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椭圆的离心率求解策略(含答案)



椭圆离心率的求法
课程学习目标
知识目标:掌握求解椭圆离心率及其取值范围的几类方法; 能力目标:培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力; 情感目标:通过独立思考,互相交流使学生主动领悟、吸收、内化解题规律,提高学习数学的兴 趣,探索新知识的能力及勇于创新的精神.

x 例 2.椭圆 2 a

2

y + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 , b

2

A

以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的 另两边,则椭圆的离心率 e.

B

F1

F2

学习重难点
重点:椭圆离心率的求法; 难点:通过回归定义,结合几何图形,建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离 心率 练习 3. 以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于点 M、 N,若直线 MF1(F1 为椭圆左焦点)是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为( ) A.2- 3
D P Q A

离心率在椭圆中的几何表示
如图,O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点, 准线 L 交 OA 于 B,P、Q 在椭圆上,PD⊥L 于 D,QF⊥AO 于 F,设椭圆的离心率为 e, |PF| |QF| 证明:①e= ②e= |PD| |BF| |AO| |AF| |FO| ③e= ④e= ⑤e= |BO| |BA| |AO|

B. 3 -1

C.

2 2

D.

3 2

练习 4.过椭圆
F O B B B

B

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M , N 两点,以 a 2 b2
. y 、F2 (c,0),P 是以|F1F2|为直径的 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) b
2

MN 为直径的圆恰好过左焦点,则椭圆的离心率等于
x 练习 5.椭圆 2 a
2

+

圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求 e?

探究一:利用定义直接求 a , c 例 1.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等
于 .

探究三:构造关于 e 的(a,b,c 的齐次)方程
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上焦点为 F ,左、右顶点分别为 B1 , B2 ,下顶点为 A ,直 a 2 b2 ??? ? ???? ? 线 AB2 与直线 B1 F 交于点 P ,若 AP ? 2 AB2 ,则椭圆的离心率为___________.
例 3.已知椭圆

练习 1.已知 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,若椭圆 a 2 b2
)
A

上一点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 4 ,则椭圆的离心率 e ? (

????

???? ?

练习 6.已知椭圆

A.

3 2

B. 3

C.

1 2

?

x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0)的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,若 a2 b2


D. 2

B

6

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆” ,那么“优美椭圆”的离心率为 练习 7.F 为椭圆

练习 2.一个圆柱形容器里装有水,放在水平地面上,现将该容器倾斜,这时水面是一个椭圆面 (如上图) ,当圆柱的母线 AB 与地面所成角 ? ?

? 时,椭圆的离心率是 6



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 ?AOF 为正三角形, a 2 b2


那么椭圆的离心率为

探究二:构造焦点三角形求离心率

探究四:结合几何条件与第二定义求解
例 4.如图,点 P 在椭圆

练习 10.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC,BD,设内层 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,过点 P 作 a 2 b2


x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 ? ,则椭圆的离心率为 2 4 a b
1 B. 2

椭圆右准线的垂线,垂足为 M,若四边形 PF1F2 M 为菱形,则椭圆的离心率是 y



)A.

2 C. 2

3 2

D.

3 4

P

M

探究六:构造不等式求离心率的范围
F1 O F2 x 例 7.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 点,则此椭圆离心率的取值范围是 ( 例 5.椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上满足 PF1 ? PF2 ? c 2 的 2 a b
) C. [

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点,若 a 2 b2


A. [

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

|F1A|=2|BF1|, 则椭圆的离心率是

x2 y 2 例 8.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P a b
满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 .

练习 8.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的 ? 2 ? 1 (a>b>0)的 离心率为 2 a b 2

直线与椭圆 C 相交于 A、 两点, AF ? 3FB 。 k ? ( B 若 则

????

??? ?

) A1

B2

C 2

D 3

练习 11.设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的 a2 b2

练习 9.过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 0 的直线交椭圆于 A, B 两点,若 FA ?

3 FB ,则 2

点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 A、 (0, )

椭圆的离心率等于(



A.

2 3

B.

2 5

C.

1 2

D.

2 3

1 2

B、 (0,

2 ) 2

C、 ( , 1)

1 2

D、 (

2 , 1) 2

探究五:以直线与椭圆的位置关系为背景,设而不求确定 e 的方程
x 例 6.椭圆 2 a
2

y + 2 =1(a>b >0),斜率为 1,且过椭圆右焦 b

2

练习 12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭 0) 0) a 2 b2

→ → → 点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,OA+OB与 a=(3,-1)共线, 求 e?
A(X1,Y1) O

圆上存在点 P (异于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF F2 ? a sin ?PF2 F ,则该椭圆离心率的取值范 1 1 围是 .

B(X2,Y2)

4 3 6 1 5 ?1 5 ?1 2 6 ,C, , 3 ? 1 ,B, 2 ? 1 , , , , 3 ?1 , , ,C,B, , 5 3 3 2 3 2 2 3
C,C, [ 2,1) ,D, ( 2 ?1,1)



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