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人教A版数学必修4第一章三角函数教材分析



必修 4“第一章三角函数”教材分析
函数是刻画客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型, 在数学和其他领域中具有重要 作用,它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。本章中,学生将在数学 1 中学习函数概念与基本初等函数 I 的基础上, 学习三角函数及其基本性质, 体会三角函数在 解

决具有周期变化规律的问题中的作用. 通过本章的学习, 学生将进一步加深对函数概念的 理解,提高用函数概念解决问题的能力。 一、内容与课程学习目标 本章的学习内容是三角函数及其基本性质。通过本章学习,要引导学生: 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; 3.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 的正弦、余弦、正切),能

画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 4.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等); 5.理解同角三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1, 6.结合具体实例,了解
2 2

,正切函数在

上的性质(如单



的实际意义;能借助计算器或计算机画出

的图象,观察参数 A,?,?对函数图象变化的影响; 7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函 数模型。 二、内容安排 本章共安排了 6 个小节以及两个选学内容,教学时间约需 16 课时,大体分配如下(仅 供参考): 1。1 任意角和弧度制???????????????????约 2 课时 1。2 任意角的三角函数??????????????????约 3 课时 1。3 三角函数的诱导公式?????????????????约 2 课时 1。4 三角函数的图象与性质????????????????约 4 课时

1。5 函数 y=Asin(

φ )的图象????????????约 2 课时

1。6 三角函数模型的简单应用??????????????约 2 课时 小 结??????????????????????????约 1 课时 本章知识结构如下:

1.本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,在数学 1 中建立 的函数概念,以及指数函数、对数函数的研究经验;主要的学习内容是三角函数的概念,图 象与性质,以及三角函数模型的简单应用;单位圆是研究三角函数的重要工具,借助它的直 观, 可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质, 因此三角函数的学习可以帮助学生更好 地体会数形结合思想;三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(特别是物 理、地理)有紧密联系,因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。 2.为了加强三角函数学习的目的性,本章采用月相变化图和简谐运动图的组合作为章 头图,并以“大到宇宙天体运行,小到质点的运动,现实世界中具有周期性变化的现象无处 不在” 为开篇语, 再在章前引言中明确提出 “三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型” 。 这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚,也能使学生更加明确学习三角函数的意 义。 3.任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点。过去习 惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到 任意角的三角函数的推广, 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数, 但它对 准确把握三角函数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学 生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算

才能得到, 这与函数值是一个确定的实数也有不同, 这些都会影响学生对三角函数概念的理 解。 本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这样定义清楚地表明 了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系。 另外,如果α 是弧度数,即∠xOP=α rad,那么正弦、余弦函数就是关于任意实数α 的函数, 这时的自变量和函数值都是实数, 这就与数学 1 中给出的一般函数概念完全一致了。 事实上, 在弧度制(这是一种用半径来度量角的方法)下,角度和长度的单位是统一的,正是这种单 位的统一,使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系: 把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点 A(1,0),数轴的正半轴逆时针 缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)t 被缠 绕到单位圆上的点 P(cost,sint)。 基于上述理由,我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质,也正是三角函 数的这种形式决定了它们在数学(特别是应用数学)中的重要性。事实上,后续的内容,特 别是在微积分中,最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数。 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密, 这就为后续内容的学习带来方便, 也使三角函数更加好用了。 例如从定义可以方便地推导同 角三角函数的关系式、诱导公式、和(差)角公式,而且为公式的记忆提供了图形支持;单 位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体, 我们可以借助单位圆, 直接从定义出发 讨论三角函数的性质?? 当然,这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的坐标的“比值”来定义是等价的,这 正是教科书在 1。2。1 中安排例 2 的原因。 4. 三角函数的诱导公式过去是从求三角函数值引入的, 把 的三角函数与α 的三角函数关系作为诱导公式,并且把关于 , , ,

的诱导公式作

为和(差)角公式的推论给出。本教科书改变了这种做法。教科书借助单位圆,先引导学生 讨论了这些角的终边与角α 的终边之间的对称关系, 然后根据三角函数定义导出所有诱导公 式。这样,既能很好地反映诱导公式的本质(圆的对称性的代数表示),又使它们成了一个 有机的整体。另外,去掉了关于 的诱导公式(因为它与-α 的诱导公式等价),

