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2016年中考数学必做36道压轴题合订本(含变式训练)


2016 中考必做的 36 道压轴题及变式训练 第 1 题 夯实双基“步步高” ,强化条件是“路标”
【例 1】 (2013 北京,23,7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? mx2 ? 2mx ? 2 ? m ? 0? 与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A,B 的坐标; (2)设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l 的解析式; (3)若该抛物线在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于直线 l 的上方,并且在 2 ? x ? 3 这一段位于直线 AB 的下方, 求该抛物线的解析式.

链接: (2013 南京,26,9 分)已知二次函数 y=a(x?m) ?a(x?m) (a、m 为常数,且 a?0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图象的顶点为 C,与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值; ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值.

2

变式: (2012 北京,23,7 分)已知二次函数 y ? ? t ? 1? x ? 2 ? t ? 2 ? x ?
2

3 在 x ? 0 和 x ? 2 时的函数值相等. 2

(1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数 y ? kx ? 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(-3,m) ,求 m 和 k 的值; (3)设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点 B,C 间的部分 (含点 B 和点 C)向左平移 n ? n ? 0? 个单位后得到的图象记为 G,同时将(2)中得到的直线 y ? kx ? 6 向 上平移 n 个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时,n 的取值范围.

第 2 题 “弓形问题”再相逢, “殊途同归”快突破
【例题】 (2012 湖南湘潭,26,10 分)如图,抛物线 y ? ax ?
2

3 x ? 2 ? a ? 0 ? 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, 2

与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为(4,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
]

(3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标.

【变式】 (2011 安徽芜湖,24,14 分)平面直角坐标系中, ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别为(0, 3) 、 (﹣1,0) ,将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°,得到 A ' B ' OC ' . (1)若抛物线过点 C,A,A',求此抛物线的解析式; (2) ABOC 和 A ' B ' OC ' 重叠部分△ OC'D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,问:点 M 在何处时△ AMA'的面积最大?最大面积是多少?并 求出此时 M 的坐标.

?

?

?

?

第 3 题 “模式识别”记心头,看似“并列”实“递进”
【例题】 (2012 河南,23,11 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y ?

1 x ? 1 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 2

交于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与 A,B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C,作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a,b 及 sin ?ACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m . ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值; ②连接 PB, 线段 PC 把 △PDB 分成两个三角形, 是否存在适合的 m 值, 使这两个三角形的面积之比为 9:10? 若存在,直接写出 m 值;若不存在,说明理由.

【变式一】 (2011 江苏泰州,27,12 分)已知:二次函数 y ? x 2 ? bx ? 3 的图象经过点 P(﹣2,5) . (1)求 b 的值并写出当 1 ? x ? 3 时 y 的取值范围; (2)设 P1 (m, y1 ) 、 P2 (m+1, y2 ) 、 P3 (m+2, y3 )在这个二次函数的图象上. ①当 m=4 时, y1 、 y2 、 y3 能否作为同一个三角形三边的长?请说明理由; ②当 m 取不小于 5 的任意实数时, y1 、 y2 、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.

【变式二】 (2013 重庆,25 题,12 分)如图,已知抛物线 y ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴的一个交点为 B(5,
2

0) ,另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0,5) . (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大 值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平 行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1 ,△ ABN 的面积为 S2 ,且 S1 ? 6S2 ,求点 P 的坐标.

第4题

“准线” “焦点”频现身, “居高临下”明“结构”
1 2 x ? x ? m 的顶点在直线 y ? x ? 3 上,过点 F(-2,2) 4

【例题】 (2012 四川资阳,25,9 分)抛物线 y ?

的直线交该抛物线于点 M、N 两点(点 M 在点 N 的左边) ,MA⊥x 轴于点 A,NB⊥x 轴于点 B. (1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m 的代数式表示) ,再求 m 的值; (2)设点 N 的横坐标为 a,试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标,并说明 NF=NB; (3)若射线 NM 交 x 轴于点 P,且 PA× PB=

100 ,求点 M 的坐标. 9

【变式一】 (2010 湖北黄冈, 25, 15 分) 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 顶点为 C (1, 1) 且过原点 O. 过
2

抛物线上一点 P(x,y)向直线 y ? (1)求字母 a,b,c 的值;

5 作垂线,垂足为 M,连 FM(如图) . 4

(2) 在直线 x=1 上有一点 F (1, ) , 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标, 并证明此时△ PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N(1,t) ,使 PM=PN 恒成立?若存在请求出 t 值,若不存 在请说明理由.

3 4

【变式二】 (2012 山东潍坊,24,11 分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2,0)、B(2,0)、C(0,- 1)三点,过坐标原点 O 的直线 y ? kx 与抛物线交于 M、N 两点.分别过点 C、D(0,-2)作平行于 x 轴的直 线 l1 、 l2 . (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示),并证明 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长.

第 5 题 莫为“浮云”遮望眼, “洞幽察微”探指向
【例题】 (2012 浙江宁波,26,12 分)如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象交 x 轴于 A(﹣1,0) ,B(2, 0) ,交 y 轴于 C(0,﹣2) ,过 A,C 画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 在 x 轴正半轴上,且 PA=PC,求 OP 的长; (3)点 M 在二次函数图象上,以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切,切点为 H. ①若 M 在 y 轴右侧,且△CHM∽△AOC(点 C 与点 A 对应) ,求点 M 的坐标; ②若⊙M 的半径为
2

4 5 ,求点 M 的坐标. 5

【变式一】 (2010 湖南邵阳,25,12 分)如图,抛物线 y ? ?

1 2 x ? x ? 3 与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相 4

交于点 C,顶点为点 D,对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E,与 x 轴相交于点 F. (1)求直线 BC 的解析式; (2)设点 P 为该抛物线上的一个动点,以点 P 为圆心,r 为半径作⊙P. ①当点 P 运动到点 D 时,若⊙P 与直线 BC 相交,求 r 的取值范围; ②若 r ? 由.

4 5 ,是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理 5

【变式二】 (2012 广东省,22,9 分)如图,抛物线 y ? 点 C,连接 BC、AC. (1)求 AB 和 OC 的长;

1 2 3 x ? x ? 9 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 2 2

(2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合) ,过点 E 作直线 l 平行 BC,交 AC 于 点 D.设 AE 的长为 m,△ADE 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心,与 BC 相切的圆的 面积(结果保留 π) .

