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理数小题综合训练(四)



名师导学· 高考二轮总复习· 理科数学小 题综合训练(四)

一、 选择题(本小题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知全集为 R ,集合 M ={x |log2x <1},N = {x |x -1≥0},则 M ∩(?R N )=( ) A.{x |0<x <1} B.{x |0

<x <2} C .{x |x <1} D.{x |1< x <2}
【解析】选 A.

2.等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和 为 Sn,当 a1,d 变化时,若 a2+a8+a11 是一个定值,那 么下列各数中也为定值的是( ) A.S13 B.S15 C.S7 D.S8
【解析】选 A.

3.在演讲比赛决赛中,七位评委给甲、乙两位选 手打分的茎叶图如图所示 ,但其中在Δ 数据丢失.按 照规则,甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分,用 x 和 y 分别表示甲、乙两位选手获得的平均分,则( )

A.x>y B.x<y C.x=y D.x 和 y 之间的大小关系无法确定

【解析】选 B. 设图中甲、乙丢失的数据分别为 a,b,则 x=80 a+16 a+16 26 + , y=80+ , ∵0≤a≤9, ∴x=80+ ≤80 5 5 5 25 + <y,选 B. 5

4.阅读如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值 为( )

1 A. 2

1 B. 8

3 C. 16

1 D. 16

【解析】选 D. 程序在执行过程中,S,n 的值依次为:S=1,n π π 2π =1;S=1×cos ,n=2;S=1×cos ×cos ,n= 9 9 9 π 2π 3π π 3;S=1×cos ×cos ×cos ,n=4;S=1×cos 9 9 9 9 2π 3π 4π π ×cos ×cos ×cos , n=5, 输出 S=1×cos × 9 9 9 9 2π 3π 4π cos × cos × cos = 9 9 9 π π 2π 3π 4π 2sin ×cos ×cos ×cos ×cos 9 9 9 9 9 1 = . 16 π 2sin 9

5.在空间中有一棱长为 a 的正四面体,其俯视图 的面积的最大值为( ) 2 2 2 a 3 a a A.a2 B. C. D. 2 4 4
【解析】选 B. 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCD - A 1B 1C1D1, 设其面对角线长为 a, 则 四面体 A 1- BC1D 为正四面体, 且其 棱长为 a. 当四面体 A 1-BC1D 的俯视 3 2 a ;当 4 四面体 A 1-BC1D 的俯视图为四边形时, 其面积小于等 a2 于 S A 1B 1C1D1= . 2 图为三角形时, 其面积小于等于 S △ BC1D=

6. 从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为( )

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6

【解析】选 B.

? ? ? ? ? ? ? 7. 对于非零向量 a, b “a⊥b” 是“? ?a+b?=?a-b?”

的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选 C.

8.在锐角△ABC 中,已知 BC=1,B=2A,则 AC 的取值范围( ) A.(0, 2) B.(0, 3) C.( 2, 3) D.( 3,2)
【解析】选 C.

9.如图所示 2×2 方格,在每一个方格中填入一 个数字,数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个,允许 重复 ,则填入 A 方格的数字大于 D 方格的数字的概率 .. 为( ) 1 A. 2 1 B. 4 A B C D 3 C. 4 3 D. 8

【解析】选 D. 依题意,本题不必考虑 B,C 区域,A,D 区域可 (16-4) 重复填数, 共有 16 种方法, 符合 A>D 的共有 2 6 3 =6 种,所以 P= = . 16 8

10.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足 不等式组 的最大值为( 1 4 A. B. 2 7 ) 3 9 C. D. 4 4 设 与 的夹角为 θ, 则 tan θ

【解析】选 C. 画出可行域, 如图所示, 当点 A, B 分别与点 C(1, → 与OB → 的夹角最大,且是 2),D(2,1)重合时,向量OA →· → OA OB 4 4 → → 锐角,cos〈OA,OB〉=? ? ? ?= ,则 ≤cosθ≤ ? → ?· ?→ ? 5 5 ?OA? ?OB? sin θ 1 4 1, 又 tan θ= = -1, 故当 cosθ= 时, 2 5 cos θ cos θ 3 tan θ取到最大值为 . 4

x2 y2 11.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦 a b b 点为 F1、F2,其中一条渐近线方程为 y= x(b∈N*),P 2 为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中 O 为坐标原点), 若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列,则双曲线 C 的方程 为( ) x2 2 A. -y =1 B.x2-y2=1 4 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 4 9 4 16