增加了

的诱导公式。为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯,在诱导公式中

全部采用了弧度制。 5.正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型 应用的顺序展开,三角恒等变换不再穿插其中,这一顺序与研究其他函数的顺序一致,使得 三角函数的研究更加简洁.另外,把周期性作为第一条性质,目的是为了体现它的重要性。 正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质,然后再利用性质作图象,这样做的目的是为了 使学生体会可以从不同角度讨论函数性质。 6.对函数 图象的研究,由于涉及的参数有 3 个,因此本章采取先讨

论某个参数对图象的影响 (其余参数相对固定) , 再整合成完整的问题解决的方法安排内容, 具体线索如下: (1)探索φ 对 y=sin(x+φ )的图象的影响; (2)探索ω 对 y=sin(ω x+φ )的图象的影响; (3)探索 A 对 y=Asin(ω x+φ )的图象的影响; (4)上述三个过程的合成。 在对上述四个问题的具体讨论中,先让学生对参数赋值,形成对图象变化的具体认识, 然后再推广到一般情形。 这样安排既分散了难点,又使学生形成清晰的讨论线索,从中能使学生学习到如何将 复杂问题分解为简单问题并“各个击破”,然后整合为整个问题的解决的思想方法,培养有 条理地思考的习惯,有利于培养学生的逻辑思维能力。 7.“三角函数模型的简单应用”是一个新增内容,主要以举例的方式说明三角函数模 型的应用方法。选择的问题包括: (1)用已知的三角函数模型解决问题; (2)将复杂的函数模型转化为 等基本初等函数解决问题;

(3)根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题; (4)通过数学建模,利用数据建立拟合函数解决实际问题。 安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的 作用,体验三角函数与日常生活和其他学科的联系,以使学生体会三角函数的价值和作用, 增强应用意识,同时还要使学生加深理解有关知识。在安排内容时,特别注意了数学应用过

程的完整性,加强了对问题情景和解题思路的分析,以及解题后的反思这两个环节。这样做 可以保持数学应用中的数学思维水平, 提高学生对相应的思想方法的认知层次, 培养学生良 好的解题习惯。 三、新旧教材变化 1.以基本概念为主干内容贯穿本书,削枝强干,教材体系更显合理。 “标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是: (1)通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律 的问题中的作用; (2)运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变 换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。 根据上述学习目标,在编写教科书过程中,特别注意突出主干内容,强调模型思想、 数形结合思想。 “三角函数”一章,突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过 现实世界的周期现象,在学生感受引入三角函数必要性的基础上,引出三角函数概念,研究 三角函数的基本性质,并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。 与传统的处理方法不同,这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来,其目的也是为 了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。 为了实现削枝强干的目标,教科书除了将三角恒等变换独立成章外,还在具体内容上 进行了处理。 ①在新教材中,学生学了 1。1 任意角、弧度和 1。2 任意角的三角函数之后,接着就 安排了“1。3 三角函数的图象和性质”的内容,而将运用三角公式进行三角恒等变换的内 容滞后安排。这与原教材相比,两部分内容恰好颠倒了顺序。 由于三角公式要用到三角函数的周期性、奇偶性等性质导出,所以这样安排具有它的 合理性。同时也相应地突出了三角函数的图象与性质广泛应用的地位。 ②原教材中专门安排一节“已知三角函数值求角” ,在新教材中删去了。但是在新教材 的“1。3 三角函数图象和性质”中插入了已知三角函数值求角的题目,如:P32 例 2: “求 下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合:(1) y ? cos

x ; (2) y ? 2 ? sin 2 x; P33 3

练习第 4 题,P35 练习第 1 题,P46 习题 1。3 第 4 题,P49 复习题第 10 题等。 由于已知三角函数值求角的内容在新教材中,已经不独立成节,所以在学生学习、解

