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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第2篇 第3节 函数性质的综合应用课件 文 新人教版



第 3 节 函数性质的综合 应用

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合
1.函数的最值
前提

抓主干

固双基

一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意的 x∈I, 对于任意的

x∈I,都有 f(x)≤M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 都有 f(x)≥M; 存在 x0∈I, 使得 f(x0)=M. M 为最小值

条件

结论

2.函数奇偶性、对称性和周期性的几个关系
(1)若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周 期为 2a; (2)若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周 期为 4a; (3)若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数,则 f(x) 周期为 4a; (4)若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x) 周期为 2a.

双基自测
1.(2013 年高考湖南卷)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( B ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),
? ? ? f ? ?1? ? g (1) ? 2, ? ? f ?1? ? g (1) ? 2, ?? ? ? ? ? f ?1? ? g (1) ? 4, ? f ?1? ? g ( ?1) ? 4

解得 g(1)=3.故选 B.

2.(2013 年高考湖北卷)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( D ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数 解析:因为 f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以 f(x)是周期函数, 故选 D.

3.函数 f(x)=

1 的最大值是( 1 ? x ?1 ? x ?

D )

4 (A) 5

5 (B) 4

3 (C) 4
2

4 (D) 3

解析:法一 ≧1-x(1-x)=x -x+1

1 2 3 3 4 1 =(x- ) + ≥ ,?0< ≤ , 1 ? x ?1 ? x ? 2 4 4 3 1 4 即 f(x)的最大值为 ,当 x= 时取到. 2 3

? x ?1? x ? 1 法二 ≧x(1-x)≤ ? ? = , 2 ? ? 4

2

1 3 ?1-x(1-x)≥1- = , 4 4
1 ?0< ≤ 1 ? x ?1 ? x ?

4 , 3

1 4 ?当 x=1-x 即 x= 时,f(x)取到最大值 .故选 D. 2 3

4.(2012 年高考安徽卷)若函数 f(x)=|2x+a|的单调 递增区间是[3,+∞),则 a= .

a 解析:函数的图象是以(- ,0)为端点的 2 条射线 2 a 组成,所以- =3,a=-6. 2
答案:-6

考点突破
考点一 求函数的最值

剖典例

知规律

1 1 1 【例 1】 (1)函数 f(x)= + (a>0,x>0),在[ ,2]上的最大值是 2 a x
最小值是 (2)函数 y=2 .

,

x -x(x≥0)的最大值为

.

?a, a ? b, (3)对 a,b∈R,记 max|a,b|= ? 函数 f(x)=max||x+1|,|x-2||(x∈R) ?b, a ? b,
的最小值是 .

1 思维导引:(1)首先判断 f(x)在[ ,2]上的单调性,再 2
求解; (2)通过换元转化为给定区间二次函数的最值问题求解; (3)理解题意,画出函数图象求解. 解析:(1)显然函数 f(x)在(0,+≦)上是减函数,

1 1 ?当 x= 时,f(x)取到最大值 +2,当 x=2 时,f(x)取到 2 a

1 1 最小值 + . a 2

(2)令

x =t,t≥0,则 x=t ,?y=2t-t =-(t-1) +1,
2 2 2

?当 t=1 即 x=1 时,y 取到最大值 1. (3)画出函数 f(x)的大致图象如图所示. (实线部分).

1 令 x+1=2-x 得 x= . 2
由图象可以看出,

1 3 当 x= 时,f(x)取到最小值 . 2 2

1 答案:(1) +2 a

1 1 + a 2

3 (2)1 (3) 2

反思归纳

(1)求函数值域与最值的常用方法:

①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值. ②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低 点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方 法求解. ④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用 相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值, 求出值域或最值.

(2)对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意 x1,x2 在所给 区间上比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或

f ? x2 ?

f ? x1 ?

与 1 的大

小(f(x)>0 或 f(x)<0).有时根据需要,需作适当的变形:

x1 如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等. x2

即时突破 1 (1)若函数 g(x)=ax2+2x-1 有最大值 3,则实数 a
的值为 . (2)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 x f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值 为 . 解析:(1)要使 g(x)=ax2+2x-1 有最大值 3,
? ? a ? 0, ? 1 因此有 ? ? ? 4 ? 4 a ? 0, 解得 a=- . 4 ? ?a ? 1 ? ? 3, ? a

(2)画出大致图象如图所 示(实线部分) 令 x+2=10-x,得 x=4, 由图象可以看出,当 x=4 时,f(x)取到最大值 6.
1 答案:(1)4

(2)6

考点二 函数单调性的应用
【例 2】 (1)若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m )的实数 m 的取值范围是
2

.

ax ? 1 (2)若函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数, x?2

则 a 的取值范围是

.

思维导引:(1)利用函数的单调性,把函数值的大小关系转 化为自变量的大小关系,再解不等式得 m 的取值范围. (2)把问题转化为当-2<x1<x2 时不等式 f(x1)-f(x2)<0 恒成 立,得到关于 a 的不等式求解或利用该函数的图象与反比 例函数图象的关系求解. 解析:(1)≧f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-m)<f(m2)得 2-m<m2, 解得 m>1 或 m<-2. ?m 的取值范围是 m∈(-≦,-2)∪(1,+≦).