第 6 题 分类讨论“程序化” , “分离抗扰”探本质
【例题】 (2011 贵州遵义,27,14 分)已知抛物线 y=ax +bx+3(a≠0)经过 A(3,0) ,B(4,1)两点, 且与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线 y=ax +bx+3(a≠0)的函数关系式及点 C 的坐标; (2)如图(1) ,连接 AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点 P,使△ PAB 是以 AB 为直角边的直角三角 形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(2) ,连接 AC,E 为线段 AC 上任意一点(不与 A、C 重合)经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F,当△ OEF 的面积取得最小值时,求点 E 的坐标.
2 2

【变式一】 (2012 山东枣庄,25,10 分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 斜靠在两坐 标轴上放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点 C 为(﹣1,0) .B 点在抛物线 y ?

1 2 1 x ? x ? 2 图象上,过 2 2

点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为 D,且 B 点横坐标为﹣3. (1)求证:△ BDC≌△COA; (2)求 BC 所在直线的函数关系式; (3)抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式二】 (2011 四川南充,21,8 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M 是 BC 的中点. (1)求证:△ MDC 是等边三角形; (2)将△ MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC(即 MC′)同时与 AD 交于一点 F 时,点 E,F 和点 A 构成△ AEF.试探究△ AEF 的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由;如果存 在,请计算出△ AEF 周长的最小值.

第 7 题 “两种对称”正方形, “以美启真”助破题
【例题】 (2013 浙江杭州,23,12 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,对称中心为点 P,点 F 为 BC 边上一个动点,点 E 在 AB 边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称, 设它们的面积和为 S1. (1)求证:∠APE=∠CFP; (2)设四边形 CMPF 的面积为 S2,CF=x, y ?

S1 . S2

①求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围,并求出 y 的最大值; ②当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时,求 y 的值.

【变式一】 (2013 湖南娄底,23,9 分)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含 60° 角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图(1)所示位置放置放置,现将 Rt△ AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α (0°<α<90°) ,如图(2) ,AE 与 BC 交于点 M,AC 与 EF 交于点 N,BC 与 EF 交于点 P. (1)求证:AM=AN; (2)当旋转角 α=30°时,四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形?并说明理由.

【变式二】 (2013 北京海淀区九上期末卷)如图 1,两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直 线 l 上,DE=2,AB=1.将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45°,交直线 AD 于点 M.将图 1 中的三角板 ABC 沿 直线 l 向右平移,设 C、E 两点间的距离为 k. 解答问题:

(1)①当点 C 与点 F 重合时,如图 2 所示,可得

AM 的值为 DM

;②在平移过程中,

AM 的值为 DM

(用含 k 的代数式表示) ; (2)将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点 A 落在线段 DF 上时, 如图 3 所示,请补全图形,计算

AM 的值; DM

(3)将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 α 度,0<α≤90,原题中的其他条件保持不变.计算 值(用含 k 的代数式表示) .

AM 的 DM

第 8 题 对称图形为载体,特殊位置要留意
【例题】 ( 2013 四川资阳, 24 , 12 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,过点 A、C、D 作抛物线 、 (3, 0) 、 (0, 4) . y ? ax 2 ?bx ?c ( a ? 0) ,与 x 轴的另一交点为 E,连结 CE,点 A、B、D 的坐标分别为(-2,0) (1)求抛物线的解析式; (2)已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F,交线段 CD 于点 K,点 M、N 分别是直线 l 和 x 轴上的动点, 连结 MN,当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时,求点 N 的坐标; (3)在满足(2)的条件下,过点 M 作一条直线,使之将四边形 AECD 的面积分为 3∶4 的两部分,求 出该直线的解析式.

【变式一】 (2011 江苏无锡,27,10 分)如图,已知 O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点 P 从 O 点出发,以 每秒 3 个单位的速度,沿△OAB 的边 OA、AB、BO 作匀速运动;动直线 l 从 AB 位置出发,以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动.若它们同时出发,运动的时间为 t 秒,当点 P 运动到 O 时,它们都停止运动. (1)当 P 在线段 OA 上运动时,求直线 l 与以点 P 为圆心、1 为半径的圆相交时 t 的取值范围; (2)当 P 在线段 AB 上运动时,设直线 l 分别与 OA、OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD 是否可能为 菱形?若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线 l 的出发时间,使得四边 形 CPBD 会是菱形.

第 9 题 平行线内“正方形” ,构造全等“弦方图”
【例题】 (2012 山东滨州,25,12 分)如图 1, l1 , l2 , l3 , l4 是一组平行线,相邻 2 条平行线间的距离都 是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A,B,C,D 都在这些平行线上.过点 A 作 AF⊥ l3 于点 F,交

l2 于点 H,过点 C 作 CE⊥ l2 于点 E,交 l3 于点 G.
(1)求证:△ADF ≌△CBE; (2)求正方形 ABCD 的面积; (3)如图 2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为 h1 , h2 , h3 ,试用 h1 , h2 , h3 表 示正方形 ABCD 的面积 S.

【变式一】 (2013 山东淄博,24,9 分)矩形纸片 ABCD 中,AB=5,AD=4. (1)如图 1,四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面 积最大的正方形,最大面积是多少?说明理由; (2)请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形.要求:在图 2 的矩形 ABCD 中画出裁剪线,并在 网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上) .

【变式二】 (2011 安徽,23,14 分)如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l 2、l 3、l 4 上. 这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1、h2、h3 ( h1 ? 0 , h2 ? 0 , h3 ? 0 ). (1)求证: h1 ? h3 ; (2)设正方形 ABCD 的面积为 S ,求证: S ? (h1 ? h2 )2 ? h12 ; (3)若

3 h1 ? h2 ? 1 ,当 h1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随 h1 变化的情况. 2

第 10 题 “并列”问题“递进”解,经典问题再追问
【例题】 (2012 山东德州,23,12 分)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若存在, 求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

【变式】 (2013 辽宁锦州,25,12 分)如图 1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD 的顶点 A 重合,将此三角板绕点 A 旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形 的两边 BC、DC 于点 E、F,连结 EF. (1)猜想 BE、EF、DF 三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)在图 1 中,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M,请直接写出 AM 和 AB 的数量关系; (3)如图 2,将 Rt△ ABC 沿斜边 AC 翻折得到 Rt△ ADC,E、F 分别是 BC、CD 边上的点,∠EAF= BAD,连结 EF,过点 A 作 AM⊥EF 于点 M.试猜想 AM 与 AB 之间的数量关系,并证明你的猜想.