答这一内容的有关问题时,希望大家注意帮助小结其中的规律与方法。 ③在新教材的“第三章 三角恒等变换”中,新增加了一节“3。3 几个三角恒等式” , 将和差化积,积化和差,万能代换,半角等几组公式均安排在该节中。原教材是将这些公式 零星分散在例选、练习题、习题与复习题中。 这一系列公式既然系统地安排在一节内容当中,那么今后学生在解题时就可以直接应 用。也可以让学有余力的学生记熟,但不得强行一刀切地向学生提出统一熟记的要求。 任意角、弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,周期函数与最小正周期,三角函 数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中,两角和与差的正余弦、正切公式,二倍 角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化 积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题,不要求用积化和差、和差化积、半角公 式作复杂的恒等变形。 根据上述考虑,本模块先安排三角函数,再安排平面向量,然后再把三角恒等变换作 为平面向量的一个应用,安排在第 3 章,紧接着再安排解三角形的内容(放在数学 5 的第 1 章) 。这样的教材体系的合理性在于: (1)以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础,三角函数置于其上位 概念(即函数)之下,使三角函数的学习有一个好的“先行组织者” ,找到一个有力的“固 着点” 。三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。 (2) 三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备, 因为平面向量的某些内容(向 量的数量积)需要用到钝角的三角函数。 (3) 将三角恒等变换安排在平面向量之后, 使学生能够切实感受到平面向量的威力 (用 向量为工具推导三角变换公式非常简捷,而用其他方法都比较繁琐) 。另外,由于三角恒等 变换与“函数”讨论的主题关系较远,作为平面向量的一个应用而独立成章,对三角函数的 系统性没有破坏。 (4)将解三角形的内容安排在平面向量之后,可以使正弦定理、余弦定理的证明获得 更多途径,能更好地体现向量的工具性作用。 2.加强几何直观,强调数形结合思想 从三角函数的定义方法可以看出,三角函数及其性质与圆有着直接的联系。事实上, 任意角、任意角的三角函数,三角函数的性质(周期性、单调性、最大值、最小值等),同 角三角函数的关系式,诱导公式,三角函数的图象等,都可以借助单位圆得到认识,这也是 人们也把三角函数称作“圆函数”的原因。因此,在三角函数的研究中,借助单位圆进行几

何直观是非常重要的手段, 而且这也是使学生领会数形结合思想, 学会数形结合地思考和解 决问题的好机会。 为了发挥单位圆在几何直观中的作用,教科书在引进弧度制时就渗透了单位圆概念, 并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念, 然后直接由单位圆引出三角函数定义。 在后续内 容的处理中,始终以单位圆作为一个载体。 例如三角函数的诱导公式的推导,教科书引导学生利用单位圆的对称性,通过讨论单 位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式,使得诱导公式二~公式六都与单位圆上的对称 图形(即角的终边的对称性)联系在一起,从而使这五组公式形成一个有机整体. 数形结合的思想表现在由数到形和由形到数两个方面。教科书在讨论三角函数的图象 和性质时, 一方面从函数的图象和单位圆中的三角函数线两个角度出发来研究正弦函数、 余 弦函数的性质,另一方面又在讨论正切函数性质的基础上再研究函数的图象. 这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样来 定义三角函数, 除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性, 为后续 借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外, 主要还是为了这样的定义 能够更好地反映三角函数的本质。 事实上, 任意角的三角函数可以有不同的定义方法。 过去习惯于用角的终边上点的坐标 及它到原点的距离的“比值”来定义,这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角函数 到任意角三角函数的推广, 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。 但它对 准确把握三角函数的本质也有一定的不利影响,因为锐角三角函数与解三角形是直接相关 的,而任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系,它是一个最基本的、最有表现力的周 期函数,这才是三角函数最本质的地方。 本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、 余弦函数。 这样定义的好处就是直 接用(弧度制下)任意角的集合到区间[-1,1]上的映射来定义,去掉了“求比值”这一中 间过程,有利于学生理解任意角的三角函数中自变量与函数值之间的对应关系。 事实上,在弧度制(用半径来度量角)下,角度和长度的单位是统一的,这样,我们可 以用下述方式来描述这两个函数的对应关系: 把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点 A(1,0) ,数轴的正半轴逆时针 缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)t 被缠 绕到单位圆上的点 P(cost,sint) ,也即是正弦函数把 R 中的实数 t 对应到区间[-1,1]上的 实数 y,y= sint;余弦函数把 R 中的实数 t 对应到区间[-1,1]上的实数 x,x= cost。

