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椭圆的定义方程及几何性质复习课教案



椭圆的定义、标准方程及其几何性质
临安昌化中学:戴丽云

知识目标:掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质。 能力目标:培养学生对数形结合、分类讨论、方程与不等式等数学思想方法的领悟与应用能 力,提高分析问题和解决问题的能力。 教学重点:1、椭圆的定义和几何性质。 2、进一步培养数形结合的思想,如何把已知条件转化为等价的代数表示,并能 根据代数基本

方法选择解决问题的途径。 一、知识点的简单罗列 1、椭圆定义的文字叙述和符号语言叙述。 2、在椭圆的图形中,读出椭圆的几何基本量: a , b , c , e 3、以表格形式给出椭圆的几何性质。 二、例题讲解 1、如果点 M 在运动过程中,总满足关系式 x ? ( y ? 3 ) ?
2 2

x

2

? ( y ? 3)

2

? 10

点 M 的轨迹是什么曲线,为什么?写出它的方程。 变:如果点 M 的运动过程中,总满足关系式 x ? ( y ? m ) ?
2 2

x

2

? (y ? m)

2

? 10

点 M 的轨迹是什么曲线? 设计意图: (1)进一步掌握椭圆方程的定义,并注意定义中的条件 2 a ? F 1 F 2 (2)椭圆方程的三种方程形式。 2、求过点(3,4)和点(5,
4 3 5

)且对称轴为坐标轴的椭圆方程,写出其长半轴 a ,

短半轴 b ,半焦距 c 及离心率 e 的值。 设计意图:1) ( 待定系数法求椭圆的方程。设方程为 Ax (
2

? By

2

? 1( A ? B , A , B ? 0 )

(2)从椭圆方程中读出椭圆的几个基本量,为下面的解题做准备。 (3)解只有一个,也就意味着这两点定下,则椭圆也就定下了,从数的角 度分析,两个未知数,两个方程,解唯一,从形的角度,由椭圆的对 称性可知,定这两点相当于定了 8 个点,所以椭圆是唯一的。若给出 两点是关于原点对称或坐标轴对称的,有无数多解。 3、在上题求出的椭圆上找出点 P,使它到两焦点的距离之比是 1:2 设计意图: (1)巧妙的利用椭圆的定义,就能直接得到比较简单的解,若直接根据 题目直译的话,很难计算。 (2)若能根据勾股定理发现 ? F 1 PF 2 是直角,用平面几何的等面积法, 很快得到 P 的纵坐标,进而求得 P 的横坐标 4、椭圆方程不变,若 ? F 1 PF 2 是钝角,求点 P 横坐标的取值范围。 设计意图: (1)钝角如何处理(联系直角是如何处理的)

(2)让学生分组分别用余弦定理和向量来进行计算。 (3)从数式中去发现形的特点,其实就是以原点为圆心,以焦距为直径 的圆的内部和椭圆的交点的横坐标的范围。 (4)让学生去发现垂直时候的横坐标,发现有一猜想,当点 P 在椭圆的 短轴顶点时, ? F 1 PF 2 最大。所以有了下面的题 5。 (5) 问: 每个椭圆上都存在着一点 P ,使得 ? F 1 PF
? 90
?

2

吗?椭圆越扁

越好还是越圆越好(与离心率有关) 。有上面的(3)和(4) ,其实 就是椭圆与以原点为圆心,以焦距为直径的圆事否都有交点的问 题。也就是要判断 b , c 的关系。
x a
2 2

5、 证明: 是椭圆 P

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上的点, ? 当点 P 位于短轴顶点时, F 1 PF

2

最大。 设计意图: (1)上面是一种猜测,现在证明。培养归纳——猜想——证明的思想 (2)利用余弦定理和基本不等式。 6、 已知
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上存在一点 P,使得 ? F 1 PF 2 为直角,求离心率的

取值范围。 设计意图: (1)复习离心率 (2)若不采用上面的结论,可以用基本不等式进行求解 三、小结: 1、椭圆的定义和几何性质 2、数形结合,分类讨论,方程及不等式的思想 四:板书设计: 课题 一、定义与方程 1、 文字语言和符号语言 2、 三种方程形式 二、例题讲解 2、设法: Ax
2

4、钝角的处理 ?(向量 ,余弦定理)

由数去反思形的特点

x ? ( ? 3 ,3 )

5、 归纳——猜想——证明 (余弦定理基本不等式) 6、 (1)由结论出发,比较 b 和 c 的关系
? 1( A ? B , A , B ? 0 )
2

? By
2

2

或(2)基本不等式

标准方程:

x

?

y

? 1

e

越小,椭圆越圆, e 越大,椭圆越扁

45

20

a ? 3 5,b ? 2

5 , c ? 5, e ?

2 3

小结:哪些知识,哪些数学思想?

3、P 可以为(3,4) (3,-4) (-3,4)(-3,-4) ,



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