(2)法一 在区间(-2,+≦)上任取两变量 x1,x2 且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= =
ax1 ? 1 ax2 ? 1 x1 ? 2 x2 ? 2

? ax1 ? 1?? x2 ? 2? ? ? ax2 ? 1?? x1 ? 2? = ? x1 ? x2 ?? 2a ? 1? , ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

由于-2<x1<x2, 所以 x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0, 由 f(x)为(-2,+≦)上的增函数知 f(x1)-f(x2)<0,因此 2a-1>0,

1 即 a> . 2

ax ? 1 a ? x ? 2? ? 1 ? 2a 1 ? 2a 法二 f(x)= = =a+ x?2 x?2 x?2
由于函数 f(x)的图象向右平移 2 个单位,

1 ? 2a 1 ? 2a 得到 y=a+ 的图象,因此函数 y= 为(0,+≦)上 x x
1 的增函数,所以 1-2a<0,即 a> . 2 1 答案:(1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)( ,+∞) 2

反思归纳
围的方法:

利用函数的单调性求参数的取值范

(1)将参数看成已知数,依据函数的图象或单调性 定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较 求参; (2)利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为 自变量的大小关系,解不等式得参数范围; (3)直接利用函数单调性的定义,作差、变形,由 f(x1)-f(x2)的符号确定参数的范围.

即时突破 2 在本例题(1)中,若 f(x)为区间[0,4]
上的增函数,则 m 的取值范围为 解析:≧f(x)在[0,4]上是增函数,且 f(2-m)<f(m2),
?0 ? 2 ? m ? 4, ? ? ?0 ? m 2 ? 4, 解得 1<m≤2. ? 2 2 ? m ? m , ?

.

答案:(1,2]

考点三 函数奇偶性的应用
【例 3】 (1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值 为 . (3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减 函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是 . 解析:(1)≧f(x)是 R 上的奇函数, 又 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ?f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+1]=-3,故选 A.

(2)法一 ≧f(x)是偶函数,?恒有 f(-x)=f(x), -x x x -x 即-x(e +ae )=x(e +ae ),化简得, x(e +e )(a+1)=0. ≧此式对任意实数 x 都成立,?a=-1. x -x 法二 设 g(x)=e +ae ,x∈R, 由题意知,g(x)为奇函数,?g(0)=0, 则 1+a=0,即 a=-1.
-x x

(3)≧y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-≦,0]上是 减函数, ?函数 y=f(x)在[0,+≦)上是增函数. ?当 a>0 时,由 f(a)≥f(2)可得 a≥2, 当 a<0 时,由 f(a)≥f(2)=f(-2),可得 a≤-2. 所以实数 a 的取值范围是(-≦,-2]∪[2,+≦). 答案:(1)A (2)-1 (3)(-∞,-2]∪[2,+∞)

反思归纳

应用函数奇偶性可解决的问题及方法

(1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值 求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用 奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方 程(组),从而得到 f(x)的解析式.

(3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 得到关 于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值 或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.

即时突破 3 (2013 年高考重庆卷)已知函数
f(x)=ax +bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,
3

则 f(lg(lg 2))等于(

) (D)4

(A)-5 (B)-1 (C)3 解析:因为 f(-x)+f(x)=8.

1 又 lg(log210)=lg( )=-lg(lg 2), lg 2

?f(lg(log210))+f(lg(lg 2))=8, 即 f(lg(lg 2))=8-f(lg(log210))=3.故选 C.

考点四 函数性质的综合应用
【例 4】(1)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1

5 时,f(x)=2x(1-x),则 f(- )等于( 2 1 (A)2 1 (B)4 1 (C) 4 1 (D) 2

)

(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2

取值范围是(

)

1 1 (A)[1,2] (B)(0, ](C)[ ,2](D)(0,2] 2 2

思维导引:(1)利用函数的周期性和奇偶性直接 求解. (2)利用函数的奇偶性转化为函数值的大小关系, 再利用函数单调性转化为关于 a 的不等式求解.
1? ? 5? ?5? ? ?1? 解析:(1)f ? ? ? =-f ? ? =-f ? 2 ? ? =-f ? ? 2? ?2? ?2? ? 2? ?
1 ? 1? 1 =-2× × ?1 ? ? =- .故选 A. 2 ? 2? 2

(2)由题得 f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1), 即 f(log2a)≤f(1), 则-1≤log2a≤1,
1 所以 ≤a≤2,故选 C. 2

反思归纳

函数性质的综合应用主要指利用函数

的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质的相互 关系及转化来解决函数求值、值域、参数范围、零 点等问题,有时根据性质作出草图,借助图象解决.

即时突破 4 (2013 汕头高三期末)已知定义在 R 上的奇函
数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且 x∈[0,2] 时,f(x)=log2(x+1),甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论: 甲:f(3)=1; 乙:函数 f(x)在[-6,-2]上是减函数; 丙:函数 f(x)关于直线 x=4 对称; 丁:若 m∈(0,1),则关于 x 的方程 f(x)-m=0 在[0,6]上所有 根之和为 4. 其中结论正确的同学是 .

