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2017《教与学》中考全程复习导练第31课 简单事件的概率及其应用



近三年浙江中考试题分布
热门考点 1. 确定事件和 随机事件 2.计算简单事 件的概率 3.用频率估计 概率 4.概率决策游 戏规则 5.概率与统计 的综合应用 2016年 杭州T12,4分 温州T6,4分 宁波T6,4分 湖州T7,3分 台州T5,4分 台州T14,5分 衢州T20,8分 金华T7,3分 丽水T13,4分 绍兴、义乌T5,4分 嘉兴、舟山T13,4分

2015年 杭州T9,3分 温州T12,4分 宁波T20,8分 湖州T7,3分 台州T12,5分 衢州T11,4分 金华T7,3分 丽水T12,4分 嘉兴、舟山T13,5分 绍兴、义乌T5,4分 2014年 杭州T9,3分 杭州T17,6分 温州T19,8分 绍兴T5,4分 宁波T7,4分 湖州T7,3分 台州T6,4分 台州T14,5分 嘉兴T14,5分 舟山T13,4分 金华、义乌T4,3分

考点一 确定事件和随机事件
考点清单
1.确定事件: (1)在一定条件下一定会发生的事件叫作必然事件. (2)在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事 件. 2.在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫作 不 确定事件或随机事件.

要点点拨
确定事件包括必然事件和不可能事件, 只有一种可能 性;而随机事件有多种可能性,且发生的可能性有大有 小.要会判断不同的事件类型.
特别关注

随机事件中, 很可能发生的事件不代表必然发

生,不属于必然事件;不太可能发生的事件不代表不可能 发生,不属于不可能事件.

【典例 1】 (2016· 广东茂名)下列事件中,是必然事件的 是 ( ) A. 两条线段可以组成一个三角形 B. 400 人中至少有两个人的生日在同一天 C. 早上的太阳从西方升起 D. 打开电视机,它正在播放动画片

【点评】 本题主要考查必然事件的识别,正确理解必然 事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键.

【解析】 A.两条线段可以组成一个三角形是不可能事 件,故 A 错误; B.400 人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件, 故 B 正确; C.早上的太阳从西方升起是不可能事件,故 C 错误; D.打开电视机,它正在播放动画片是随机事件,故 D 错 误; 故选 B.

【答案】 B

考点二
考点清单

计算简单事件的概率

1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥, 结果总数为 n,事件 A 包含其中的结果数为 m(m≤n), m 那么事件 A 发生的概率为 P(A)= n . 2.在 n 次试验中,事件 A 发生的频数 m 满足 0≤m≤n,则 m P(A)= n ,且 P(A)满足__0__≤P(A)≤__1__.

要点点拨
1.概率反映的是事件发生的可能性大小. 2.当遇到求非等可能事件发生的概率的问题时,要先转 化为每个事件发生的可能性相等,将问题转化为等可 能事件问题来解决. 3.为了直观而又有条理地分析问题,避免重复和遗漏, 我们常把所有可能的结果一一罗列出来,采用列表和 画树状图的方法来求概率.在列举结果时,如果有遗 漏或重复,会造成概率不准确.
特别关注 列表和画树状图都是列举事件发生的各种可 能结果的常用方法,注意列出的各种结果必须是等可能 的.

【典例 2】 (2016· 浙江金华)小明和小华参加社会实践活动, 随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”中的一项,那 么两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 【点评】 本题主要考查简单事件概率的求法,会用列表或画 树状图的方法求概率是解题的关键. 【解析】 可能出现的结果如下: 打扫社 打扫社 参加社 参加社 小明 区卫生 区卫生 会调查 会调查 打扫社 参加社 打扫社 参加社 小华 区卫生 会调查 区卫生 会调查 共有 4 种等可能的结果,其中两人同时选择“参加社会调查” 1 的结果有 1 种,则所求概率 P= . 4 【答案】 A

【典例 3】 (2016· 广东茂名)有四张正面分别标有数字 1, 2,3,4 的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部 相同,现将它们背面朝上洗均匀. (1)随机抽取一张卡片,求抽到数字“2”的概率. (2)随机抽取一张卡片,然后不放回,再随机抽取一张 卡片,请用列表或画树状图的方法求第一次抽到数 字“1”且第二次抽到数字“2”的概率.

【点评】 本题主要考查用列表或画树状图的方法求概 率,看清是放回实验还是不放回实验是解题的关键.

