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对课本上一道习题的思考与拓展


对课本上一道习题的思考与拓展
谭彦知 (四川省射洪中学 629200) 摘 要: 不等式的证明往往是学生很头痛的事情, 本文通过对教材一道习题解法的探 讨展示了不等式的一些基本证明方法。另外,通过进一步对本题多维推广,重点介绍了逐步 调整法在证明不等式中的应用。 关 键 词:不等式证明 拓展 逐步调整法

高中数学新课标实验教材 A 版选修 4—5 习题 2.3 第 4 题: 设 x, y 为正实数,且 x ? y ? 1 ,用反证法证明: (

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 。 2 x y

一、对原题目的求解 对此题作如下研究,出于对题目解法的探讨,本文忽略原题目对解法的限制,借希望达 到对知识的融会贯通、灵活运用的目的。 证法 1:反证法 假设 (

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 ,由于 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 , 2 x y

1 1 1 1 1 1? x2 ? y2 2 xy 2 则 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 2 2 ? ( 2 ? 2 ) ? 1 ? ?1 ? 2 2 ?1 ? ?1 2 2 xy x y x y x y x y x y
? 2 1 1 2 ? 1 ? 9 ,得 ?2 x ? 1? ? 0 ,显然矛盾。所以 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 。 x?1 ? x ? x y
证法 2:分析法 由于 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 , 则(

?

?

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 ? (1 ? x 2 )(1 ? y 2 ) ? 9x 2 y 2 ? 1 ? ( x 2 ? y 2 ) ? 8x 2 y 2 2 x y
1 1 。而 1 ? x ? y ? 2 xy ,即 xy ? 成立。 4 4

? 2 xy ? 8 x 2 y 2 ? xy ?
所以 (

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 得证。 2 x y

证法 3:综合法 由于 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,所以

(

1 1 ( x ? y) 2 ( x ? y) 2 y 2 ? 2 xy x 2 ? 2 xy (1 ? x)(1 ? y) ? 1 )( ? 1 ) ? ( ? 1 )( ? 1 ) ? ? ? xy x2 y2 x2 y2 x2 y2
1 1 ? x ? y ? xy 2 1 1 ? ? 1 ,而 1 ? x ? y ? 2 xy ,即 xy ? 。所以 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 。 4 xy xy x y
证法 4:三角换元法 令 x ? cos2 ? , y ? sin 2 ? 。则

?

(

(1 ? cos4 ? )(1 ? sin 4 ? ) (1 ? cos2 ? )(1 ? sin 2 ? ) 2 1 1 ? ? ?1 ? 1 )( ? 1 ) ? 4 4 2 2 2 2 2 cos ? sin ? cos ? sin ? cos ? sin 2 ? x y
8 sin 2 2? ?1 ? 9 。 1 1 1 1 ? t , y ? ? t , t ? (? , ) ,则 2 2 2 2

?

证法 5:均值换元法 令x ?

1 1 (1 ? ( ? t ) 2 )(1 ? ( ? t ) 2 ) 1 1 1 1 2 2 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? ( ? 1)( ? 1) ? 1 1 1 x y ( ? t)2 ( ? t)2 ( ? t 2 )2 2 2 4 3 1 1 ( ? t 2 ) 2 ? t 2 ( ? ?)2 ? ( ? ?) 1 2 1 2? ? ?2 2 4 (设 ? ? ? t , 则? ? ) 。 ? 4 ? 2 ? ? 1? ? 9 2 2 1 2 2 4 4 ? ? ? ( ?t ) 4
证法 6:综合法(调和平均数与几何平均数不等式) 由 x, y ? 0 且 x ? y ? 1 即 xy ?

2 1 ,又当 a, b ? 0 时, ab ? 。所以 1 1 4 ? a b

(

1 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 2 x y

2 x2 y2 ? 1? x2 1? y2

? 2?