上述定义可以很容易地让我们看到三角函数的“周而复始”的变化规律。因此,我们认 为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质, 也正是三角函数的这种形式决定了它们在数 学(特别是应用数学)中的重要性。事实上,后续的内容,特别是在微积分中,最常用的是 弧度制以及弧度制下的三角函数。 3.强调三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想 教科书在开篇语中通过列举大量现实世界中的周期变化现象,并提出现实问题中不同 的变化规律需要不同的函数来刻画, 而三角函数就是刻画周期变化规律的数学模型, 这样可 以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位作用。 在研究三角函数的图象、 性质 时, 尽量结合物理中的简谐运动等典型实例。 为了加强数学模型思想, 教科书专门设置了 “三 角函数模型的简单应用”一节,通过典型实例,引导学生经历分析实际问题、建立三角函数 模型、 用三角函数模型解决问题的基本过程, 以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化 现象时的作用,例如本节的例 4 由给出的潮起潮落的变化数据,通过作散点图,选择函数模 型,建立函数模型,并用得到的函数模型解决有关问题,就是一个比较完整的建立三角函数 模型解决实际问题的过程。 通过这样的例子, 可以使学生用三角函数刻画周期现象的过程与 方法。 另外,本章突出了对三角函数及其性质的研究这条主线,对于其他一些细节,例如求 函数的定义域、值域,用同角三角函数的基本关系式、诱导公式进行恒等变形等等,都作了 淡化处理. 4.通过问题引导学生主动思维,使学生得到思维训练 为了引导学生主动思考,教科书利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问 题。这些问题有的是从刻画实际问题的需要而产生的,例如任意角概念的引入,三角函数图 象及其性质的研究,函数 的图象的研究等,更多的是从数学发展内部提

出的, 例如用单位圆上点的坐标定义三角函数后, 自然要提出圆的性质与三角函数性质之间 关系的问题, 而这个问题恰好是讨论同角三角函数之间的关系、 诱导公式以及三角函数的图 象与性质的出发点:同角三角函数的关系与单位圆中直角三角形;诱导公式与圆的对称性; 三角函数的周期性与圆周长;三角函数的单调性与单位圆中有向线段的变化规律??总之, 教科书利用知识的发生发展过程来自然地提出问题, 引导学生层层深入地进行思考, 可以使 学生得到思维方法上的训练。 类比、联系、推广、化归等是数学研究中的常用方法,本章努力引导学生学习这些方

法。例如,通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制;联系一般函数性质的研究思路 引出研究三角函数性质的思路; 从单位圆上点的坐标表示锐角三角函数推广到任意角的三角 函数定义;研究函数 y=Asin( y=sin( 化归方法. 讨论三角函数及其性质时,经常提醒学生注意用数学 1 中获得的一般函数概念及其思 想方法作指导。例如,教科书中有这样的话: “遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特 殊点,并借助图象研究一下它的性质,如:单调性、奇偶性、最大值、最小值等。特别的, 三角函数具有‘周而复始’的特性到底应当如何描述?” 这段话实际上是提示学生, 在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应当如何研 究时,应当与自己在数学 1 中建立的关于函数性质的已有经验联系起来,显然,这对学生把 握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。 对于那些可以直接类比或经过简单推论就可以得出的结论,教科书利用“思考”“探 究”栏目,通过“留白”的方式让学生自己思考探究而得出结果.例如,特殊角的角度与弧 度的关系表;三角函数的定义域,三角函数值的符号;余弦函数性质的研究;由 y=sinx 的 图象到 y=Asin( φ )的图象,等等。 φ )——y=Asin( φ )的图象,按照 y=sinx——y=sin(x+φ )—— φ )的线索展开,体现了从简单到复杂、由特殊到一般的