1 ∠ 2

第 11 题 “伴随图形”来研究, “分类讨论”显功底
【例题】 (2011 辽宁本溪,26,14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线过原点 O,点 A(10,0)和 点B (2, 2) , 在线段 OA 上, 点 P 从点 O 向点 A 运动, 同时点 Q 从点 A 向点 O 运动, 运动过程中保持 AQ=2OP, 当 P、Q 重合时同时停止运动,过点 Q 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于点 M,延长 QM 到点 D,使 MD=MQ, 以 QD 为对角线作正方形 QCDE(正方形 QCDE 岁点 Q 运动) . (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)设正方形 QCDE 的面积为 S,P 点坐标(m,0)求 S 与 m 之间的函数关系式; (3) 过点 P 作 x 轴的垂线, 交抛物线于点 N, 延长 PN 到点 G, 使 NG=PN, 以 PG 为对角线作正方形 PFGH (正方形 PFGH 随点 P 运动) ,当点 P 运动到点 ( 2, 0)时, 如图 2,正方形 PFGH 的边 GP 和正方形 QCDE 的边 EQ 落在同一条直线上. ①则此时两个正方形中在直线 AB 下方的阴影部分面积的和是多少? ②若点 P 继续向点 A 运动,还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况,请直接写出每种情况下 点 P 的坐标,不必说明理由.

【变式】 (2013 湖南郴州,25,10 分)如图,△ ABC 中,AB=BC,AC=8,tan A=k,P 为 AC 边上一动点, 设 PC=x,作 PE∥AB 交 BC 于 E,PF∥BC 交 AB 于 F. (1)证明:△ PCE 是等腰三角形; (2)EM、FN、BH 分别是△ PEC、△ AFP、△ ABC 的高,用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN,并探究 EM、 FN、BH 之间的数量关系; (3) 当 k=4 时, 求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式. x 为何值时, S 有最大值?并求出 S 的最大值.

第 12 题 中心对称“带上路” ,以美启真构菱形
【例题】 (2013 陕西,25,12 分)

问题探究
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M 是正方形 ABCD 内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点 M), 使它们将正方形 ABCD 的面积四等分,并说明理由.

问题解决
(3) 如图③, 在四边形 ABCD 中, AB∥CD, AB+CD=BC, 点 P 是 AD 的中点, 如果 AB= a , CD= b , 且b ? a , 那么在边 BC 上是否存在一点 Q,使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在,求出 BQ 的长;若不存在,说明理由.

【变式一】 (2012 陕西,25,12 分)如图,正三角形 ABC 的边长为 3+ 3 . (1)如图①,正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上,顶点 N 在边 AC 上.在正三角形 ABC 及其内部,以 A 为位似中心,作正方形 EFPN 的位似正方形 E'F'P'N' ,且使正方形 E'F'P'N' 的面积最大(不要求写作法) ; (2)求(1)中作出的正方形 E'F'P'N' 的边长; (3)如图②,在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH,使得 D、EF 在边 AB 上,点 P、N 分别在边 CB、CA 上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.

【变式二】 (2011 湖北武汉,24,10 分) (1)如图,在△ABC 中,点 D、E、Q 分别在 AB、AC、BC 上,且 DE∥BC 边长,AQ 交 DE 于点 P.求证:

DP PE = ; BQ QC

(2)如图 2,△ABC 中,∠BAC=90°,正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接 AG,AF 分别交 DE 于 M,N 两点. ①如图 2,若 AB=AC=1,直接写出 MN 的长; ②如图 3,求证: MN 2 ? DM ? EN .

第 13 题 “定义”悟出基本图,解后反思“圆外圆”
【例题】 (2013 北京,25,8 分)对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C,给出如下定义: 若⊙C 上存在两个点 A,B,使得∠APB=60°,则称 P 为⊙C 的关联点. 已知点 D ? , ? ,E(0,-2) ,F( 2 3 ,0) . (1)当⊙O 的半径为 1 时, ①在点 D,E,F 中,⊙O 的关联点是__________; ②过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G,使∠GFO=30°,若直线 l 上的点 P ( m , n )是⊙O 的关联点, 求 m 的取值范围; (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径 r 的取值范.

?1 1? ?2 2?

【变式一】 (2013 福建泉州,25,12 分)如图,直线 y ? ? 3x ? 2 3 分别与 x、y 轴交于点 B、C,点 A(-2, 0),P 是直线 BC 上的动点. (1)求∠ABC 的大小; (2)求点 P 的坐标,使∠APO=30°; (3)在坐标平面内,平移直线 BC,试探索:当 BC 在不同位置时,使∠APO = 30°的点 P 的个数是否保 持不变?若不变,指出点 P 的个数有几个?若改变,指出点 P 的个数情况 ,并简要说明理由. ....

【变式二】 (2012 江苏南京,27,10 分)如图,A、B 为⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不与 A、 B 重合) ,我们称∠APB 为⊙O 上关于 A、B 的滑动角. (1)已知∠APB 是 ? O 上关于点 A、B 的滑动角. ① 若 AB 为⊙O 的直径,则∠APB= ;

② 若⊙O 半径为 1,AB= 2 ,求∠APB 的度数.

(2)已知 O2 为 ? O1 外一点,以 O2 为圆心作一个圆与 ? O1 相交于 A、B 两点,∠APB 为 ? O1 上关于点 A、 B 的滑动角,直线 PA、PB 分别交 ? O2 于点 M、N(点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合) ,连接 AN,试探 索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系.

第 14 题 “旋转变换”迷人眼, “见微知著”深追问
【例题】 (2012 浙江义乌,23,10 分)在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45° ,将△ABC 绕点 B 按逆 时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图,当点 C1 在线段 CA 的延长线上时,求∠CC1A1 的度数;

(2)如图 2,连接 AA1,CC1.若△ABA1 的面积为 4,求△CBC1 的面积;

(3)如图 3,点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中, 点 P 的对应点是点 P1,求线段 EP1 长度的最大值与最小值.

【变式一】 (2011 安徽,22,12 分)在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠ABC=30° ,将△ABC 绕顶点 C 顺时针 旋转,旋转角为 ? (0° < ? <180° ),得到△A1B1C. A A1 A A1 A E B C A1

?
C D B C

?

?

