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2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 2



§2

本 课 时 栏 目 开 关

§2

【学习要求】 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.
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2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义. 3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 【学法指导】 通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想

,利用数形结合思 想进一步直观感受这种思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

§2

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1.函数f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x0点的 瞬时变化率 称为函数y=f(x)在x0点的 导数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)=

f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim =lim Δx Δx→0 Δx Δx→0

.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.曲线的切线 如图,曲线y=f(x)的一条割线AB,其中

§2

本 课 Δx趋于零时,割线AB将 绕点A转动最 时 栏 后趋于直线l ,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线. 目 开 关 3.函数的平均变化率的几何意义是曲线y=f(x)割线的斜率;函

A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)).当

数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)表示 曲线f(x)在点A处的切线

的斜率 .

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§2

本 课 时 问题1 导数和平均变化率有什么关系? 栏 目 答 导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限, 开 关

探究点一

函数在一点处的导数

f?x0+Δx?-f?x0? 记作f′(x0)=lim . Δx →0 Δx

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§2

问题2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?

答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,
本 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度. 课 时 栏 问题3 导数在实际问题中有什么意义? 目 开 关 答 导数可以刻画事物变化的快慢.

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§2

120 例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)= + t+5 15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单 位:min),计算T′(2),并解释它的实际意义. ?120 ? 120 +15-? 7 +15? 7+Δt ? ? T?2+Δt?-T?2? 解 T′(2)=lim =lim Δt Δt Δt→0 Δt→0
-120·Δt 120 =lim =- (℃/min). 49 Δt→0 7?7+Δt?·Δt

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120 T′(2)=- 49 (℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以 120 49 ℃/min的速度下降.

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§2

本 课 事物变化的快慢. 时 栏 目 开 关

小结 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物,它反映

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§2

跟踪训练1 已知正方形的面积S是边长x的函数S=x2,计算 S′(5)并说出S′(5)的意义.
S?5+Δx?-S?5? 解 S′(5)=lim Δx Δx→0
本 课 ?5+Δx?2-52 时 =lim 栏 Δx Δx→0 目 开 10Δx+?Δx?2 关 =lim
Δx→0

Δx

=lim (10+Δx)=10.
Δx→0

S′(5)=10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加.

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探究点二 导数的几何意义

§2

问题1 如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近 于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
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答 当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置.这个 确定位置的直线PT称为点P处的切线.

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§2

问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?
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不一定.曲线的切线和曲线不一定只

有一个交点,和曲线只有一个交点的直线 和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.

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§2

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变 化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像. 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,
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t2附近的变化情况.

解 我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线,刻画曲线h(t)在上 述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴.所以,在t= t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以, 在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.

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(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以,在 t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图中可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,
本 课 这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢. 时 栏 小结 导数与函数图像升降的关系: 目 开 若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于 关

零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图像是上升的;若f′(x0)<0(即 切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图像是下降 的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.

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§2

跟踪训练2

(1)根据例2的图像,描述函数h(t)在t3和t4附近增

(减)以及增(减)快慢的情况.
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0,所以,在t=t3, t=t4附近单调递增,且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快.
本 课 (2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y= 时 ( A ) 栏 f(x)在区间[a,b]上的图像可能是 目 开 关

解析

依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,则在函数f(x)的

图像上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个选 项的图像,只有A满足.

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探究点三 求切线的方程 问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?

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答 根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处
本 课 斜式求出切线方程. 时 栏 目 问题2 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0) 开 的切线有何不同? 关

的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点



曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切

点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而曲线 f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线 上,既使在曲线上也不一定是切点.