例如,三角函数的诱导公式是通过这样两个问题情景引出的: 思考:我们利用单位圆定义了三角函数,而圆具有很好的对称性。能否利用圆的这种对 称性来研究三角函数的性质呢?例如,能否从单位圆关于 x 轴、y 轴、直线 y=x 的轴对称性 以及关于原点 O 的中心对称性等出发,获得一些三角函数的性质呢? 探究:给定一个角 α。 (1) 终边与角 α 的终边关于原点对称的角与 α 有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? (2) 终边与角 α 的终边关于 x 轴或 y 轴对称的角与 α 有什么关系?它们的三角函数 之间有什么关系? (3) 终边与角 α 的终边关于直线 y=x 对称的角与 α 有什么关系?它们的三角函数之 间有什么关系? 其中, “思考”中的问题是上位的,它对利用单位圆的性质讨论三角函数的性质具有 一般思想方法的引导作用; “探究”中的问题比较具体,可以直接引起学生对诱导公式的探

究活动。设计这样的问题系列,就是希望学生在问题的引导下,开展积极主动的思维活动, 自己独立推导出三角函数的诱导公式, 相信有这样的问题引导, 是可以做到这一点的。 另外, 这样的做法对于学生思考“应当从哪些方面来研究三角函数” ,即应当如何提出问题,也是 有启发的。 5.适当使用信息技术 本模块中,比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。 “标准”中明确 提出了“借助计算器或计算机画出 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象,观察参数 A, ? , ? 对函数图 象变化的影响”的要求,在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和 解决问题。例如,求三角函数值,求解测量问题,分析 y ? Asin ??x ? ? ? 中参数变化对函 数的影响等” 。根据“标准”的要求和建议,本模块对使用信息技术问题作了如下处理: (1)用计算器进行角度制与弧度制的互换; (2)用计算器求三角函数的值; (3)用计算器的 sin
-1

、cos

-1

、tan

-1

键求角;

(4)讨论 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象时,在边空中提示, “可以用‘五点法’作图,有 条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下,A, ? , ? 对函数 ; y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变化的影响能直观地得到反映” (5)在用三角函数模型解决问题的过程中,提倡使用计算机进行函数拟合等。 相应的,在角的两种度量制的互换、求三角函数值、作函数图象等方面都降低了要求, 这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律, 从事一些富有探索性和创造性的数学活动提 供时间和空间。因为有了信息技术,教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修 正函数模型才能解决的问题。 考虑到我国各地在数学教学中使用信息技术的不平衡性,教科书在使用信息技术上采 取了弹性处理,即在适宜使用信息技术的地方,采用边空注释的方法,对信息技术的使用作 出提示或说明。 四、教材具体说明 1.本册的第 1 章三角函数是紧接在第 1 册教材第 2 章函数之后,继续学习的一种特殊 的基本初等函数。 由于引进了弧度制,又将角的概念进行了推广,容易知道定义的三角函数是一种在非

空实数集上,从数到数的一种“一对一”或“多对一”的映射。 2.在第 1 章中,1。3 三角函数的图象与性质是重点教学内容,同时它也是本章的一个 数学难点。特别是该节中,三角函数的周期性、单调性、奇偶性以及描绘 y=A ? sin(?x ? ? ) 图象时的周期与初相变换更是教学中的重中之重, 它们也是现行高考中长考不衰的内容。 希 望各位教者花气力指导学生学好并熟练掌握这部分内容。 3.该章的 1。1 任意角、弧度与 1。2 任意角的三角函数(三角函数的定义、同角三角 函数关系公式、诱导公式)两节内容是后续学的基础。只有夯实基础,后面的三角函数的图 象和性质与三角恒等变换才能学好。请大家务必重视这一问题。 4.第一章的 1。1 中的弧度概念是一个数学难点。 大家知道弧度制与角度制是测量角大小的两种不同的单位制。学生从小学到初中一直 是采用角度制来度量角的大小,学生在小学首先接触的角度制,先入为主,一提到角就知道 1 度为 60 分,1 分为 60 秒。到高中学习弧度制,学生很不习惯,所以这是本章教材的一个 教学难点。教者要突破这一教学重点,必须做到以下两点: (1)讲清弧度制的概念,让学生慢慢体会,给学生有一个转弯的过程,有一逐步地循 序渐进地建立新概念的过程。只有新概念建立起来了,才能用弧度制来度量角的大小,才能 建立实数到实数一对一或多对一的三角函数的概念。 (II)对于 0-2 ? (周角)范围内的弧度与角度对照表格,要学生熟记,让学生人人过关, 个个落实。这是学好这一新知识的重要一环。 5.在进行 1。2 任意角的三角函数的教学时,应充分做好初、高中数学教学内容的衔 接工作。这一节内容做好衔接工作很有必要: (I)初中已讲了锐角三角函数,到高中学习在直角坐标系中用坐标表示任意角的三角 函数值时,必须从 Rt △中锐角三角函数讲到新知识,体现出衔接、过渡、循序渐进。 (II) 在初中学生已接触了平方关系、 商式关系, 倒数关系等同角三角函数的关系公式, 教者必须在带领学生复习初中这些公式的基础上学习新内容,将角 ? 推广为任意角,就可 得现在的新公式。这样学习学生就不会感到陌生。 (III)在初中学生已学习了一组诱导公式 sin(

