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2015解步步高大一轮讲义(理)10.3



§ 10.3

二项式定理

1.二项式定理
n 1 n 1 1 n k k n * (a+b)n=C0 b +?+Ck b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N ).
- -

这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,其中的系数 Ck n(k=
n

k k 0,1,2,?,n)叫做二项式系数.式中的 Ck b 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即 na


n k k 展开式的第 k+1 项:Tk+1=Ck b. na


2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排列, 从第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n.
1 n 1 n (4)二项式的系数从 C0 n,Cn,一直到 Cn ,Cn.


3.二项式系数的性质
n m (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cm . n =Cn n + 1 n+ 1 (2)增减性与最大值:二项式系数 Ck 时,二项式系数是递增的;当 k> 时, n,当 k< 2 2


二项式系数是递减的. n 当 n 是偶数时,那么其展开式中间一项 T +1 的二项式系数最大. 2 n+1 n+1 当 n 是奇数时,那么其展开式中间两项 T 和T +1 的二项式系数相等且最大. 2 2 (3)各二项式系数的和
1 2 k n n (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即 C0 n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn=2 . 3 5 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C1 n+Cn+Cn 2 4 n 1 +?=C0 . n+Cn+Cn+?=2


1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n k k (1)Ck b 是二项展开式的第 k 项. na


( × ( ×

) )

(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.

(3)(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关. (4)在(1-x) 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项. 2.(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 A.80 答案 B
n k k 5 k k k 解析 Tk+1=Ck b =Ck (2x)k=Ck na 51 5×2 ×x ,令 k=2,
- -

( √ ( × ( )

) )

9

5

2

B.40

C.20

D.10

2 则可得含 x2 项的系数为 C5 ×22=40. x 1 3.在( - )n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 ( 2 3 x

)

A.-7 答案 B

B.7

C.-28

D.28

1 8-k 4 解析 由题意有 n=8,Tk+1=Ck (-1)kx8- k, 8( ) 2 3 k=6 时为常数项,常数项为 7.
0 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 4.已知 Cn +2C1 n+2 Cn+2 Cn+?+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn+?+Cn等于

(

)

A.63 答案 A

B.64

C.31

D.32

1 2 2 3 3 n n n n 解析 逆用二项式定理得 C0 即 3n=36, n+2Cn+2 Cn+2 Cn+?+2 Cn=(1+2) =3 =729, 2 3 n 6 0 所以 n=6,所以 C1 n+Cn+Cn+?+Cn=2 -Cn=64-1=63.故选 A.

5.设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+?+a21x21,则 a10+a11=________. 答案 0 解析 a10,a11 分别是含 x10 和 x11 项的系数,
10 所以 a10=-C11 21,a11=C21, 10 所以 a10+a11=C21 -C11 21=0.

题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数 ?3 1 ? ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. 例 1 已知在? x- ? 3 ? ? 2 x? (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 思维启迪 先根据第 6 项为常数项利用通项公式求出 n,然后再求指定项. 解 (1)通项公式为

n-k? 1?k k ? 1?k n-2k. - x- =Ck Tk+1=Ck nx n -2 x ? ? 3 ? 2? 3 3 因为第 6 项为常数项, n-2×5 所以 k=5 时, =0,即 n=10. 3 10-2k (2)令 =2,得 k=2, 3 ? 1?2 45 故含 x2 的项的系数是 C2 10 -2 = . ? ? 4 10-2k ? ? 3 ∈Z (3)根据通项公式,由题意? 0≤k≤10 ? ?k∈N 令



10-2k 3 =r (r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r, 3 2

∵k∈N,∴r 应为偶数. ∴r 可取 2,0,-2,即 k 可取 2,5,8, ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项, ? 1?2 2 5 ? 1?5 8 ? 1?8 -2 它们分别为 C2 10 -2 x ,C10 -2 ,C10 -2 x . ? ? ? ? ? ? 思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字 母的指数符合要求(求常数项时, 指数为零; 求有理项时, 指数为整数等), 解出项数 k+1, 代回通项公式即可. 2 x2- 3?5 展开式中的常数项为 (1)(2013· 江西)? x? ? A.80 B.-80 C.40 D.-40 a 15 (2)(x+ )(2x- ) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x x A.-40 答案 解析 B.-20 C.20 D.40 ( )

(

)

(1)C (2)D 2 ?k 2 5-k? k k 10-5k (1)Tk+1=Ck , 5(x ) ?-x3? =C5(-2) x

2 令 10-5k=0 得 k=2.∴常数项为 T3=C2 5(-2) =40.

