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【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业(七十五) 理 新人教版



课时作业(七十五)
1. 已知关于 x 的不等式 2x+ 答案 3 2 2 2

x-a

≥7 在 x∈(a, +∞)上恒成立, 则实数 a 的最小值为________.

解析 2x+

x-a

=2(x-a)+

2

x-

a

+2a≥2
2

2?
2

x-a?
2

2

x-a

3 +2a=2a+4≥7,∴a≥ . 2

2.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x +y +z =1 的一切实数 x、y、z 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案 a≥4 或 a≤-2 解析 由柯西不等式得(x+2y+2z) ≤(1 +2 +2 )(x +y +z )=9,由题意|a-1|≥3, ∴a≥4 或 a≤-2. 3.已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. 求证: + > . 1+a 1+b 1+c 证明 本题若通分去分母,运算量较大,考虑到 a>0,b>0 可先试试分式的放缩. ∵a>0,b>0, ∴ ∴ > , > , 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b
2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

a a

a

b

b

b a+b + > , 1+a 1+b 1+a+b

a+b c ∴只需证: > . 1+a+b 1+c x 1 而函数 f(x)= =1- 在(0,+∞)上递增,且 a+b>c,∴f(a+b)>f(c). 1+x 1+x a+b c 即 > ,∴原不等式成立. 1+a+b 1+c
2 2 2 2 4.已知实数 a、b、c 满足 a+2b+c=1,a +b +c =1,求证:- ≤c≤1. 3 证明 因为 a+2b+c=1,a +b +c =1, 所以 a+2b=1-c,a +b =1-c . 由柯西不等式:(1 +2 )(a +b )≥(a+2b) , 5(1-c )≥(1-c) , 2 2 整理得 3c -c-2≤0,解得- ≤c≤1. 3 5.已知 x,y,z 均为正数.求证: +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z 1 1 1 + ≥ + + . yz zx xy x y z
1

x y 1 x y 2 y z 2 z x 2 证明 因为 x,y,z 均为正数,所以 + = ( + )≥ ,同理可得 + ≥ , + ≥ , yz zx z y x z zx xy x xy yz y
当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 +

x y yz zx

z 1 1 1 + ≥ + + . xy x y z
18 2 2 2 6.已知 x +2y +3z = ,求 3x+2y+z 的最小值. 17 解析 ∵(x +2y +3z )[3 +( 2) +( ≥(3x+ 2y 2+ 3z
2 2 2 2 2 2

1 3

)]
2

2

1

) =(3x+2y+z) , 3

2

∴(3x+2y+z) ≤12,-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当且仅当 x=- ,y=- ,z=- 时, 17 17 17 3x+2y+z 取最小值,最小值为-2 3. 7.已知实数 x、y、z 满足 x +4y +9z =a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 1,求 a 的值. 解析 由柯西不等式知: 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 [x +(2y) +(3z) ][1 +( ) +( ) ]≥(x+ ×2y+ ×3z) (当且仅当 x=4y=9z 时取等号). 2 3 2 3 因为 x +4y +9z =a(a>0), 49 7 a 7 a 2 所以 a≥(x+y+z) ,即- ≤x+y+z≤ . 36 6 6 7 a 36 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 =1,a= , 6 49 36 9 4 所以当 x= ,y= ,z= 时,x+y+z 取最大值 1, 49 49 49 36 所以 a 的值为 . 49 8.(2012·苏锡常镇一模)已知 a>b>c>0,求证:a+ 3 ? 立的条件) 解析 因为 a>b>c>0,所以 a-b>0,b-c>0, 3 所以 a=(a-b)+(b-c)+c≥3 ? 3 ≥6.(并指出等号成
2 2 2 2 2 2

a-b? ? b-c? c

a-b? ? b-c? c,

当且仅当 a-b=b-c=c 时,等号成立,

2

所以 a+ 3 ? 3 ≥3 ?

3

a-b? ? b-c? c
3 3 ?

a-b? ? b-c? c+

a-b? ? b-c? c
3 3 ? =6,

≥2

3 3 ?

a-b? ? b-c? c

a-b? ? b-c? c
3 3 ? 时,等号成立,故可求得 a=3,b=2,

3 当且仅当 3 ?

a-b? ? b-c? c=

a-b? ? b-c? c

c=1 时等号成立.
9.(2012·衡水调研卷)已知实数 m,n>0. (1)求证: + ≥

a2 b2 ? a+b? m n m+n

2



2 9 1 (2)求函数 y= + 〔x∈(0, )〕的最小值. x 1-2x 2 解析 (1)证明 因为 m,n>0,利用柯西不等式,得(m+n)( + )≥(a+b) ,

a2 b2 m n

2

a2 b2 ? a+b? 所以 + ≥ m n m+n

2

.
2 2 2

2 9 2 3 ? 2+3? (2)解 由(1),函数 y= + = + ≥ =25, x 1-2x 2x 1-2x 2x+? 1-2x? 2 9 1 1 所以函数 y= + 〔x∈(0, )〕的最小值为 25,当且仅当 x= 时取得. x 1-2x 2 5 10.(2011·辽宁理)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (Ⅰ)证明:-3≤f(x)≤3; (Ⅱ)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
2