?
2

? ? ) ? cos ? , cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ,

tan(

?
2

? ? ) ? cot ? , cot(

?
2

? ? ) ? tan ? 到高中学习 1。2。3 三角函数的诱导公式时,

应从初中的已学的一组诱导公式入手让学生学习其它诱导公式。到最后将这些公式概括为: “奇余偶同名,符号由角定”的口诀。这样做,无疑是非常有益的。

四、对教学的几个建议 1.准确把握教学要求 与以往的三角函数内容相比较,本章加强了三角函数作为刻画现实世界的数学模型, 借助单位圆理解三角函数的概念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际问题等。 “标 准”对三角函数内容的削减比较多,课时量也减少了,本章严格按照这种要求,删减了任意 角的余切、正割、余割,三角函数的奇偶性,已知三角函数求角,反三角函数符号 ,将对三角函数周期性的一般讨论作为选学内容。另外,任意角 概念,弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式等都降低了要求。这样的处理, 把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质, 体会三角函数在解决具有周期变化规律的问 题中的作用上,而对一些细枝末节的内容不再作过多要求。教学时应当把握好这种变化,遵 循 “标准” 所规定的内容和要求, 不要随意补充已被删减的知识点, 也不要引进那些繁琐的、 技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知 用诱导公式进行复杂变换的问题等)。 2.加强相关知识的联系性,强调数学思想方法 由于周期现象在现实中广泛存在,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交流电、音 乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等,因此它是物理、地理、生物、天文等其他学科研究 的对象,这样,本章内容与其他学科有紧密联系。从数学内部来说,三角函数的概念、性质 与圆的知识有紧密联系,在整个三角函数内容的讨论中,单位圆发挥了关键作用。因此教学 中应充分利用学生的生活经验、 其他学科的知识以及关于圆的性质方面的知识, 使三角函数 的学习建立在丰富的背景上。 从数学思想方法看,本章重点是数学模型思想和数形结合思想。教学中应当充分利用 章引言提供的情景,引导学生从“刻画周期现象的数学模型”的角度来认识三角函数,使学 生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识。 在此基础上, 要充分注重运用 三角函数模型解决实际问题的教学, 使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、 解决实际 问题的全过程。 前已指出,本章讨论的内容都可以用单位圆作为直观工具。因此,为了更好地体现数 形结合思想, 教学中要充分发挥单位圆的作用, 并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三 角函数问题的意识和习惯, 引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质, 提高分析和 解决问题的能力。 ,求 α 的其他三角函数值;

三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数,教学中应当注意引导学 生以数学 1 中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识, 即要结合三角函数引导学生进 一步理解集合与对应观点下的函数概念, 函数中研究的基本问题和基本思路 (根据刻画现实 中周期现象的需要,引进三角函数来描述周期性变化的规律;在遇到一个新的函数时,总要 看看它的图象、单调性、有没有特殊取值等等),这样可以使学生学习在高观点指导下进行 数学学习与研究的思想方法,这对提高学生在学习过程中的数学思维水平是非常有帮助的。 同样的,在讨论 的图象时,实际上涉及函数变换与图象变换(图象的平

