gt ? , ? = F {t ( x1 )} λ ? ? λ 1 ? cosα cos β ? 1 ? cosα 1 cos β ? 1 ? cos α 1 cos β ? + = δ? ? , , , ? ? + δ? ? + δ? 2 ? λ λ ? 4 ? λ 3λ λ ? 4 ? λ 3λ λ ?
[2-10] 两个正弦振幅光栅 G1 和 G2 的透过率函数分别为:

′ cos(2πf x x ) G1 : t1 (x ) = t10 + t10 ′ cos(2πf y y ) G2 : t2 ( y ) = t 20 + t 20

将它们按条纹方向垂直地密着叠放在一起(见图 X2-5) 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时,求其夫琅和费衍射斑的方向角。

图 X2-5

两正弦光栅正交密着叠放

解: U t ( x1 , y1 ) = t ( x )t ( y ) 按题设条件相乘后并应用欧拉公式,结果包含 9 项,分别代表 9 个空间频率的衍射波,其方 向角由角谱定义知各为:

(0,0) 0级 ? ? ( ± λf x ,0 ) f1 的 ± 1级 ? ? f 2 的 ± 1级 (cosα , cos β ) = ? (0,±λf y ) ?± (λ f x ,?λf y )? ? ? 交叉项的 ± 1级 ? ? ± (λf x , λf y ) ?
[2-11] 两个正弦光栅 G1 和 G2 的透射率函数分别为:

′ cos(2πf1 x ) G1 : t1 (x ) = t10 + t10 G2 : t2 (x ) = t20 + t′ 20 cos(2πf 2 x )

将它们按条纹方向平行地密着叠放在一起(见图 X2-6) 。当用单位振幅的单色平面波垂直照 明时,求夫琅和费衍射斑的方向角。

图 X2-6

两正弦光栅平行密着叠放

参考答案:仿上题,将 t (x ) = t (x )t ′(x ) 相乘并应用欧拉公式,结果包含 9 项,同样可得 9 个 空间频率的衍射波,其方向角为:

(0,0 ) ? ? (± λf ,0 ) 1 ? (cosα , cos β ) = ? ( ± λ f ? 2 ,0 ) ?[± λ ( f ? f ),0] 1 2 ? ? [ ± λ ( f + f ? 1 2 ),0]
[2-12]
2 2 (1) t ( x1 , y1 ) = circ? ? x1 + y1 ? ?

0级 f1 的 ± 1级 f 2 的 ± 1级 ( f1 ? f 2 )的 ± 1级 ( f1 + f 2 )的 ± 1级

若衍射孔径的透射率函数分别为

?

?

(2) t ( x1 , y1 ) = ?

? ?1 a ≤ x12 + y12 ≤ 1,0 < a < 1 ? 其他 ?0

今采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径,求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分 布。 解: (1) U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 ) = circ

(x

2 1

+ y12

)

U ( x0 , y0 ) =

令 x0 = y0 = 0 ,并换用极坐标系作运算,得轴上复振幅分布为:

i (x12 + y1 2 ) ? i ( x 0 x1 + y 0 y1 ) 1 ikz i 2 z (x0 2 + y 0 2 ) 2 2 2z + e e circ x y e e 2z dx1dy1 1 1 ∫∫?∞ iλ z k k k

(

)

U ( 0, 0 ) =

k k 1 i r2 i ? ? 1 ikz 2π e ∫ dθ ∫ e 2 z rdr = eikz ? 1 ? e 2 z ? 0 a iλ z ? ?

2 ? π ? I ( 0,0 ) z = U ( 0, 0 )z = 4sin 2 ? ? 2λ z ? ? k 2 1 i r ? i k a2 i k ? 1 ikz 2π (2) U ( 0, 0 ) z = e ∫ dθ ∫ e 2 z rdr = eikz ? e 2 z ? e 2 z ? 0 a iλ z ? ? 2 ? π ? I (0,0 )z = U (0,0)z = 4 sin 2 ? 1 ? a2 ? ? 2λz ?

(

)

(1) , (2)结果表明:衍射图样随着 z 的变化,中央有亮暗的变化。 [2-13] 一衍射屏的透过率函数为: t ( x1 , y1 ) =

1 (1 + m cos 2πf 0 x1 ) 2

今用单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏,求观察平面上的菲涅耳衍射光场复振幅分 布; 并讨论观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时, 屏上光振动的相位不随空间位置而 变,即在空间是纯调幅的。又当观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时,才是近似空间 调相的。 解: U t ( x1 , y1 ) = t ( x1 , y1 )
k i [( x1 ? x 0 )2 + ( y1 ? y 0 )2 ] 1 ikz 2z e U t ( x1 , y1 )e dx1dy1 U ( x0 , y0 ) = iλz ∫∫? ∞ k i (x 0 2 + y 0 2 ) 1 ikz = e U t ( x0 , y0 ) ? e 2 z iλ z

利用卷积定理,先在频域进行运算再取逆变换,最后算得:

2 1 U (x0 , y0 ) = eikz 1 + me ? iπλzf 0 cos(2πf 0 x0 ) 2 1 I (x0 , y0 ) = 1 + m 2 cos 2 (2πf 0 x0 ) + 2m cos(2πf 0 x0 )cos(πλzf 02 ) 4 ? i πλzf 02 注意到 e = cos πλzf 02 ? i sin πλzf 02 n 故当 πλzf 02 = nπ (n = 1,2,3,L) ,即 z = 时,有 λf 02

[

]



[

]

(

)

(

)

e ? iπλzf 0 = (? 1)
2

n

这时式①变为:

? kn ? 1 n U ( x0 , y0 ) = exp? i 2? [1 + (? 1) m cos(2πf 0 x0 )] ? ? 2 ? λf 0 ? n 时, U (x0 , y0 ) 是纯粹空间调幅的。 λf 02 n+ 1 π 2 时,有: 当 πλzf 02 = (2n + 1) (n = 0,1,2,L) ,即 z = 2 λf 02
上式表明:当 z =



e ? iπλzf 0 = (? 1) i
2

n +1

相应地式①变为:

2 1 U (x0 , y0 ) = eik ( n +1 / 2 ) / λf 0 1 + (? 1)n +1 im cos(2πf 0 x0 ) 2 2 当 m << 1 时, m cos (2πf 0 x0 ) << 1 ,因而存在下列近似:

[

]



m cos(2πf 0 x0 ) ≈ sin [m cos(2πf 0 x0 )] cos[m cos(2πf 0 x0 )] ≈ 1

将上列两式代入式③得:

2 1 1 U (x0 , y0 ) = eik (n +1 / 2 ) / λf 0 cos[m cos(2πf 0 x0 )] + (? 1)n + i sin [m cos(2πf 0 x0 )] 2 1 ik ( n +1 / 2 ) / λf 02 = e ? exp (? 1)n +1 im cos(2πf 0 x0 ) 2

{

}

[

]

遂当 z =

n + 1/ 2 时, U (x0 , y0 ) 是近似空间调相的。 λf 02



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