【解析】 (1)∵四张正面分别标有数字 1,2,3,4 的不 透明卡片,∴随机抽取一张卡片,求抽到数字“2”的概率 1 = . 4 (2)画树状图如解图.

(典例 3 解)

共有 12 种等可能的结果, 其中第一次抽到数字 “1”且第二 1 次抽到数字“2”的结果有一种,则所求概率 P= . 12

考点三 用频率估计概率
要点点拨
m 1.许多随机事件是无法用概率计算公式 P(A)= n 来求概 率的,这时我们可以做大量重复试验,利用频率来估 计概率. 2.用频率估计概率的前提是大量重复试验,即要求试验 次数较多时,我们才能用频率估计概率.

特别关注

某一事件发生的频率与概率可以非常接近,

但不一定相等,应注意频率与概率的区别与联系 .

【典例 4】 (2016· 北京)林业部门要考察某种幼树在一定条件 下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统 计数据:
移植的 1000 1500 2500 4000 8000 15000 棵数 n 成活的 865 1356 2220 3500 7056 13170 棵数 m 成活的 0.90 0.88 0.87 0.865 0.882 0.878 4 8 5 频率 20000 17580 0.879 30000 26430 0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____.

【点评】 本题主要考查用频率估计概率,知道 “用频率 估计概率,数据越大,估计越准确”是解题的关键. 【解析】 移植幼树棵数越多,估算成活的概率越准确, 因此 0.881 可作为估计值.
【答案】 0.881

考点四 概率决策游戏规则
要点点拨
判断一个游戏的公平性, 就是看不同事件在同等条件 下发生的概率大小,若概率相等,则这个游戏公平,否则 就不公平.求不同事件发生的概率,可以用列表或画树状 图的方法.

特别关注

游戏不公平时,修改游戏规则只是修改制订

的规则,而不是修改整个活动方案.

【典例 5】 (2016· 山东威海)一个盒子里有标号分别为 1, 2,3,4,5,6 的六个小球,这些小球除标号数字外 其他都相同. (1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数 的小球的概率. (2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏,规则是:甲 从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒 里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球, 并记下标号数字.若两次摸到的小球的标号数字同 为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的 标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表或画树 状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.

【点评】 本题主要考查利用概率判断游戏的公平性,用 列表或画树状图的方法分别求出甲和乙赢的概率是解题 的关键. 3 1 【解析】 (1)摸到标号数字为奇数的小球的概率为 = . 6 2

(2)画树状图如解图.

(典例 5 解)

共有 36 种等可能的情况,两次摸到小球的标号数字同为 奇数或同为偶数的有 18 种,两次摸到小球的标号数字为 一奇一偶的有 18 种, 18 1 18 1 ∴P(甲)= = ,P(乙)= = , 36 2 36 2 ∴这个游戏对甲、乙两人是公平的.

考点五 概率与统计的综合应用
要点点拨
1.概率在应用时与统计是紧密联系的,它们互为基础, 概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基 础之上;而统计又离不开概率的理论支撑,统计中推 断、估计、假设检验等统计方法的合理性、科学性都 依赖于概率理论的严密性. 2.在实际问题中认识到概率是刻画不确定现象的数学模 型,运用概率帮助我们解决实际问题.

特别关注

解决统计图表与概率的综合应用问题的关键

在于熟练处理统计图表中的信息,应用概率公式求概率 .

【典例 6】 (2016· 青海西宁)随着青海省“大美青海,美丽夏都”影响力的 扩大,越来越多的游客慕名而来.根据青海省旅游局《 2015 年国庆长 假出游趋势报告》绘制了如下尚不完整的统计图:

图 311 根据以上信息解答下列问题: (1)2015 年国庆期间, 西宁周边景区共接待游客 ____万人, 扇形统计图 中“青海湖”所对应的圆心角的度数是____,并补全条形统计图. (2)预计 2016 年国庆节将有 80 万游客选择西宁周边游,请估计有多少 万人会选择去“贵德”旅游. (3)甲乙两个旅行团在“青海湖”“塔尔寺”“原子城”三个景点中同时选 择去同一个景点的概率是多少?请用列表或画树状图的方法加以 说明,并列举所有等可能的结果.

【点评】 本题主要考查概率与统计的综合应用, 读懂统计图、 掌握各统计量的计算公式和概率的求法是解题的关键. 【解析】 (1)由条形图和扇形图可知,游“青海湖”的人数是 15 万人,占 30%, ∴共接待游客人数为 15÷ 30%=50(万人). “青海湖”所对应的圆心角的度数是 360° × 30%=108° . 游“塔尔寺”的人数为 24%× 50=12(万人),补全条形统计图如 解图.