1 ? (x 2 ? y 2 ) ? x2 y 2 2 xy ? x 2 y 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 2x 2 y2 1 ? 2 xy ? 2 x 2 y 2

2t ? t 2 1 ? 2(t 2 ? t ? 1) ? 1? (0 ? t ? ) 。 令 t ? xy ,f (t ) ? 由 f ?(t ) ? ? 0 即 f (t ) 在 ? 0, ? 2 2 2 4 1 ? 2t ? 2t (1 ? 2t ? 2t ) ? 4?
单减。故 f (t ) ? f ( ) ?

1 4

3 1 1 1 1 ,即 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 3 ,所以 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 9 得证。 2 x y x y

二、对原题目的拓展 1.横向推广(对变元个数的拓展) ①若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且

?a
i ?1

n

i

? 1 ,则 ? (
i ?1

n

1 ai
2

? 1) ? (n 2 ? 1) n 。

把①分解,于是得到②和③: ②若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且

? ai ? 1 ,则 ? (
i ?1 n

n

n

i ?1 n

1 ? 1) ? (n ? 1) n 。 ai 1 ? 1) ? (n ? 1) n 。 ai

③若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且

?a
i ?1

i

? 1 ,则 ? (
i ?1

证明:我们先来证明②:因为 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且
n

?a
i ?1

n

i

? 1,

所以

?( a
i ?1

1
i

? 1) ? (

a a a a a a 2 a3 a a ? ? ? ? ? ? n )( 1 ? 3 ? ? ? ? ? n ) ? ? ? ( 1 ? 2 ? n?1 ) a1 a1 a1 a2 a2 a2 an an an
? (n ? 1) n ?1 a1 a3 ? ? ? a n a2
n ?1

? (n ? 1) n ?1

a 2 a3 ? ? ? a n a1
n ?1

? ? ? (n ? 1) n ?1

a1 a 2 ? ? ? a n ?1 an
n ?1

? (n ? 1) n

当且仅当 ai ?

1 (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时取得等号。所以命题②得证。 n

再来证明③:

?( a
i ?1

n

1
i

? 1) ? (1 ?

a a a a 2 a3 a a ? ? ? ? ? ? n ? 1)( 1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 1) ? ? ? ( 1 ? a1 a1 a1 a2 a2 a2 an

a 2 a3 ? ? ? a n a a ??? a a a ??? a a a2 ? (n ? 1) n ?1 1 3 n ?1 n ? (n ? 1) n ?1 1 2 n ?1 n ?1 ? ? ? ? ? n ?1 ? 1 ? 1) ? (n ? 1) n ?1 n ?1 an an a1 a2 an

? (n ? 1) n ,当且仅当 ai ?

1 (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时取得等号。所以命题③得证。 n 1 由②和③等号成立的条件都是 ai ? (i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,所以自然得到①成立。 n

2.纵向拓展(对变元指数的拓展) ④若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且 把④分解,从而得到⑤和⑥: ⑤若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且

? ai ? 1 ,则 ? (1 ? ai ) ? (1 ?
2 i ?1 i ?1

n

n

1 n ) n2

?a
i ?1 n

n

i

n 1 ? 1 ,则 ? (1 ? ai ) ? (1 ? ) n n i ?1

⑥若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且 证明:先来证明⑤: 很显然当 ai ?

n 1 ,则 a ? 1 (1 ? ai ) ? (1 ? ) n ? ? i n i ?1 i ?1

1 (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时取得等号。不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an , n

则 a1 ?

1 ? a n 。现在对 ai (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 的大小作如下调整: n ?
n 1 ? 1 ? ? , ai ? ai (i ? 2,3,? ? ?, n ? 1), a n ? a1 ? a n ? ,显然有 ? ai ? 1, n n i ?1

令 a1 ?

? ? ? ? a1 ? a n ? a1 ? a n , a1 a n ? a1 a n 。

? (1 ? a

i ?1 n i ?1

n

?
i

) ?