P

B

B1 图1 图2

B1 B1 图3

(1)如图 1,当 AB∥CB1 时,设 A1B1 与 BC 相交于点 D.证明:△A1CD 是等边三角形; 【证】

(2)如图 2,连接 AA1、BB1,设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3; 【证】

(3)如图 3,设 AC 的中点为 E,A1B1 的中点为 P,AC=a,连接 EP.当 ? = 最大值为 .

° 时,EP 的长度最大,

【变式二】 (原创题)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,以 D 为圆心,DB 的长为半径作弧交 CA 延长线于 E,连接 DE、BE. (1)求证:△BDE 是等边三角形; (2)以点 D 为中心,把△CDE 顺时针旋转 ? 角( 0? ? ? ? 360? )得到△ C ' DE ' . ①当 ? ? 30? 时,连接 AC ' ,求 tan ?BAC ' 的值; ②当 DE ' 、AB 所在直线夹角为 15°时,求 ? 所有可能的度数; ③若点 P 是边 C ' D 上任意一点,在旋转过程中,试探究 BP 有没有最大(小)值?如果有,直接写出最大 (小)值;如果没有,说明理由.

第 15 题 构造全等获突破,道是“无圆”却“有圆”
【例题】 (2012 青海,27 题,10 分)如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点, ∠AEF=90° ,且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F. 请你认真阅读下面关于这个图的探究 片段,完成所提出的问题.

探究 1:小强看到图 1 后,很快发现 AE=EF.这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形 全等,但△ ABE 和△ ECF 显然不全等(一个直角三角形,一个钝角三角形) .考虑到点 E 是边 BC 的中点,因此可以选取 AB 的中点 M,连接 EM 后尝试着去证明△ AEM≌△EFC 就行了.随即小强写出了如下的证明过程: 证明:如图 2,取 AB 的中点 M,连接 EM. ∵∠AEF=90° , ∴∠FEC+∠AEB=90° , 又∵∠EAM+∠AEB=90° , ∴∠EAM=∠FEC. ∵点 E、M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点, ∴AM=EC. ∵△BME 是等腰直角三角形, ∴∠AME=135° ,

又∵CF 是正方形外角的平分线, ∴∠ECF=135° , ∴△AEM≌△EFC(ASA), ∴AE=EF. (2) 探究 2: 小强继续探索, 如图 3, 若把条件 “点 E 是边 BC 的中点” 改为 “点 E 是边 BC 上的任意一点” , 其余条件不变,发现 AE=EF 仍然成立.请你证明这一结论.

(3)探究 3:小强进一步还想试试,如图 4,若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线 上的一点” ,其余条件不变,那么结论 AE=EF 是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看.若不成立 请你说明理由.

【变式一】 (2013 浙江湖州,24 题,14 分)如图 1,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点.P(0,m)是线段 OC 上一动点(C 点除外) ,直线 PM 交 AB 的延长线于 点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2)当△ APD 是等腰三角形时,求 m 的值; (3)设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E,过点 O 作直线 ME 的垂线,垂足为 H(如图 2) , 当点 P 从点 O 向点 C 运动时,点 H 也随之运动.请直接写出点 H 所经过的路径长. (不必写解答过程)

【变式二】 (2013 内蒙古呼和浩特,23 题,9 分)如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的 点,BE=1,∠AEP=90°,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于点 F, (1) FC 的值为 EF ;

(2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说 明理由.

第 16 题 精确草图获思路,勾股相似构方程
【例题】 (2013 上海,25 题,10 分)在矩形 ABCD 中,点 P 是边 AD 上的动点,连接 BP ,线段 BP 的 垂直平分线交边 BC 于点 Q ,垂足为点 M ,连接 QP (如图 1) .已知 AD ? 13 , AB ? 5 ,设 AP ? x ,

BQ ? y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)当以 AP 长为半径的⊙P 和以 QC 长为半径的⊙Q 外切时,求 x 的值; (3)点 E 在边 CD 上,过点 E 作直线 QP 的垂线,垂足为 F ,如果 EF ? EC ? 4 ,求 x 的值.

【变式一】 (改编题)在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点 O 在线段 AD 上. (1)如图 1,连接 OB、OC,求证:△BDO≌△CDO; (2)已知 ? O 与直线 AB、AC 都相切,切点分别为 E、F,当 AD=12,CD=5, OD ? 直线 BC 相切.

10 时,求证: ? O 与 3

【变式二】已知:如图 1,直角坐标系内的矩形 ABCD,顶点 A 的坐标为(0,3) ,BC=2AB,P 为 AD 边上 ? P 一动点(与点 A、D 不重合) ,以点 P 为圆心作 与对角线 AC 相切于点 F,过 P、F 作直线 l ,交 BC 边 于点 E. 当点 P 运动到点 P1 位置时,直线 l 恰好经过点 B,此时直线的解析式是 y ? 2 x ? 1 . (1)求 BC、 AP 1 的长; (2)设 AP=m,梯形 PECD 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,写出自变量 m 的取值范围; (3)以点 E 为圆心作 ? E 与 x 轴相切. 探究并猜想: ? P 和 ? E 有哪几种不同的位置关系?并求出 AP 相应的取值范围.

第 17 题 “正笔侧锋”细解读, “拨云见日”明“指向
【例题】 (2012 广东广州,24 题,14 分)如图,抛物线 y ? ? 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C. (1)求点 A、B 的坐标; (2)设点 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4,0) ,M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三 个时,求直线 l 的解析式.

3 2 3 x ? x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 8 4

【变式一】 (2013 山东淄博,23 题,9 分)△ ABC 是等边三角形,点 A 与点 D 的坐标分别是 A(4,0) ,D (10,0) . (1)如图 1,当点 C 与点 O 重合时,求直线 BD 的解析式;

(2)如图 2, 点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动, 当以点 B 为圆心,AB 为半径的⊙B 与 y 轴相切(切点为 C) 时, 求点 B 的坐标;

(3)如图 3,点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动,当点 C 的坐标为 C(0, ?2 3 )时,求∠ODB 的正切值.

【变式二】 (原创)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 BC 平行于 x 轴,AB=6,点 A 的横坐标为 2,反比例函数 y ?

18 ? x ? 0 ? 的图象经过点 A、C. x

(1)求点 A 的坐标; (2)求点 B、D 所在直线的函数关系式; (3)若点 P(p, ?