(2)令 x=1 得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以 a=1. 1 1 1 1 因此(x+ )(2x- )5 展开式中的常数项即为(2x- )5 展开式中 的系数与 x 的系数的和.(2x x x x x 15 - 5-k 5-k 5-2k - ) 展开式的通项为 Tk+1=Ck · (-1)k· x k=Ck x · (-1)k. 5(2x) 52 x 1 5-2 令 5-2k=1,得 2k=4,即 k=2,因此(2x- )5 展开式中 x 的系数为 C2 (-1)2=80.令 52 x 1 1 5-3 5-2k=-1,得 2k=6,即 k=3,因此(2x- )5 展开式中 的系数为 C3 · (-1)3=-40. 52 x x 1 1 所以(x+ )(2x- )5 展开式中的常数项为 80-40=40. x x 题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题

例2

在(2x-3y)10 的展开式中,求:

(1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. 思维启迪 求二项式系数的和或各项系数的和的问题,常用赋值法求解. 解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*)

各项系数和为 a0+a1+?+a10,奇数项系数和为 a0+a2+?+a10,偶数项系数和为 a1+ a3+a5+?+a9,x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9,x 的偶次项系数和为 a0+a2+ a4+?+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
1 10 10 (1)二项式系数的和为 C0 10+C10+?+C10=2 .

(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
2 10 9 (3)奇数项的二项式系数和为 C0 10+C10+?+C10=2 , 3 9 9 偶数项的二项式系数和为 C1 10+C10+?+C10=2 .

(4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+?+a10=1,① 令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1), 得 a0-a1+a2-a3+?+a10=510,② ①+②得 2(a0+a2+?+a10)=1+510, 1+510 ∴奇数项系数和为 ; 2 ①-②得 2(a1+a3+?+a9)=1-510, 1-510 ∴偶数项系数和为 . 2 1-510 (5)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9= ; 2 1+510 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+?+a10= . 2 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2

+bx+c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可; 对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之 f?1?+f?-1? f?1?-f?-1? 和为 a0+a2+a4+?= ,偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?= . 2 2 已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n (m,n∈N*)的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值; (2)当 x2 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.

1 (1)由已知得 C1 m+2Cn=11,∴m+2n=11, 2 2 m?m-1? x2 的系数为 C2 +2n(n-1) m+2 Cn= 2 2 m -m 21 11-m ? ? 351 m- ?2+ . = +(11-m)? 4? 2 16 ? 2 -1?=?



∵m∈N*, ∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2 的系数取得最小值时,m=5,n=3, ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+a5x5, 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33, 令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得 2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 题型三 二项式定理的应用 例3 (1)已知 2n 2· 3n+5n-a 能被 25 整除,求正整数 a 的最小值;


(2)求 1.028 的近似值.(精确到小数点后三位) 思维启迪 (1)将已知式子按二项式定理展开,注意转化时和 25 的联系;(2)近似值计算只 要看展开式中的项的大小即可. 解 (1)原式=4· 6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
- - -

n 1 n 1 2 2 n 1 n =4(C0 +?+Cn n5 +Cn5 n 5 +Cn 5+Cn)+5n-a n 1 n 1 2 2 =4(C0 +?+Cn n5 +Cn5 n 5 )+25n+4-a,
- -

显然正整数 a 的最小值为 4.
1 (2)1.028=(1+0.02)8≈C0 0.02+C2 0.022+C3 0.023≈1.172. 8+C8· 8· 8·

思维升华

(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要

关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式. (1)(2012· 湖北)设 a∈Z, 且 0≤a<13, 若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a 等于( A.0 B.1 C.11 D.12 )

2 27 (2)S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数为________.

答案 解析

(1)D (2)7
2 012 2 011 011 2 011 (1)512 012+a=(52-1)2 012+a=C0 -C1 +?+C2 2 01252 2 01252 2 012×52×(-1)

012 2 012 +C2 +a. 2 012×(-1)

因为 52 能被 13 整除,
2 012 2 012 所以只需 C2 +a 能被 13 整除, 012×(-1)

即 a+1 能被 13 整除,所以 a=12.
2 27 27 9 (2)S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 1 8 8 9 =(9-1)9-1=C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 8 1 7 8 =9(C0 9×9 -C9×9 +?+C9)-2. 8 1 7 8 ∵C0 9×9 -C9×9 +?+C9是整数,

∴S 被 9 除的余数为 7.