移、伸缩与函数变换的关系),需要数形结合思想的指导,虽然教师不一定要明确地向学生 指出,但教学时还是要注意渗透. 3.恰当使用信息技术 在下列内容的教学中,应积极鼓励学生使用计算器或计算机,以加强知识的发生发展 过程,加深对有关概念的认识,突破学习中可能遇到的困难。 (1)终边相同的角的概念的认识; (2)弧度制的认识,弧度与角度的互化,非特殊角的三角函数值的计算,sin ,cos , tan 的使用; (3)任意角的三角函数的定义,用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数; (4)画三角函数的图象,用三角函数的图象研究三角函数的性质; (5)画函数 y=Asin( 响; (6)根据实际数据拟合函数图象. 4。具体教学建议 ①新教材 P11 习题 1。1 探究·拓展的第 13 题:若扇形的周长为定值 l,则该扇形的圆 心角为多大时,扇形的面积最大。 该题既可用“均值不等式”求最值,也可通过消元转化为二次函数求解。由于学生还 未接触不等式内容,所以只能要求学生用二次函数的有关知识寻求最值。 该题解答如下:设扇形半径为 R,弧长为 l ,由题设知。 2 R ? l ? l ,
' '
-1 -1 -1

φ )的图象,探索 A、ω 、φ 对

图象的影

S 扇形 ?

1 1 1 l' (l ? 2 R) R ? ? R 2 ? lR.当R ? l ,即l ' ? 2 R ? ? 2. 当该扇形的圆心角为 2 2 2 4 R

弧度时,扇形面积最大,最大值为

l2 。 16

②本章中,运用数形结合的思想方法帮助解题是新教材的一大亮点。 如 P18 例 4。求证:

sin ? 1 ? cos ? ? 。 1 ? cos ? sin ?

本题采用了两种方法证明后,让学生按图思考。 思考:右图中,隐藏了一个例 4 的“图形证明” ,你能发现吗? 该图,实际上是在单位圆中运用半圆上的圆周角为直角的定理, 得到 Rt △ABP,在 Rt △ABP 中运用射影定理;可得

sin ?是1 ? cos? 、 1 ? cos ? 的比例中项,即:
合得三角恒等式,是新教材的一个特色。

sin ? 1 ? cos ? ? 。运用图形、数形结 1 ? cos ? sin ?

③本章中,积极引导学生运用换元、转化、化归等思想方法思考、探究解决问题,是 新教材激发学生创新意识的一大举措。 如:P20 思考由公式二、三,你能导出公式四吗?根据公式二、三、四中的任意两组 公式,你能推导出另一组公式吗? 这里公式二、三、四,指的是“ ? ? ” 、 “ ? ? ? ”与“ ? ? ? ”三组诱导公式。课本 中的这一思考很有价值,它能激发学生的创新意识,而要实现这一思考,必须运用换元与转 化、化归等思想方法。 如果要用公式三、四 ? 公式二,应将角 ? ? 进行转化: ? ? ? ? ? (? ? ? ) ,这样得 到 sin(?? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) ? ? sin ? , ?。 这里根据公式二、三、四中任意两组,推出另外一组,共有
1 c3 ? 3 种推法,可让学充分活动、思索,动手试试。

再如: P21 探索, 若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y ? x 对称(如右图) 。 (1) 角 ? 与角 ? 的正弦函数和余弦函数之间有何关系? (2) 角

?
2

? ? 的终边与角 ? 的终边是否关于直线 y=x 对称?(3)由(1) 、 (2)你能发现什么结

论? 该题各小题证明,总起来看,由角 ? 终边分别在 I、II、III、IV 四个象限(再决定 ? 终

边所在象限)分类讨论,证明两 Rt △全等,然后用三角函数定义可得结论。 事实上,该题证明后,容易得到两角 ? 、 ? 终边关于直线 y=x 对称的充要条件是:

? ? ? ? 2k? ?
sin(

?
2

(k ? Z ) 。利用这一充要条件的命题可方便得出(3)的结论:

?
2

? ? ) ? cos ? , cos(

?
2

? ? ) ? sin ? , tan(

?
2

? ? ) ? cot ? 。

④充分利用单位圆这一工具,数形结合解决该章的一些问题。 该章例题、练习题、习题与复习题中的很多问题总是借助单位圆这一工具来解决。如: P24 思考·运用 18(2)已知 sin ? ? cos ? ?