3 p ? 12 ) ,是否存在实数 p,使得 S△PAB =12 ?若存在,请直接写出所有满足条件的 p 2

的值;若不存在,请说明理由.

第 18 题 “圆的折叠”来探究,发现“等圆”能破题
【例题】 (2012 江西南昌,28 题,12 分)已知,纸片⊙O 的半径为 2,如图 1,沿弦 AB 折叠操作.

? 所在圆的圆心为 O′ 时,求 O′A 的长度; (1)①折叠后的 AB ? 经过圆心为 O 时,求 AOB ? ②如图 2,当折叠后的 AB 的长度;
③如图 3,当弦 AB=2 时,求圆心 O 到弦 AB 的距离; (2)在图 1 中,再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作.

? 与 CD ? 所在圆外切于点 P 时,设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和为 d, ①如图 4,当 AB∥CD,折叠后的 AB
求 d 的值;

? 与 CD ? 所在圆外切于点 P 时,设点 M 为 AB 的中点,点 N 为 ②如图 5,当 AB 与 CD 不平行,折叠后的 AB
CD 的中点,试探究四边形 OMPN 的形状,并证明你的结论.

【变式】 (2011 湖南常德,25 题,10 分)已知△ABC,分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 O1、O2 ,P 是 AB 的 中点.

? 上分别取点 E、F,使 ?AO E ? ?BO F ,则 (1)如图,若△ABC 是等腰三角形,且 AC=BC,在 ? AC、 BC 1 2
有结论① ?PO1E ? ?FO2 P .②四边形 PO1CO2 是菱形.请给出结论②的证明;

(2)如图,若(1)中△ABC 是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请 给出证明;

(3)如图,若 PC 是⊙ O1 的切线,求证: AB 2 ? BC 2 ? 3 AC 2 .

第 19 题 “强化条件”要看清,思路生成有“源头”
【例题】 (2011 上海,25 题,14 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点 P 是 AB 边上任 意一点,直线 PE⊥AB,与边 AC 或 BC 相交于 E.点 M 在线段 AP 上,点 N 在线段 BP 上,EM=EN,
sin ?EMP ? 12 . 13

(1)如图 1,当点 E 与点 C 重合时,求 CM 的长; (2)如图 2,当点 E 在边 AC 上时,点 E 不与点 A、C 重合,设 AP=x,BN=y,求 y 关于 x 的函数关 系式,并写出函数的定义域; (3)若△AME∽△ENB(△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应) ,求 AP 的长.

【变式一】 (2012 安徽,22 题,12 分)如图 1,在△ABC 中,D、E、F 分别为三边的中点,G 点在边 AB 上,△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等,设 BC=a、AC=b、AB=c. (1)求线段 BG 的长; (2)求证:DG 平分∠EDF; (3)连接 CG,如图 2,若△BDG 与△DFG 相似,求证:BG⊥CG.

【变式二】 (2012 上海,24 题,12 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax +6x+c 的图象经过点 A (4, 0) 、 B (﹣1, 0) , 与 y 轴交于点 C, 点 D 在线段 OC 上, OD=t, 点 E 在第二象限, ∠ADE=90° , tan∠DAE= EF⊥OD,垂足为 F. (1)求这个二次函数的解析式; (2)求线段 EF、OF 的长(用含 t 的代数式表示) ; (3)当∠ECA=∠OAC 时,求 t 的值.

2

1 , 2

第 20 题 “相似”与“∽”有区别, “参数运算”需细心
【例题】 (2012 湖北黄冈,25 题,14 分)如图,已知抛物线 C1 : y ? ? 于点 B、C,与 y 轴相交于 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积; (3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BH+EH 最小,并求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存 在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

1 ?x ? 2? ? ?x ? m ??m ? 0? 与 x 轴相交 m

【变式一】 (2013 湖南永州,25 题,10 分)如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD. (1)若 AB=9,CD=4,BD=10,请问在 BD 上是否存在 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为顶点的三角形相似?若存在,求 BP 的长;若不存在,请说明理由; (2) 若 AB=9,CD=4,BD=12,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似?并求 BP 的长; (3) 若 AB=9,CD=4,BD=15,请问在 BD 上存在多少个 P 点,使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似?并求 BP 的长; (4) 若 AB=m,CD=n,BD= l ,请问在 m、n、 l 满足什么关系时,存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形 与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个 P 点? 两个 P 点? 三个 P 点?

A

C

B

P

D

【变式二】 (2011 山东临沂,26 题,13 分)如图,已知抛物线经过 A(﹣2,0) ,B(﹣3,3)及原点 O, 顶点为 C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 在抛物线上,点 E 在抛物线的对称轴上,且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,求 点 D 的坐标; (3)P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 P、M、 A 为顶点的三角形△BOC 相似?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

第 21 题 “角的等量”来探究, “把水倒掉”巧构造
1 【例题】 (2012 江苏南通,28 题,14 分)如图,经过点 A(0,-4)的抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于点 2 B(-2,0)和 C 两点,O 为坐标原点. (1)求抛物线的解析式; 1 7 (2)将抛物线 y= x2+bx+c 向上平移 个单位长度、再向左平移 m(m>0)个单位长度,得到新抛物线, 2 2 若新抛物线的顶点 P 在△ABC 内,求 m 的取值范围; (3)设点 M 在 y 轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求 AM 的长.

【变式一】 (2011 福建莆田,24 题,12 分)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴为直线 x ? 2 ,且与 x 轴
2

交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0),C(0, ?3 ). (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 在抛物线上运动(点 P 异于点 A) ,当∠PCB=∠BCA 时,求直线 CP 的解析式.

【变式二】 (1)如图,在等边△ABC 中,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连接 AM,以 AM 为 边作等边△AMN,连接 CN. 求证: ?ABC ? ?ACN .

类比探究 (2)如图 2,在等边△ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其他条件不变, (1)中 结论 ?ABC ? ?ACN 还成立吗?请说明理由.

拓展延伸 (3)如图 3,在等腰△ABC 中,BA=BC,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连接 AM,以 AM 为边作等腰△AMN,使顶角 ?AMN ? ?ABC . 连接 CN,试探究 ?ABC 与 ?ACN 的数量关系,并说明 理由.

