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1.4.1.2全称量词与存在量词



1.4.1-2全称量词与存在量词

思考1:
(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 常见的全称量词 还有“一切” “每 语句(3)(4)是可以判断真假的陈述句,是命题。

下列语句是命题吗?(1)与(

3),(2)与(4)之间有什么关系?

全称量词、全称命题定义:

一个” “任给” 等 。

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词,并用符号“ ? ”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

全称命题举例:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。

全称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示, 变量x的取值范围用M表示,那么, 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可 用符号简记为:

?x ? M,p( x),

读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。
(1)假命题 ; (2) 真命题 ; (3) 假命题 。

小 结: 判断全称命题"?x ? M,p(x)"是真命题的方法:
——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立

判断全称命题"?x ? M,p(x)"是假命题的方法:
——只需在集合M中找到一个元素x0, 使得p(x0)不成立即可(举反例)

练习:
1 判断下列全称命题的真假:

(1)每个指数函数都是单调函数;
(2)任何实数都有算术平方根;

( 3)

解: (1)真命题; (2)假命题; (3)假命题。

思考2:
(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2 x0 +1=3; (4)至少有一个x0∈Z, x0能被2和3整除。
常见的存在量词有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “有些”“有一 语句(3)(4)是可以判断真假的陈述句,是命题。
个”“某个”“有的” 等。 存在量词、特称命题定义: 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词,并用符号“ ? ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

特称命题举例:
命题:有的平行四边形是菱形;
有一个素数不是奇数。 有的向量方向不定; 存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; 有一些实数不能取对数.

特称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示, 变量x的取值范围用M表示,那么, 特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ” 可用符号简记为 : ?x ? M,p( x ),
0 0

读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

例2 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。
(1)假命题 ; (2) 假命题 ; (3) 真命题 。

小 结:
——只需在集合M中找到一个元素x0, 使得p(x0) 成立即可(举例证明)

判断特称命题"?x0 ? M,p(x0 )"是假命题的方法:
——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。

练 习:
2 判断下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R, x0 ? 0;

(2)至少有一个整数,它既不是合数,
也不是素数;

( 3)

解: (1)真命题; (2)真命题; (3)真命题。

同一个全称命题或特称命题,由于自然语 言的不同,可能有不同的表述方法:
命 题 全称命题 ?x ? M , p( x) ①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 特称命题 ?x ? M , p( x) 0 ①存在x0∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使p(x)成 立 ④对某个x0∈M,使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M,使p(x)成 立

表 述 方 法

小结:
1、全称量词、全称命题的定义; 2、全称命题的符号记法; 3、判断全称命题真假性的方法; 4、存在量词、特称命题的定义; 5、特称命题的符号记法; 6、判断特称命题真假性的方法。



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