解析:f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 则 f(x)的最小正周期 T=8, 又 x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1), 且定义在 R 上 f(x)是奇函数, 则 f(x)的大致图 象如下: 故甲、 乙、 丁正确. 答案:甲、乙、丁

备选例题
【例 1】 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x -x-1,求 f(x)的解析式; (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0] 2 内递减,求满足 f(1-m)+f(1-m )<0 的实数 m 的取值范围. 解:(1)≧f(x)是定义在 R 上的奇函数,?f(0)=0, 当 x<0 时,-x>0,由已知得 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1 =-f(x).?f(x)=-x2-x+1.
? x 2 ? x ? 1 ( x ? 0), ? ( x ? 0), ?f(x)= ?0 ? 2 ?? x ? x ? 1 ( x ? 0),
2

(2)≧f(x)的定义域为[-2,2],
? ??2 ? 1 ? m ? 2, ?有 ? 解得-1≤m≤ 3 . 2 ? ??2 ? 1 ? m ? 2,



又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ?在[-2,2]上递减, 2 2 ?f(1-m)<-f(1-m )=f(m -1), 2 ?1-m>m -1,即-2<m<1. 综合①②可知,-1≤m<1.



【例 2】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函 数 f(x)的解析式. (1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x), ?f(x+2)=f(x+1+1)=f(1-(1+x))=f(-x),

≧f(x)是定义在 R 上的奇函数, ?f(-x)=f(x), ?f(x+2)=-f(x), ?f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), ?函数 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解:≧f(x)是定义在 R 上的奇函数, ?f(0)=0,?f(x)= x (0≤x≤1), 当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],?f(-x)= ? x ,

?f(x)=-f(-x)=- ? x ,x∈[-1,0], 当 x∈[-5,-4]时,(x+4)∈[-1,0], ?f(x)=f(x+4)=- ? x ? 4 , ?当 x∈[-5,-4]时,f(x)=- ? x ? 4 .

思想方法 转化与化归思想在函数问题中的应用
【典例】 (2013 四川宜宾一诊)已知 f(x)是定义在[-1,1] 上的奇函数且 f(1)=1,当 x1,x2∈[-1,1],且 x1+x2≠0 时,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? >0,若 f(x)≤m2-m+1 对所有 x∈[-1,1]恒 x1 ? x2
成立,则实数 m 的取值范围是 .

分析:根据函数的奇偶性及已知不等式可确定函数 f(x)的单调性. 不等式 f(x)≤m -m+1 对所有 x∈[-1,1]恒成立,等价于 2 f(x)max≤m -m+1,x∈[-1,1], 进而可求得 m 的取值范围.
f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? 解析:用-x2 替代 x2 有 >0, x1 ? x2
2

由于 f(x)是[-1,1]上的奇函数,

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? 因此 >0,所以 f(x)为[-1,1]上的增 x1 ? x2

函数. f(x)≤f(1)=1, 不等式 f(x)≤m -m+1 对所有 x∈[-1,1]恒成立. 2 2 则 m -m+1≥1,即 m -m≥0,解得 m≥1 或 m≤0, 故实数 m 的取值范围是(-≦,0]∪[1,+≦). 答案:(-∞,0]∪[1,+∞)
2

方法点睛

本题主要考查转化与化归的数学思想

在函数问题中的应用. 解题的关键是正确地进行两个转化:①将
f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? >0 转化为 >0,从而确定 x1 ? x2 x1 ? x2

函数的单调性. ②将 f(x)≤m -m+1 对所有 x∈[-1,1]恒成立转化为 m -m+1≥f(1)=1,从而求出 m 的取值范围.
2 2

即时突破 (2013 山东青岛一模)已知函数 f(x)=2 ,
x

对于满足 0<x1<x2<2 的任意 x1,x2,给出下列结论. ①(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0 ②x2f(x1)<x1f(x2) ③f(x2)-f(x1)>x1-x2
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ④ >f( ) 2 2

其中正确结论的序号是( (A)①② (B)①③

) (D)③④

(C)②④

解析:函数 f(x)=2 为(0,2)上的增函数,故①不正确; 函数 g(x)=2x+x 为(0,2)上的增函数,由于 0<x1<x2<2, 则 2 x +x1< 2x +x2,即 2x - 2 x >x1-x2,
1 2 2 1

x

即 f(x2)-f(x1)>x1-x2,故③正确;

1 取 0<x1= <x2=1<2,则 2
f ? x1 ? = x1

2 f ? x2 ? =2 2 , =2, x2 1 2

1 2

f ? x1 ? f ? x2 ? 于是 > ,即 x2f(x1)>x1f(x2),故②不正确, x1 x2

由于 0<x1<x2<2,
x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 所以 = > 2 x1 ? x2 = 2 2 2 2

x1 ? x2 =f( ), 2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x ?x 即 >f( 1 2 ),故④正确.故选 D. 2 2



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