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山东省烟台市2015届高三一模数学试题(理科、含答案)



小记:以下试卷全是根据个人从网上下载整理而来。颇具可靠性,专门为 2015 年考山东各地教师的

应届生、往届生准备。

山东省烟台市 2015 年高考诊断性测试 数学(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1 ? ? 1、若集合

? ? ??1,0, ,1? ,集合 ? ? y y ? 2 x , x ? ? ,则集合 ? ? ? ( 2 ? ? 1 ? ? A. ??1, 0, ,1? 2 ? ? ? 1 ? B. ?0, ,1? ? 2 ? ?1 ? C. ? ,1? ?2 ?

?

?

) D. ?0,1?

2、复数 z ?
5 1 A. ? i 2 2

3 ? 2i 的共轭复数 z ? ( 1? i


1 5 C. ? i 2 2 1 5 D. ? i 2 2

5 1 B. ? i 2 2

3、“ ? ? 2k? ?

?
2

, k ? ? ”是“函数 f ? x ? ? cos ? 2x ? ? ? 的图象过原点”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、甲乙两名同学参加某项技能比赛, 7 名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示,依 此判断( )

A.甲成绩稳定且平均成绩较高 B.乙成绩稳定且平均成绩较高 C.甲成绩稳定,乙平均成绩较高 D.乙成绩稳定,甲平均成绩较高 5、某程序的框图如右图所示,执行该程序,则输出的 结果为( A. 12 C. 14
tn 6、 已知 ? ,? ? ? 0, ? ? , 且a

) B. 13 D. 15

?? ? ? ? ?
? 4 3? D. 4
B.

1 1 ,tan ? ? ? , 2 7

则 2? ? ? 的值是( A. ?



?

4 3? C. ? 4

?x ? y ? 4 ? 0 ? 7、设点 ? a, b ? 是区域 ? x ? 0 内的随机点,函数 y ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 ?1, ?? ? 上是 ?y ? 0 ?

增函数的概率为( A.
1 3

) B.
2 3

C.

1 4

D.

1 2

8、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,线段 F1F2 被抛物 a 2 b2

线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 5 : 3 两段,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.
3 2 4

) D.
2 3 3

???? 、 ? ? C、 ???C ???C ? 30 , 9、 已知 ? 是 ??? C 内一点, 且 ??? ?C ? 2 3 , 若?

1 1 4 的面积分别为 、 x 、 y ,则 ? 的最小值是( 2 x y

) C. 18 D. 20

A. 9

? ? f ? x? , x ? 0 10、已知函数 f ? x ? ? a log2 x ? 1( a ? 0 ),定义函数 F ? x ? ? ? ,给出下列命 ? ? f ??x? , x ? 0

B. 16

题 :① F ? x ? ? f ? x ? ;② 函数 F ? x ? 是偶函数; ③当 a ? 0 时,若 0 ? m ? n ? 1 ,则有

F? m? ? F? n? ? 0成立;④当 a ? 0 时,函数 y ? F ? x ? ? 2 有 4 个零点.其中正确命题的个数
为( ) D. 3 .

A. 0 B. 1 C. 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11、若不等式 log 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? m ? ? 2 恒成立,则实数 m 的取值范围是

12、现有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面,把 4 枚硬币摆成一摞,满足相 邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法 有 种(用数字作答).

13、若某四面体的三视图如右图所示,则这个 四面体四个面的面积中最大值的是 14、已知 f ? x ? ? 经计算: f1 ? x ? ? .

x ? ,??? , f ? , n ? ?? , , f1 ? x ? ? f ? ? x ? , f 2 ? x ? ? ? f1 ? x ?? f n ? x ?? n ?1 ? x ? ? ? x ? ? ? ? e 1? x x?2 3? x , f 2 ? x ? ? x , f 3 ? x ? ? x ,??? , 照此规律则 fn ? x ? ? x e e e



15、已知圆 C : ? x ? 4 ? ? ? y ? 3? ? 1 和两点 ? ? ?m,0? , ? ? m,0? ( m ? 0 ),若圆 C 上至少
2 2

存在一点 ? ,使得 ???? ? 90 ,则 m 的取值范围是



三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 16、(本小题满分 12 分)在 ??? C 中,角 ? 、 ? 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 sin 2 ? ? sin 2 C ? sin 2 ? ? sin ? sin C . ?1? 求角 ? 的大小;

? 2 ? 若 cos ? ? 3 , a ? 3 ,求 c 值.