? (1 ? a )
i

? ? ? ? ? ? (1 ? a1 )(1 ? a n ) 1 ? (a1 ? a n ) ? a1 a n ? ? 1 ,即每对 ai (i ? 1,2,3,? ? ?, n) (1 ? a1 )(1 ? a n ) 1 ? (a1 ? a n ) ? a1 a n

调整一次

? (1 ? ai ) 就会增大一次,当调整到 ai ?
i ?1 n

n

n 1 (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时 ? (1 ? ai ) 达到最 n i ?1

大,所以

? (1 ? a ) ? (1 ? n )
i i ?1

1

n



同理可证得⑥也成立。由于⑤和⑥取等号的条件都是 ai ? 就得到了证明。 3.综合拓展(对条件和结论都拓展) ⑦若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且 与①的证明方法方法类似。 ⑧若 ai ? 0(i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,且 证明:易知当 ai ? 则 a1 ?

1 (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 从而④也 n

?a
i ?1
n

n

i

? k , k ? ?0,1? ,则 ? (
i ?1

n

n ? 1) ? ( ) n (1 ? k ) 。 k ai
2

1

? ai ? k , k ? ?0,1? ,则 ? (
i ?1

n

i ?1

1 n k ? ai ) ? ( ? ) n 。 ai k n

k (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时取得等号。不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an , n

k ? a n 。现在对 ai (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 的大小作如下调整: n ?
n k ? k ? ? , ai ? ai (i ? 2,3,? ? ?, n ? 1), a n ? a1 ? a n ? ,显然有 ? ai ? k , n n i ?1

令 a1 ?

且 a1 ? a n ? a1 ? a n ,
n

?

?


? ? a1 an ? a1 a n

?2 ?2 ?2 ?2 1 ? a1 ? a n ? a1 a n 1 1 ? ? 1 ? ( ? ai ) ( ? a1 )( ? an ) ? ? ? ? ? ? i ?1 a a a a1 a n n ? 1 ? 则 n i 2 2 2 2 1 1 1 1 ? a1 ? a n ? a1 a n ( ? a )( ? a ) ( ? a ) 1 n ? i a1 an a1 a n i ?1 a i

?

? ? ? ? ?2 ?2 1 ? (a1 ? a n ) 2 ? 2a1 a n ? a1 a n ? ? a1 a n 1 ? (a1 ? a n ) 2 ? 2a1 a n ? a1 a n a1 a n
? ?
2 2

? ? 1 ? (a1 ? a n ) 2 ? ? ? a1 a n ? 2 ? ? a1 a n ? ?1 1 ? (a1 ? a n ) 2 ? a1 a n ? 2 a1 a n
? ?

(因为 a1 ? a n ? a1 ? a n ? t ? ?0, k ? ? (0,1) , 1 ? a1 a n ? a1 a n ? 0 , 且 f ( x) ?
n 1? t2 1 ? x 在 ?0,1? 上单减。 ) 。即每对 ai (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 调整一次 ? ( ? ai ) x i ?1 a i

就 会 减 小 一 次 , 当 调 整 到 ai ?
n

k (i ? 1,2,3,? ? ?, n) 时 n

?(a
i ?1

n

1
i

? ai ) 达 到 最 小 , 所 以

?( a
i ?1

1
i

n k ? ai ) ? ( ? ) n 。 k n

不等式的证明往往是很多同学感觉到头痛的问题, 要很好的掌握其证明方法与技巧确实 不容易。 所以, 在平时的学习过程中要抓住手中现有的题目——特别是教材上的题目多反思、 归纳、总结、延伸,以旧题创新题,以旧解拓新解。本文拓展⑤和⑧都用的是逐步调整法, 教材在排序不等式的证明过程中用的就是这种方法。 解决具有对称性的多变元的不等式的证 明和具有对称性的多变元的函数的最值问题时,用这种方法有时可能得到意想不到的效果。

参考文献: 1. 高中数学新课标实验教材 A 版选修 4—5


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