第 22 题

排除干扰建模型,认清“动” “静”用相似

【例题】 (2013 海南省,24 题,14 分)如图,二次函数的图象与 x 轴相交于点 A(-3,0) 、 B(-1,0) ,与 y 轴相交于点 C(0,3) ,点 P 是该图象上的动点;一次函数 y=kx-4k (k≠0)的图象过点 P 交 x 轴于点 Q. (1)求该二次函数的解析式; (2)当点 P 的坐标为(-4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC; (3)点 M、N 分别在线段 AQ、CQ 上,点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 A 向点 Q 运动,同时,点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 向点 Q 运动,当点 M、N 中有一点到达 Q 点时,两点同时停止运动,设 运动时间为 t 秒. ①连接 AN,当△AMN 的面积最大时,求 t 的值; ②线段 PQ 能否垂直平分线段 MN?如果能,请求出此时点 P 的坐标;如果不能,请说明你的理由.

y

P

C N

A

B O M

Q

x

【变式一】 (2011 河北,26 题,12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每 秒 1 个单位长的速度运动 t 秒(t>0) ,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P.已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A (1,0) ,B(1,–5) ,D(4,0) . (1)求 c,b(用含 t 的代数式表示) ; (2)当 4<t<5 时,设抛物线分别与线段 AB,CD 交于点 M,N. ①在点 P 的运动过程中,你认为∠AMP 的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP 的 值; ②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求 t 为何值时,S= 8 .
21

【变式二】 (2011 重庆潼南, 26 题, 12 分) 如图, 在平面直角坐标系中, △ABC 是直角三角形, ∠ACB=90°, AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过 A,B 两点,抛物线的顶点为 D. (1)求 b,c 的值; (2)点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的一动点(点 A、B 除外) ,过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F, 当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标; (3)在(2)的条件下: ①求以点 E、B、F、D 为顶点的四边形的面积; ②在抛物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标; 若不存在,说明理由.

第 23 题 “一路走来”遇阻碍, “变换”拂面望眼开
【例题】 (2012 福建福州,22,14 分)如图 1,已知抛物线 y ? ax ? bx ( a ≠0) 经 过 A (3 , 0) 、 B (4 , 4) 两
2

点. (1)求抛物线的解析式; (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的 坐标; (3)如图 2,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△ POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应) .

【变式一】 (2011 江苏镇江,24 题,7 分)如图,在△ ABO 中,已知点 A( 3 ,3)错误!未找到引用源。 、 B(﹣1,﹣1) 、O(0,0) ,正比例函数 y=﹣x 图象是直线 l,直线 AC∥x 轴交直线 l 与点 C. (1)C 点的坐标为 ; (2)以点 O 为旋转中心,将△ ABO 顺时针旋转角 α(90°≤α<180° ) ,使得点 B 落在直线 l 上的对应点为 B′, 点 A 的对应点为 A′,得到△ A′OB′. ①∠α= ; ②画出△ A′OB′. (3)写出所有满足△ DOC∽△AOB 的点 D 的坐标.

【变式二】 (2013 江苏盐城, 27 题, 12 分) 如图①, △ ABC 与△ DEF 都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠EDF=90°, 且点 D 在 AB 边上,AB、EF 的中点均为 O,连结 BF、CD、CO,显然点 C、F、O 在同一条直线上,可以 证明△ BOF≌△COD,则 BF=CD. 解决问题 (1)将图①中的 Rt△ DEF 绕点 O 旋转得到图②,猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系,并证明你的结论;

(2)如图③,若△ ABC 与△ DEF 都是等边三角形,AB、EF 的中点均为 O,上述(1)中的结论仍然成立 吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出 BF 与 CD 之间的数量关系;

(3)如图④,若△ ABC 与△ DEF 都是等腰三角形,AB、EF 的中点均为 O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请 BF 直接写出 的值(用含 α 的式子表示出来). CD

第 24 题 “多级分类”获贯通, “相似求解”靠“双基”
【例题】 (2012 云南省,23 题,9 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? ? x ? 2 交 x 轴于点 P ,交 y 轴于点 A ,抛物线 y ? ?

1 3

1 2 x ? bx ? c 的图象过点 E (?1, 0) ,并与直线相交于 A 、 B 两点. 2

(1)求抛物线的解析式(关系式); (2)过点 A 作 AC ? AB 交 x 轴于点 C ,求点 C 的坐标; (3) 除点 C 外,在坐标轴上是否存在点 M ,使得 ?MAB 是直角三角形?若存在,请求出点 M 的坐标, 若不存在,请说明理由.

【变式一】 (2012 山东青岛,24 题,12 分)如图,在△ABC 中,∠C=90? ,AC=6cm,BC =8cm,D、E 分别是 AC、AB 的中点,连接 DE.点 P 从点 D 出发,沿 DE 方向匀速运动, 速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 2cm/s,当点 P 停止 运动时,点 Q 也停止运动.连接 PQ,设运动时间为 t(0<t<4)s.解答下列问题: (1)当 t 为何值时,PQ⊥AB? (2)当点 Q 在 B、E 之间运动时,设五边形 PQBCD 的面积为 ycm2,求 y 与 t 之间的函数关系式; ( 3 )在( 2 )的情况下,是否存在某一时刻 t,使得 PQ 分四边形 BCDE 所成的两部分的面积之比为

S△PQE : S五边形PQBCD ? 1: 29 ?若存在,求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h;若不存在,请说明理由.

【变式二】 (2013 江苏淮安,28 题,12 分)如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方 向的运动,到达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为 t 秒. (1)当 t= 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 t 为何值时,△ PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△ PCQ 的面积为 S 平方单位. ①求 S 与 t 之间的函数关系式; ②当 S 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折 叠后的△ APD 与△ PCQ 重叠部分的面积.

第 25 题

聚焦特殊三角形,切换视角“液体积”

【例题】 (2013河北,26题,14分)一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α(∠CBE = α,如图1所示). 探究 如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB′ 交于 点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸 如图2所示.解决问题:

(1)CQ与BE的位置关系是___________,BQ的长是____________dm; (2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积 V液 ? S△BCQ ? AB )

(3)求 α 的度数.(注: sin 49 ? ? cos 41 ? ?

3 3 , tan 37? ? ) 4 4

拓展 在图 1 的基础上,以棱 AB 为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图 3 或图 4 是其 正面示意图.若液面与棱 C′C 或 CB 交于点 P,设 PC = x,BQ = y.分别就图 3 和图 4 求 y 与 x 的函数关 系式,并写出相应的 α 的范围.