1

17、(本小题满分 12 分)为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了理科、文 科两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法(层内采用简单 随机抽样)从两组中共抽取 3 名同学进行测试. ?1? 求从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率;

? 2 ? 记 ? 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

18、(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn 且满足条件:
S2 n 4n ? 2 ( n ? ?? ). ? Sn n ?1

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
且有 ? 2 ? 若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 ?n , 是等比数列;又 cn ?
?n?1 ? bn ? 1 ( n ? ?? ) , 证明: 数列 ?bn ?1? ?1 b1 ? 3 , ?n ? bn 2an ? 1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn . bn ? 1

19、 (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 ? ? ??CD 中,

?D//?C , ?? ? ?D , ?? ? ?? , ?C ? 2?? ? 2?D ? 4?? ,平面 ??? ? 平面 ?? CD . ?1? 求证:平面 ??D ? 平面 ??C ;

? 2 ? 若直线 ?? 与平面 ??C 所成的角的正弦值为

5 ,求二面角 ? ? ?C ? D 的余弦值. 5

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点 F ?1,0? ,过点 F a 2 b2 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 ? , Q 两点,当直线 ?Q 经过椭圆的一个顶点时其

20、(本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

倾斜角恰好为 60 .

?1? 求椭圆 C 的方程; ? 2 ? 设 ? 为坐标原点,线段 ? F 上是否存在点 ? ?t,0? ,使得 Q? ? ?? ? ?Q ? ?Q ?若存在,
求出实数 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

21、(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

ax ? 1 ( a ? 0 ). 1 ? x2 ?1? 当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 图象在点 ? 0,1? 处的切线方程;

? 2 ? 求函数 f ? x ? 的单调区间; ? 3? 若 a ? 0 ,g ? x? ? x2emx ,且对任意的 x1 ,x2 ??0, 2? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求实数 m
的取值范围.

参考答案
一、选择题 CBADC CADCD 二、填空题 11. (??, ?1] 三、解答题 16.解:(1)由正弦定理可得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 12. 5 13. 10

(?1) n ( x ? n) 14. ex

15. 4 ? m ? 6

由余弦定理: cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

???????2 分

因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

?
3

.

(2)由(1)可知, sin A ?

3 , 2

???????4 分

因为 cos B ?

2 2 1 ,B 为三角形的内角,所以 sin B ? , 3 3

???????6 分

故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 1 1 2 2 3?2 2 ? ? ? ? 2 3 2 3 6
a c , ? sin A sin C

???????9 分

由正弦定理 得c ?

a 3 3?2 2 2 6 . sin C ? ? ? 1? sin A 6 3 3 2

???????12 分

17.解:(1)两小组的总人数之比为 8:4=2:1,共抽取 3 人,所以理科组抽取 2 人, 文科组抽取 1 人, ???????2 分 从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有:一男一女、两女,
1 1 C3 C5 ? C32 9 所以所求的概率为: P ? ? . C82 14

???????4 分

(2)由题意可知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, 相应的概率分别是

???????5 分

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 C50C32 C3 C3 C5 C3 C32 1 9 48 , , ? P ( ? ? 1) ? ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 112 C8 C4 C8 C4 112

1 1 1 C3 C5 1 C52 C3 C52 1 45 10 P(? ? 2) ? 2 1 ? 2 1 ? , P (? ? 3) ? 2 1 ? ,??????9 分 C8 C4 C8 C4 112 C8 C4 112

所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

9 112

48 112

45 112

10 112

E? ? 1?
18.解:

48 45 10 3 ? 2? ? 3? ? . 112 112 112 2

(1) ?

S 2 n 4n ? 2 ? Sn n ?1

(n ? N ? )

?当n ? 1, 则

S2 a ? a1 ? 3, 2 ? 3结合a1 ? 1得a2 ? 2 S1 a1
??????2 分

∴ d ? a2 ? a1 ? 1 所以 an ? n (2)由

an ? a1 ? (n ? 1)d ? n
??????4 分

(n ? N ? )

Tn ?1 ? bn ? 1 ? 1可得Tn ?1 ? bn ? 1 ? Tn ? bn Tn ? bn
??????4 分 ??????6 分

所以 Tn ?1 ? Tn ? 2bn ? 1 , bn ?1 ? 2bn ? 1 , bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) 所以 {bn ? 1} 是等比数列且 b1 ? 1 ? 2 , 公比q ? 2 ∴ ∴

bn ? 1 ? (b1 ? 1)q

n ?1

? 2? 2

n ?1

?2

n

??????8 分 bn ? 2 n ? 1 2an ? 1 2n ? 1 1 ∴ cn ? ??????9 分 ? ? (2n ? 1) ? ( ) n n bn ? 1 2 2 1 1 1 1 ∴ Wn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 3 ? ( ) ? 5 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n 2 2 2 2 2n ? 5 利用错位相减法,可以求得 Wn ? 5 ? . ??????12 分 2n 19.解:(1)∵平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB , AB ? PA , ∴ PA ? 平面 ABCD , ??????2 分 示, 又∵ AB ? AD ,故可建立空间直角坐标系 o ? xyz 如图所 不妨设 BC ? 4, AP ? ? (? ? 0) , 则有 D (0, 2, 0), E (2,1, 0), C (2, 4, 0), P(0, 0, ? ) , ∴ AC ? (2, 4, 0), AP ? (0, 0, ? ), DE ? (2, ?1, 0) , ∴ DE AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0, DE AP ? 0 , ∴ DE ? AC , DE ? AP , ∴ DE ? 平面 PAC . 又 DE ? 平面 PED ∴平面 PED ? 平面 PAC ??????4 分