(典例 6 解)

6 (2) × 80=9.6(万人). 50 答:估计有 9.6 万人会选择去“贵德”旅游.
(3)设 A,B,C 分别表示“青海湖”“塔尔寺”“原子城”,列 表如下: 甲 A B C 乙 A AA BA CA A AB BB CB C AC BC CC 共有 9 种等可能的结果, 其中同时选择去同一个景点的结 果有 3 种, 1 ∴同时选择去同一个景点的概率是 . 3

本课考查的重点是求简单事件的概率,其中 2015 年 浙江每个市的中考卷都有一题考查该内容. 求简单事件的 概率的难度一般都较小, 我们常可借助列表或画树状图的 方式来求解.本课也有些考题会和统计、代数或几何知识 相结合,这类考题要仔细思考,充分利用方程思想或数形 结合思想等.

【例 1】 (2016· 江西模拟)已知十位上的数字比个位上的 数字、 百位上的数字都大的三位数叫作中高数, 如 796 就是一个“中高数”.若一个三位数十位上的数字为 7, 则从 3,4,5,6,8,9 中任选两数,能与 7 组成“中 高数”的概率是 ( ) 1 2 2 3 A. B. C. D. 2 3 5 5

【解析】

列表如下:
3 374 375 376 378 379 4 473 475 476 478 479 5 573 574 576 578 579 6 673 674 675 678 679 8 873 874 875 876 879 9 973 974 975 976 978 3 4 5 6 8 9

百位数 个位数

共有 6× 5=30(种)等可能的结果,能组成“中高数”的有 12 种结果(376,375,374,476,475,473,576,574,573, 675,674,673), 12 2 ∴能与 7 组成“中高数”的概率是 = . 30 5 2 【答案】 5

【例 2】 (2015· 浙江杭州)如图 312,已 知 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的顶点,连结任意两点均 可得到一条线段.在连结两点所得的 所有线段中任取一条,取到长度为 3 的线段的概率为 ( ) 1 2 2 5 A. B. C. D. 4 5 3 9 【解析】 如解图. ∵连结正六边形的顶点中的任意两点可 得 15 条线段, 其中 6 条线段的长度为 3 (AC,AE,BD,BF,CE,DF), 6 2 ∴所求概率为 = . 15 5 【答案】 B

【例 3】 (2016· 山东聊城)如图 31-3, 随机地闭合开关 S1, S2, S3,S4,S5 中的三个,能够使灯泡 L1,L2 同时发光的概率 是____.

图 313

提 示

能够使灯泡 L1, L2 同时发光有 2 种可能, S1, S2,

S4 或 S1,S2,S5.

【解析】 ∵随机地闭合开关 S1,S2,S3,S4,S5 中的三个, 共有 10 种等可能的结果,能够使灯泡 L1,L2 同时发光的有 2 种可能(S1,S2,S4 或 S1,S2,S5), 2 1 ∴概率是 = . 10 5 1 【答案】 5

【例 4】 (2016· 山东菏泽)锐锐参加电视台组织的“牡丹 杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关, 第一道单选题有 3 个选项, 第二道单选题有 4 个选项, 这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两次“求助”可以 用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一 个错误选项). (1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐 锐通关的概率是____. (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐 锐通关的概率是____. (3)如果锐锐每道题各用一次“求助”,请用列表或树状 图的方法来分析他顺利通关的概率.

【解析】 (1)锐锐两次“求助”都在第一道题中使用, 则第 1 一道题肯定能对,第二道题对的概率是 , 4 1 ∴锐锐通关的概率是 . 4 (2)锐锐两次“求助”都在第二道题中使用, 1 1 则第一道题对的概率是 ,第二道题对的概率是 , 3 2 1 1 1 ∴锐锐通关的概率是 × = . 3 2 6

(3)锐锐每道题各用一次“求助”,分别用 A,B 表示第一道 单选题剩下的 2 个选项,a,b,c 表示 第二道单选题剩下的 3 个选项, 画树状 图如解图. 共有 6 种等可能的结果, 锐锐顺利通关 只有 1 种情况, 1 ∴锐锐顺利通关的概率是 . 6

按时完成考点达标训练31(训练一,A本P52~P53; 训练二,B本P56~P57),全面提升自我!

单击此处进入考点达标训练31 训练一 单击此处进入考点达标训练31 训练二



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