1 (0 ? ? ? ? ), 求 tan ? 的值。与 P24 探究·拓 5

展第 19、20 等两题在解决过程中均与单位圆结下了不解之缘。 以下只以 P24 思考·运用 18(2)为例,进行简单解答,说明运用单位圆解题的必要 性。

1 24 平方 ? 2 sin ? cos ? ? ? 5 25 49 1 ? 3 ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? ?? ? 。由 sin ? ? cos ? ? , 通过画出单位圆可知 。再 25 5 2 4 ? 3? 7 ? sin ? ? cos ? ? ? 0 。 由 ?? ? 2 4 5
P24 思考·运用 18(2)简解:将 sin ? ? cos ? ? 联立方程组:

1 4 ? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? ? ? 4 ? ? 5 5 ?? ? tan? ? ? . ? 3 ?sin ? ? cos? ? 7 ?cos? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ?
注:以上在简解过程中,将 (sin ? ? cos ? ) ?
2

49 (?) 开方后进行“+” 、 “-”号的取舍 25 1 。? 角? 的终边只 能 落 在 5

是关键,要解决这一关键问题,现阶段只有依靠单位圆,画出(如上图)单位圆可知:角 ? 终边不能落在第 1 象限,∵ sin ? ? cos ? ? M 1 P 1 ? OM 1 ? 1 ?

((

? 3? , )范 围 内 , 这 时 才 有sin ? ? 0, cos? ? 0, 且sin ? ? cos? ,0 ? sin ? ? cos? ? 1。从
2 4

而得到(*)式开方后取“+”号。 以上根据题设条件,利用单位圆,限制角的取值范围,从而决定计算过程中“+” 、 “-” 值的取舍,这是解决三角问题通常采用的方法。 ⑤新教材在本章中突出了三角函数图象与性质知识的应用。 本章内容与原教材相比, 新 增了一节 1。3。4 三角函数的应用,这是新教材的一大亮点。该内容中,选取的三道例题以

及练习题、习题 1。3 的第 11 题、14 题、15 题、实习作业与本章复习题的第 15 题等等,总 是用三角函数来描述题中的周期函数。 这就启发我们思考: 为什么这些题均可用三角函数来 描述?是不是所有的周期函数总可以用三角函数来描述?大家知道, 回答这两个问题, 不是 一件容易的事。 但学生到高中学习数学, 不能光凭考察数据、 描点绘图来决定选用哪种函数, 也就是说不能只靠直观考察、合情推理来获得数学的结论,而应进行必要的逻辑推理。当然 这里要讲选用三角函数解题的理由, 条件尚未成熟, 但可在题设中直接告诉学生选用何种函 数,至于其中道理,可告诉学生,随着大家所学知识范围的扩大,将会弄清楚其中的道理。 这样做要比直接搞合情推理好得多。 ⑥用好章头语、章头题与章头图,将学生带进呈现周期变化的三角函数的世界。 章头图呈现的是碧波万顷的大海,容易联想到潮起潮落,波峰波谷,日出日落,寒来暑 往?这样就把学生的视线引向了现实世界广泛存在着的周期现象。 接着教科书在此背景下展 开了对周期现象的数学研究。 首先,教科书把目光聚集在一个“最简单又最基本的”周期现象上,提出了本章的中心 问题:怎样用数学模型刻画圆周上一点 P 的运动?为了解决这个问题,首先就要将点 P 表 示出来。 接着,章头语与章头题引言列举了表示点 P 的三种方法: (1)用角度表示; (2)用弧 长表示; (3)用坐标来表示。进而提出了更深入的问题: ? (角), l (弧长), x,y(坐标)之间 存在着怎样的内在联系? 容易看出,本章开卷语提出了一个研究的纲领。例如,为了用角度表示点 P,就需要引 入任意角;为了用弧长表示点 P,就需要引进弧度制;为了用坐标表示点 P,就需要建立三 角函数的概念??事实上,本章的内容正是根据这个纲领展开的。



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