混淆二项展开式的系数与二项式系数致误

3 典例:(12 分)已知( x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数和大 1?2n 992.求在? ?2x-x? 的展开式中, (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆, 利用赋值来求二项式系数的和导致错误; 另 外,也要注意项与项的系数,系数的绝对值与系数的区别. 规范解答 解 由题意知,22n-2n=992,

即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得 n=5.[2 分] (1)由二项式系数的性质知, ?2x-1?10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x? ? 即 C5 10=252.∴二项式系数最大的项为 1?5 5? T6=C5 10(2x) -x =-8 064.[6 分] ? ? (2)设第 k+1 项的系数的绝对值最大, 1?k - ? ∴Tk+1=Ck (2x)10 k· 10· ?- x ? =(-1)kCk 210 k· x10 2k, 10· k 10-k k-1 10-k+1 ?C10· 2 ≥C10 · 2 , ? ∴? k 10-k k+1 10-k-1 ?C10· 2 ≥C10 · 2 , ?
- -

k k 1 ? ? ?C10≥2C10 ?11-k≥2k, ? ? 得 k k+1 ,即 ?2C10≥C10 ? ? ?2?k+1?≥10-k,


8 11 解得 ≤k≤ ,[10 分] 3 3 ∵k∈Z,∴k=3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项,
3 T4=-C10 · 27· x4=-15 360x4.[12 分]

温馨提醒

(1)本题重点考查了二项式的通项公式,二项式系数、项的系数以及项数和项

的有关概念. (2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同;项数和项的不同. (3) 本 题 的 易 错 点 是 混 淆 项 与 项 数 , 二 项 式 系 数 和 项 的 系 数 的 区 别 .

方法与技巧
n k k 1.通项为 Tk+1=Ck b 是(a+b)n 的展开式的第 k+1 项,而不是第 k 项,这里 k=0,1,?, na


n.
0 n 2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 Cn ,C1 n,?,Cn,它只

与各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分, 它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关. 3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解 二项展开式各项系数和的一种重要方法. 4.运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 k,再求所需的某项;有时 需先求 n,计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系. 失误与防范 1.区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细. 项的系数与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为正. 2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 3.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为 0,± 1. 4.在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待 a、b.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1?5 2 1.(2012· 天津)在? ?2x -x? 的二项展开式中,x 的系数为 A.10 答案 D 1 2 5-k? - ?k 解析 因为 Tk+1=Ck 5(2x ) ? x?
5 k 10 =Ck x 52
- -2k

(

)

B.-10

C.40

D.-40

5 k (-1)kx k=Ck (-1)kx10 52
- -

-3k



令 10-3k=1,得 k=3,

5 3 所以 x 的系数为 C3 (-1)3=-40. 52


2.(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等,则 n 等于 A.6 答案 B 解析 B.7 C.8 D.9

(

)

5 5 5 5 6 6 6 6 (1+3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5 n(3x) =Cn3 x ,展开式中含 x 的项为 Cn3 x ,由

5 5 两项的系数相等得 Cn · 3 =C6 36,解得 n=7. n·

3.(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是


(

)

A.-20 C.15 答案 C

B.-15 D.20

解析 设展开式的常数项是第 k+1 项,则 Tk+1=Ck (4x)6 k· (-2 x)k=Ck (-1)k· 212x 6· 6·
- -

-2kx

· 2

-kx

=Ck (-1)k· 212x 6·

-3kx

,∴12x-3kx=0 恒成立.∴k=4,

4 ∴T5=C6 · (-1)4=15.

4.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4 的系数为 15,则 a 的值为 5 7 A.-4 B. C.4 D. 2 2 答案 C 解析 ∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1), ∴x4 的系数为 4a-1=15,∴a=4.

(

)

5.若(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+an(1-x)n,则 a0-a1+a2 -?+(-1)nan 等于 3 A. (3n-1) 4 3 n C. (3 -2) 2 答案 D 解析 在展开式中,令 x=2 得 3+32+33+?+3n=a0-a1+a2-a3+?+(-1)nan, 3?1-3n? 即 a0-a1+a2-a3+?+(-1)nan= 1-3 3 = (3n-1). 2 二、填空题 6.二项式(x+y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是________.(用数字作答) 答案 10
?5-k=2 ? 5-k k 解析 Tk+1=Ck y (k=0,1,2,3,4,5),由题意知? ,∴含 x2y3 的系数为 C3 5x 5=10. ?k=3 ?

( 3 B. (3n-2) 4 3 D. (3n-1) 2

)

7.(2012· 浙江)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,?,a5 为实数,则 a3=________.