延伸 在图 4 的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计) ,得 到图 5,隔板高 NM = 1 dm,BM = CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当 α = 60° 时,通过计算,判断溢 出容器的液体能否达到 4 dm3.

【变式一】 (2013 北京,22 题,5 分)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 a?a ? 2? 的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正 方形 MNPQ 的面积.

小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,W,可得△RQF, △SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图 2) 请回答: (1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠) ,则这个新的正方形的边长为 __________; (2)求正方形 MNPQ 的面积.[中国教*育&#^

参考小明思考问题的方法,解决问题:如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点 D, E,F 作 BC,AC,AB 的垂线,得到等边△RPQ,若 S△ RPQ ?

3 ,则 AD 的长为__________. 3

【变式二】 (原创题) 【阅读理解】 (摘编自人教课标版八年级数学(下册)教材) 宽与长的比是

2 5 -1 或 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形.下面,我们用宽为 4cm 的矩形纸片折 2 5 ?1

叠出一个黄金矩形. 第一步,在矩形纸片的一端,利用图 1 的方法折出一个正方形,然后把纸片展平; 第二步,如图 2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平; 第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把它折到图 4 中所示的 AD 处; 第四步,展平纸片,按照所得的 D 点折出 DE,如图 4??

【问题解决】 (1)图 3 中 AB=

cm;

(2)你发现图 4 中有几个黄金矩形?请都写出来,并选择其中一个说明理由; (3)在图 3 中,连接 BD,以 AQ、BD 为两直角边作直角三角形,求该直角三角形斜边的长.

第 26 题 阅读“定义”重理解,两级分类显功底
【例题】 (2013 江苏南京,27 题,10 分)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同, 那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆 相似. 例如, 如图 1, 因此△ABC 与△ A' B ' C △ ABC ∽△ A' B' C ' 且沿周界 ABCA 与 A' B' C ' A' 环绕的方向相同, 互为顺相似;如图 2, △ ABC ∽△ A' B' C ' ,且沿周界 ABCA 与 A' B' C ' A' 环绕的方向相反,因此△ABC 与 △ A' B ' C 互为逆相似.

(1)根据图 I、图 II 和图 III 满足的条件,可得下列三对相似三角形:①△ADE 与△ABC; ② △GHO 与 △KFO; ③△NQP 与△NMQ.其中,互为顺相似的是 ;互为逆相似的是 .(填写所 有符合要求的序号)

(2)如图 3,在锐角△ABC 中,?A<?B<?C,点 P 在△ABC 的边上(不与点 A、B、C 重合).过点 P 画直 线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC 互为逆相似.请根据点 P 的不同位置,探索过点 P 的截线的情 形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.

【变式一】 (2013 安徽,23 题,14 分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称 为“准等腰梯形” ,如图 1,四边形 ABCD 即为“准等腰梯形” ,其中∠B=∠C. (1)在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个 等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可) ; (2)如图 2, 在 “准等腰梯形” ABCD 中, ∠B=∠C, E 为边 BC 上一点, 若 AB∥DE,AE∥DC,求证:

AB BE ? ; DC EC

(3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD=∠ADC 的平分线交于点 E, 若 EB=EC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即图 3 所示情形) ,四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形” , 为什么?若点 E 不在四边形 ABCD 内部时,情形又将如何?写出你的结论. (不必说明理由)

【变式二】 (2011 江苏南京,27 题,9 分)如图 1,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC, 在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相似点. (1)如图 2,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线,过点 B 作 BE⊥CD,垂 足为 E,试说明 E 是△ABC 的自相似点. (2)在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图 3,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹) ; ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.

第 27 题 “理解约定”细分析,列表观察“规律现”

【例题】 (2012 浙江衢州,23 题,10 分)课本中,把长与宽之比为 2 的矩形纸片称为标准纸.请思考解 决下列问题: (1)将一张标准纸 ABCD(AB<BC)对开,如图 1 所示,所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸.请给予证明.

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片 ABCD(AB<BC)进行如下操作: 第一步:沿过 A 点的直线折叠,使 B 点落在 AD 边上点 F 处,折痕为 AE(如图 2 甲) ; 第二步:沿过 D 点的直线折叠,使 C 点落在 AD 边上点 N 处,折痕为 DG(如图 2 乙) ,此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处; 第三步:沿直线 DM 折叠(如图 2 丙) ,此时点 G 恰好与 N 点重合. 请你探究:矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸?请说明理由.

(3)不难发现:将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸 ABCD,AB=1,BC= 2 ,问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第 2012 次对开后所得 标准纸的周长.

【变式一】 (2012 浙江宁波,25 题,10 分)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形, 余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四 边形,称为第二次操作;??依次类推,若第 n 次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四 边形为 n 阶准菱形,如图,平行四边形 ABCD 中,若 AB ? 1, BC ? 2 ,则平行四边形 ABCD 为 1 阶准菱形.

(1)判断与推理: ① 邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是__________阶准菱形; ② 小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图,把平行四边形 ABCD 沿着 BE 折叠(点 E 在 AD 上)使 点 A 落在 BC 边上的点 F ,得到四边形 ABFE ,请证明四边形 ABFE 是菱形.

(2)操作、探究与计算: ① 已知平行四边形 ABCD 的邻边分别为 1, a(a ? 1) 裁剪线的示意图,并在图形下方写出 a 的值; ② 已知平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 a, b(a ? b) , 满足 a ? 6b ? r , b ? 5r , 请写出平行四边形 ABCD 是几阶准菱形.

【变式二】 (2011 陕西省,25 题,12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,将矩形折叠,使 B 落在边 AD(含端点) 上,落点记为 E,这时折痕与边 BC 或边 CD(含端点)交于点 F,然后展开铺平,则以 B、E、F 为顶点的 三角形△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” (1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形 (2) 如图 2,在矩形 ABCD,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于边 AD 的中点时,画出 这个“折痕△BEF” ,并求出点 F 的坐标; (3) 、如图 3,在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”? 若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标?若不存在,为什么?

第 28 题

“大胆猜想”靠直觉, “小心求证”依理性

【例题】 (2011 江西,25 题,10 分)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下: 设 ?BAC ? ? ? 0? ? ? ? 90?? , 现把小棒依次摆放在两射线 AB、 AC 之间, 并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一: 如图 1 所示,从点 A1 开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直, A1 A2 为第 1 根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答: (2)设 AA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? 1 . ①? ? 度; (填“能”或“不能” ) .