?-3,x≤2, ? 解析 (Ⅰ)f(x)=|x-2|-|x-5|=?2x-7,2<x<5, ?3,x≥5. ?
当 2<x<5 时,-3<2x-7<3. 所以-3≤f(x)≤3. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5≤x≤6}.
3
2 2 2

综上,不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}. 11.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a +2b +3c +6d =5,试求 a 的最值. 解 由柯西不等式,得 1 1? 2 2 2 ?1 2 (2b +3c +6d )? + + ?≥(b+c+d) , 2 3 6? ? 即 2b +3c +6d ≥(b+c+d) ,由条件,可得 5-a ≥(3-a) , 解得 1≤a≤2,当且仅当 2b 3c 6d = = 时等号成立, 1 1 1 2 3 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 2 1 即当 b= ,c= ,d= ,amax=2;b=1,c= ,d= 时,amin=1. 2 3 6 3 3 12.(2011·安徽理)(Ⅰ)设 x≥1,y≥1,证明:

x+y+ ≤ + +xy; xy x y
(Ⅱ)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 解析 (Ⅰ)由于 x≥1,y≥1,所以

1

1

1

x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y
将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1]=[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+
2 2

1

1

1

y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).
既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (Ⅱ)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy.

xy

x

y

1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+ ≤ + +xy,

xy x y

其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(Ⅰ)可知所要证明的不等式成立.

1 2 1 2 1 2 100 1.设 a,b,c 为正数且 a+b+c=1,求证:(a+ ) +(b+ ) +(c+ ) ≥ . a b c 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 证明 左边= (1 +1 +1 )[(a+ ) +(b+ ) +(c+ ) ]≥ [1×(a+ )+1×(b+ )+1×(c+ 3 a b c 3 a b

4

1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 100 2 )] = [1+( + + )] = [1+(a+b+c)( + + )] ≥ (1+9) = . c 3 a b c 3 a b c 3 3 2.(2012·大连一模)已知对于任意非零实数 a 和 b,不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+ |2-x|)恒成立,试求实数 x 的取值范围. 解析 由 题 知 , |2 + x| + |2 - x|≤ |2a+b|+|2a-b| 恒 成 立 , 故 |2 + x| + |2 - x| 不 大 于 |a|

|2a+b|+|2a-b| 的最小值. |a| 因为|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,当且仅当 |2a+b|+|2a-b| (2a+b)(2a-b)≥0 时取等号.所以 的最小值等于 4. |a| 所以 x 的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4 的解集,解不等式得-2≤x≤2. 3.(2011·大纲全国理)(Ⅰ)设函数 f(x)=ln(1+x)- 2x ,证明:当 x>0 时,f(x)>0; x+2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张, 然后放回, 用这种方式连续抽取 20 次, 9 19 1 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p.证明:p<( ) < 2. 10 e 解析 (Ⅰ)f′(x)=

x2
? x+1? ? x+2?

2

.

当 x>0 时,f′(x)>0,所以 f(x)为增函数,又 f(0)=0,因此当 x>0 时,f(x)>0. 100×99×98×…×81 (Ⅱ)p= . 20 100 又 99×81<90 98×82<90 ,…,91×89<90 , 9 19 所以 p<( ) . 10 由(Ⅰ)知:当 x>0 时,ln(1+x)> 2 因此(1+ )ln(1+x)>2. 2x , x+2
2, 2 2

x

1 10 10 19 2 在上式中,令 x= ,则 19ln >2,即( ) >e . 9 9 9 9 19 1 所以 p<( ) < 2. 10 e 4.已知 f(x)= 1+x ,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|. 证明 |f(a)-f(b)|=| 1+a - 1+b | = |a -b | 1+a + 1+b
2 2 2 2 2 2 2

5



|a-b||a+b| 1+a + 1+b
2 2

|a-b|? |a|+|b|? |a-b|? |a|+|b|? ≤ < =|a-b|. 2 2 1+a + 1+b a2+ b2 5.(2012·南通)设 n∈N ,求证: Cn+ Cn+…+ Cn≤ n? 证明 由柯西不等式,得 ( Cn+ Cn+…+ Cn) ≤(1+1+…+1)(Cn+Cn+…+Cn)=n[(1+1) -1]=n(2 -1). ∴ Cn+ Cn+…+ Cn≤ n? 2 -1?
1 2 1 2 * 1 2

n

2 -1? .

n

n 2

1

2

n

2

n

n

n

.

6



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