【解析】选 A. 由已知得, a=2, 在△POF1 中, PO2+F1O2-PF2 1 cos ∠ POF1 = ,在 2PO·F1O △POF2 中 , cos ∠ POF2 = PO2+F2O2-PF2 2 ,又 cos∠POF2= 2PO·F2O - cos ∠ POF1 , 故 2PO2 + 2F2O2 = 2 2 2 2 PF2 2+PF1,2PO +2c =(PF2-PF1) +2PF2·PF1,又 ? F F ?2=?PF ?·?PF ?=4c2,故 PO2=2a2+3c2=20+
?

1

2?

?

1?

?

2?

2 5 x 3b2<25,故 b2< ,又 b∈N*,故 b=1,双曲线方程为 3 4 -y2=1.

12.如果对定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x1≠ x2, 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), 则称函数 f(x) 为“H 函数”.给出下列函数: ①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x); ③y=ex+1;④f(x)= 其中函数是“H 函数”的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【解析】选 B. 由已知得 , x1[f(x1) - f(x2)]>x2[f(x1) - f(x2)] , 即 (x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 故 f(x)在定义域内单调递增. f′(x) =-3x2+1,其值不恒为正,故①不满足;f′(x)= ? π? ? 3-2(cos x+sin x)=3-2 2sin?x+ ? >0,故②满足; 4? ? ? f′(x)=ex>0,③满足;由分段函数的图象,④不满足.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分,把答案填 在答卷中相应的横线上.) a+i 13. 若复数 z= (其中 i 为虚数单位)的实部与虚 i 部相等,则实数 a=________.
【解析】-1 a+i z= =(a+i)(-i)=1-ai, 由实部与虚部相等得 i 1=-a,则 a=-1.

14 . 设 (2x - 3)6 = a0 + a1(x - 1) + a2(x - 1)2 +?+ a6(x-1)6,则 a4=________.
【解析】240 由已知得,(2x-3)6=[2(x-1)-1]6,展开式的通项公 6-k k k k 6-k 6-k 式为 Tk+1=Ck [2( x - 1)] ( - 1) = ( - 1) C 2 ( x - 1) , 6 6 令 k=2,故 a4=15×16=240.

15.已知函数

? π ? f(x)=sin?ωx+ 4 ?

? ? ?,其中 ?

ω>0,若函

π 数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 , 当 3 函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后所对应的函 数是偶函数,则 m 的最小值为___________. π 【解析】 12 ? π? ? ω =3, f(x) =sin?3x+ ? ,f(x) 的图象向左平移 m ? 4? ? ? π? ? ? 个单位后对应的函数解析式为 g(x)=sin?3x+3m+ ?, 4? ? π π kπ π g(x)为偶函数,故 3m+ =kπ+ ,得 m= + , 4 2 3 12 π 当 k=0 时,m 取得最小正值 . 12

?1 1 ? 16. 设 n 是给定的正整数, 集合 M= 2n,n+1, ?, ? 2

1? 2n?,记 M 的所有子集分别为 M1,M2,?,Mt, 2 ? 对 1≤i≤t,用 S(Mi)表示 Mi 中所有元素的和,规定 S( )=0,则 n∈N*时,S(M1)+S(M2)+?+S(Mt) =______. 1 【解析】2- n 2 n∈N*时,对 M 的任一元素 a,因为 M 共有 2n- n+1=n+1 个元素,故含有元素 a 的子集为 2n 个,故 M 的每一个元素 a 在“总和”中均出现 2n 次, 故 S(M1) ? 1 1? ? n+1 n? 1 + S(M2) + ? + S(M2 ) = 2 ?2n+2n+1+?+22n? = 2 - ? ? 1 . 2n



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