②若记小棒 A2 n ?1 A2 n 的长度为 an ( n 为正整数,如 A1 A2 ? a1 , A3 A4 ? a2 , . . . ) ,求出此时 a2 、 a3 的值, 并直接写出 an (用含 n 的式子表示) .

活动二: 如图 2 所示,从点 A1 开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中 A1 A2 为第 1 根小棒,且 A1 A2 = AA 1. 数学思考: (3)若已经向右摆放了 3 根小棒,则 ?1 ? 表示) . (4)若只能 摆放 4 根小棒,求 ? 的范围. .. ,? 2 ? ,?3 ? . (用含 ? 的式子

【变式一】 (2012 湖南岳阳,25 题,8 分) (1)操作发现:如图,D 是等边△ABC 边 BA 上一动点(点 D 与点 B 不重合) ,连接 DC,以 DC 为边在 BC 上方作等边△DCF,连接 AF.你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.

(2)类比猜想:如图,当动点 D 运动至等边△ABC 边 BA 的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想 AF 与 BD 在(1)中的结论是否仍然成立?

(3)深入探究: Ⅰ.如图,当动点 D 在等边△ABC 边 BA 上运动时(点 D 与点 B 不重合)连接 DC,以 DC 为边在 BC 上方、 下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′,连接 AF、BF′,探究 AF、BF′与 AB 有何数量关系?并证明你探究 的结论.

Ⅱ.如图,当动点 D 在等边△边 BA 的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若 不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.

【变式二】 (2012 江苏淮安,28 题,12 分) 阅读理解 如图 1,△ABC 中,沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠, 剪掉重叠部分;…;将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠,点 Bn 与点 C 重合,无论折叠多少次,只要 最后一次恰好重合,我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.

小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情况。情形一:如图 2,沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的 平分线 AB1 折叠,点 B 与点 C 重合;情形二:如图 3,沿△ABC 的∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重叠部 分;将余下的部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,此时点 B1 与点 C 重合. 探究发现 (1)△ABC 中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC 是不是△ABC 的好角? (填“是”或“不是”) .

(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角,请探究∠B 与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量 关系. 根据以上内容猜想:若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C 不妨设∠B>∠C)之间的等量 关系为 应用提升 (3)小丽找到一个三角形,三个角分别为 15°,60°,105°,发现 60°和 105°的两个角都是此三角形 的好角. 请你完成,如果一个三角形的最小角是 4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此 三角形的好角. .

第 29 题 经典问题“再上场” , “模式识别”来破题
【例题】 (2012 山东烟台,25,10 分) (1)问题探究 如图 1,分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边,向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2 E2 ,过点 C 作 直线 KH 交直线 AB 于点 H,使 ?AHK ? ?ACD 1 .作 D1M ? KH , D2 N ? KH ,垂足分别为点 M,N.试 探究线段 D1M 与线段 D2 N 的数量关系,并加以证明.

(2)拓展延伸 ①如图 2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线 K1 H1 , K 2 H 2 ,分别交直线 AB 于 点 H1 , H 2 ,使 ?AH1K1 ? ?BH2 K2 ? ?ACD 1M ? K1H1 , D2 N ? K 2 H 2 ,垂足分别为点 M, 1 .作 D N. D1M ? D2 N 是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

②如图 3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变. D1M ? D2 N 是否仍成立?(要 求:在图 3 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)

【变式一】(2011 江苏盐城,27 题,12 分) 情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△ A' C ' D ,如图 1 所示,将△ A' C ' D 的顶点 A' 与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A( A' ) 、B 在同一条直线上,如图 2 所示.观察图 2 可知: 与 BC 相等的线段是 , ∠CAC′= °.

问题探究 如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰 Rt △ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量 关系,并证明你的结论.

拓展延伸 如图 4,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB ? kAE , AC ? kAF ,试探究 HE 与 HF 之间的数量关系,并说明理由.

第 30 题

“特例引路”含规律, “强化条件”助突破

【例题】 (2012 吉林,26 题,10 分) 问题情境 如图,在 x 轴上有两点 A( m, 0) , B (n, 0) ( n ? m ? 0 ).分别过点 A ,点 B 作 x 轴的垂线, 交抛物线 y ? x 于点 C 、点 D .直线 OC 交直线 BD 于点 E ,直线 OD 交直线 AC 于点 F ,
2

点 E 、点 F 的纵坐标分别记为 yE . 、 yF . 特例探究 填空: 当 m ? 1 , n ? 2 时, yE . =____, yF =______.当 m ? 3 , n ? 5 时, yE . =____, yF =______. 归纳证明 对任意 m , n ( n ? m ? 0 ),猜想 yE . 与 yF 的大小关系,并证明你的猜想 拓展应用 (1)若将“抛物线 y ? x ”改为“抛物线 y ? ax
2
[来

2

(a ? 0) ”,其它条件不变,请直接写出 yE . 与 yF 的大小

关系. (2)连接 EF , AE .当 S四边形OFEB. ? 3S△OFE 时,直接写出 m 和 n 的关系及四边形 OFEA 的形状.

【变式】 ( 2012 江苏镇江, 27 题, 9 分)对于二次函数 y ? x 2 ? 3x ? 2 和一次函数 y ? ?2 x ? 4 ,把

y ? t x 2 ? 3x ? 2 ? ?1 ? t ??? 2x ? 4? 称为这两个函数的“再生二次函数”,其中 t 是不为零的实数,其图象记
作抛物线 E.现有点 A(2,0)和抛物线 E 上的点 B(-1,n) ,请完成下列任务: 【尝试】 (1)当 t=2 时,抛物线 y ? t x 2 ? 3x ? 2 ? ?1 ? t ??? 2 x ? 4? 的顶点坐标为 (2)判断点 A 是否在抛物线 E 上; (3)求 n 的值. 【发现】 通过 (2) 和 (3) 的演算可知, 对于 t 取任何不为零的实数, 抛物线 E 总过定点, 坐标为
2 2

?

?

?

?





【应用 1】二次函数 y ? ?3x ? 5x ? 2 是二次函数 y ? x ? 3x ? 2 和一次函数 y ? ?2 x ? 4 的一个“再生二 次函数”吗?如果是,求出 t 的值;如果不是,说明理由; 【应用 2】以 AB 为边作矩形 ABCD,使得其中一个顶点落在 y 轴上,若抛物线 E 经过 A、B、C、D 其中的 一点,求出所有符合条件的 t 的值.


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