??????6 分

(2)由(1),平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ?1, 0) , PE ? (2,1, ?? ) ,

设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ? ,

? sin ? ?| cos ? PE , DE ?|?|
∵? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P (0, 0, 2)

4 ?1 5 5 ? ?2

|?

5 ,解得 ? ? ?2 , 5

??????8 分

设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , DC ? (2, 2, 0), DP ? (0, ?2, 2) , 由 n ? DC , n ? DP , ∴?

? 2x ? 2 y ? 0 ,不妨令 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1, ?1) ? ??2 y ? 2 z ? 0 2 ?1 15 , ? 5 3 5

?????10 分

∴ cos ? n, DE ??

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角, ∴二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 20.解:(1)由题意知 c ? 1 , 又

15 . 5

?????12 分

b ? tan 60 ? 3 ,所以 b 2 ? 3 , c

?????2 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ?1 ; 4 3

?????4 分

(2)设直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1), (k ? 0) ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得: 4 3

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,线段 PQ 的中点为 R ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x2 4k 2 3k ? , y0 ? k ( x0 ? 1) ? ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

?????7 分

由 QP ? TP ? PQ ? TQ 得: PQ ? (TQ ? TP ) ? PQ ? (2TR ) ? 0 , 所以直线 TR 为直线 PQ 的垂直平分线, 直线 TR 的方程为: y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ) , 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

?????9 分

k2 1 令 y ? 0 得: T 点的横坐标 t ? , ? 2 3 3 ? 4k ? 4 k2
因为 k ? (0, ??) , 所以
2

?????10 分

3 1 ? 4 ? (4, ??) ,所以 t ? (0, ) . ?????12 分 2 k 4

所以线段 OF 上存在点 T (t , 0) 使得 QP ? TP ? PQ ? TQ ,其中 t ? (0, ) . 21.解(1)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 4

?????13 分

x ? 1 , f (0) ? 1 , 1 ? x2
?????2 分

f ?( x) ?

( x 2 ? 1) ? x ? 2 x 1 ? x2 ? , ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

所以 f ?(0) ? 1 ,切线方程为 y ? 1 ? 1 ? ( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 (2)由题意可知,函数 f ( x) 的定义域为 R ,

?????4 分

f ?( x) ?

a ( x 2 ? 1) ? ax ? 2 x a (1 ? x 2 ) a (1 ? x)(1 ? x) ? 2 ? , ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

?????6 分

当 a ? 0 时, x ? (?1,1) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数, x ? (??, ?1), (1, ??) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; 当 a ? 0 时, x ? (?1,1) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数, x ? (??, ?1), (1, ??) , f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. ?????8 分

(3)“对任意的 x1 , x2 ? [0, 2], f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于“当 a ? 0 时,对任意的

x1 , x2 ? [0, 2], f min ( x) ? g max ( x) 成立”,当 a ? 0 时,由(2)可知,函数 f ( x) 在 [0,1] 上单调
递增,在 [1, 2] 上单调递减,而 f (0) ? 1, f (2) ?

2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 , 5

g ?( x) ? 2 xe mx ? x 2e mx ? m ? (mx 2 ? 2 x)e mx ,
当 m ? 0 时, g ( x) ? x ,
2

x ? [0, 2] 时, g max ( x) ? g (2) ? 4 ,显然不满足 g max ( x) ? 1 ,
当 m ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0, x2 ? ? (i)当 ?

?????10 分

2 , m

2 ? 2 ,即 ?1 ? m ? 0 时,在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0, 2] 单调递增,所以 m

g max ( x) ? g (2) ? 4e 2 m ,只需 4e 2 m ? 1 ,得 m ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? m ? ? ln 2

2 2 2 ? 2 ,即 m ? ?1 时,在 [0, ? ], g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,在 [? , 2], g ?( x) ? 0 , m m m 2 4 g ( x) 单调递减,所以 g max ( x) ? g (? ) ? 2 2 , m me 4 2 只需 2 2 ? 1 ,得 m ? ? ,所以 m ? ?1 me e 2 (iii) 当 ? ? 0 , 即 m ? 0 时, 显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递增,g max ( x) ? g (2) ? 4e 2 m , m
(ii) 当 0 ? ?

4e 2 m ? 1 不成立,
综上所述, m 的取值范围是 (??, ? ln 2]

?????13 分 ?????14 分



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