答案 10 解析 f(x)=x5=(1+x-1)5,


5 k 它的通项为 Tk+1=Ck · (-1)k, 5(1+x) 3 2 3 T3=C2 5(1+x) (-1) =10(1+x) ,∴a3=10.

8.(1- x)20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为________. 答案 0 1k k k k 解析 ∵Tk+1=Ck C20· x , 20(-x ) =(-1) · 2 2
18 ∴x 与 x9 的系数分别为 C2 20与 C20. 18 2 18 又∵C2 20=C20,∴C20-C20=0.

三、解答题 9.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|. 解 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C0 7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. (2)(①-②)÷ 2, -1-37 得 a1+a3+a5+a7= =-1 094. 2 (3)(①+②)÷ 2, -1+37 得 a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)方法一 ∵(1-2x)7 展开式中,a0、a2、a4、a6 大于零,而 a1、a3、a5、a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. 方法二 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|, 即(1+2x)7 展开式中各项的系数和,令 x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=37=2 187. 1 ?n 10.已知? ?2+2x? , (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系 数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 解
6 5 2 (1)∵C4 n+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0.

∴n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. 35 3?1?4 3 ∴T4 的系数为 C7 ?2? 2 = 2 , ?1?3 4 T5 的系数为 C4 7 2 2 =70, ? ? 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8. 7 ?1?7 7 ∴T8 的系数为 C14 ?2? 2 =3 432.
1 2 2 (2)∵C0 n+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0.

∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大, 1 12 ?12 ?1?12 ∵? ?2+2x? =?2? (1+4x) , k k-1 k-1 ?Ck , ? 124 ≥C12 4 ∴? k k ∴9.4≤k≤10.4,∴k=10. k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ? ∴展开式中系数最大的项为 T11, ?1?2 210· T11=C10 x10=16 896x10. 12·2 · ? ? B 组 专项能力提升 1 5 1.若(x+a) ( -1) 的展开式中常数项为-1,则 a 的值为 x
2

(

)

A.1 C.-1 或-9 答案 D

B.9 D.1 或 9

1 - 解析 由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而( -1)5 的展开式通项为 Tk+1=(-1)kCk xk 5,其中 k 5· x 1 - - =0,1,2, ?, 5.于是( -1)5 的展开式中 x 2 的系数为(-1)3C3 x 1 项的系数为(-1)4C4 5=-10, 5 x 1 =5,常数项为-1,因此(x+a)2( -1)5 的展开式中常数项为 1×(-10)+2a×5+a2×(- x 1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得 a2-10a+9=0,即 a=1 或 a=9. 1 2.若(3x- )n 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x3 的项的系数为 ( ) x A.-5 答案 C 解析 令 x=1 得 2n=32,所以 n=5, 1 于是(3x- )5 展开式的通项为 x 5-k 1 k 5-k 5-2k Tk+1=(-1)kCk ( ) =(-1)kCk x , 5(3x) 53 x 令 5-2k=3,得 k=1,
4 于是展开式中含 x3 的项的系数为(-1)1C1 53 =-405,故选 C.

B.5

C.-405

D.405

1 4 3.从( x+ )20 的展开式中任取一项,则取到有理项的概率为( x

)

5 A. 21 答案 B 解析

2 B. 7

3 C. 10

3 D. 7

1 4 ( x+ )20 的展开式通项为 x

3 4 20-k 1 k Tk+1=Ck ( ) =Ck 20( x) 20x5- k,其中 k=0,1,2,?,20. 4 x 3 而当 k=0,4,8,12,16,20 时,5- k 为整数,对应的项为有理项, 4 1 4 所以从( x+ )20 的展开式中任取一项, x 6 2 则取到有理项的概率为 P= = . 21 7 4.(x-y)10 的展开式中,x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于________. 答案 -240
10 k k 解析 ∵Tk+1=(-1)kCk y, 10x


7 3 ∴-C3 10+(-C10)=-2C10=-240.

3 5.在(1+x)3+(1+ x)3+(1+ x)3 的展开式中,x 的系数为________(用数字作答). 答案 7 3 2 3 解析 由条件易知(1+x)3、(1+ x)3、(1+ x)3 展开式中 x 的系数分别是 C1 3、C3、C3, 即所求系数是 3+3+1=7. 6. 若( 2-x)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10, 则(a0+a2+?+a10)2-(a1+a3+?+a9)2 的值为_ _______. 答案 1 解析 设 f(x)=( 2-x)10,则 (a0+a2+?+a10)2-(a1+a3+?+a9)2 =(a0+a1+?+a10)(a0-a1+a2-?-a9+a10) =f(1)f(-1)=( 2-1)10( 2+1)10=1.



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