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高中数学课件 1.2.3三角函数的诱导公式1



lixinlan

复习:

1.三角函数的定义
α的终边
P(x,y)

y

y

α的终边
P(x,y)

y

r

α
O y

r

M x M x y α的终边 α

x O y
α

α x M

y x

y sin ? ? r x cos ? ? r y tan ? ? x

O x r

O xM r α的终边
P(x,y)

y

x

P(x,y)

r ?x ?y
2 2

2

复习:
2.三角函数值在各象限的符号: 一全二正弦,三切四余弦。

3.三角函数线

诱导公式 一:
sin(? ? 2k? ) ? sin ? ( k ? Z ), cos(? ? 2k? ) ? cos ? ( k ? Z ), tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z ).

函数名不变, 符号看象限
(将α看成锐角)

诱导公式 二: sin( ?? ) ? ? sin ? , cos( ?? ) ? cos ? , tan( ?? ) ? ? tan ? . 诱导公式 三:

sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? ? tan ? .

诱导公式 二: sin(2? ? ? ) ? ? sin ? , cos(2? ? ? ) ? cos ? , tan(2? ? ? ) ? ? tan ? . 诱导公式 四: sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? tan ? .

诱导公式五: 诱导公式六: ? ? sin( ? ? ) ? cos ? , sin( ? ? ) ? cos ? , 2 2 ? ? cos( ? ? ) ? sin ? . cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 2 函数名变余,符号看象限

综上:奇变偶不变,符号看象限
求sinθ,cosθ,tanθ时,把θ化成θ=k· π/2+α,则 符号由将α看成锐角时,θ所在象限的原来函数决定。

(将α看成锐角)

k为奇数时,函数名变为其余函数,k为偶数时函数名不变;

例题
求值 或化简
29? 29? 25? 1. sin ? cos( ? ) ? tan( ? ) 6 3 4

0

2.

1 ? 2 sin 1600 cos 1060? 1 ? sin 250 ? cos( ?340 )
2 0 ?

?1

练习
求值或化简 1.sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 89
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

1 44 2

2 . sin ? 42 ? ? ? ? 2 tan ? 45 ? ? ? ? tan ? 45 ? ? ? ? sin ? 48 ? ? ?
2 0 0 0 2 0

?1

小结

诱导公式
2 k? ? ? ?? "偶" "奇 " 2? ? ? ? ?? 不 变 变 n? ?? 2 符号看 " 象限 " n为偶数
?
2 ?? 3? ?? 2

n? ?? 2 n为奇数

综合练习
1.判断下列函数的奇偶性:(1) y ? sin x+1, (2) y ? sin x cos x,
求f (? m)
?
2

(3)y ? cos x ? 1

2. f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1, 且f (m) ? ?3,
3.已知函数f ( x)满足f ( 求f (0),f ( ) 3 ? x) ? cos x,

?

4.若α、β、γ是同一三角形的三个内角, 则在①sin(α+β)-sinγ,②cos(α+γ)+cosβ, ③tan(β+γ)-tanα中其值为常数的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

综合练习
5.已知x ? y ? k? ?

?

2 求证: 2 x ? y ) ? tan y ? 0. tan(

,k ? Z,

5? 1 ? 6.已知 cos(? ? ) ? ,? ? (?? , ? ), 12 3 2 求 cos(

?
12

??)

2 2 ? 3

cos(k? ? ? )cos(k? ? ? ) 7.求证: ? ?1, k ? Z sin[(k ? 1)? ? ? ]cos[(k ? 1)? ? ? ]

证:若k是偶数,即k = 2 n (n?Z)

则:

cos(2n? ? ? )cos(2n? ? ? ) 左边 ? sin[ 2n? ? (? ? ? )]cos[ 2n? ? (? ? ? )] ? sin? cos ? ? ? ?1 ? sin? (? cos ? )
cos[ 2n? ? (? ? ? )]cos[ 2n? ? (? ? ? )] 左边 ? sin[ 2(n ? 1)? ? ? )]cos[ 2( n ? 1)? ? ? )] sin? (? cos ? ) ? ? ?1 sin? cos ?

若k是奇数,即k = 2 n + 1 (n?Z)

则:

∴原式成立

综合练习
8、已知方程sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求
sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且cos? ? 0 sin? ? 5 cos ? ?2 cos ? ? 5 cos ? ? 原式 ? ? ?2 cos ? ? sin? ?2 cos ? ? 2 cos ? 3 cos ? 3 ? ?? ?4 cos ? 4

1 ? (x ? ) ?cos ? x , ( x ? 0) 和g( x ) ? 2 9.设f ( x ) ? sin ? x , ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0) 1 ? g( x ? 1) ? 1, ( x ? ) ? 2 1 1 5 3 求g( ) ? f ( ) ? g( ) ? f ( )的值. 4 3 6 4

?

1 2 1 2 解:g ( ) ? , f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1, 4 2 3 3 3 ? 5 3 f ( ) ? sin( ? ) ? 1, g( ) ? ? 1, 4 4 6 2 2 2 ? 3 ? 原式 ? + sin( ? ? ) ? 1+ sin( ? ) ? 1+ ?1 2 3 4 2 , = 2 ? ? 3 - sin(? ? ) ? sin( )+ ?3 2 3 4 2

2 3 2 3 = ? + ?3 = 3 2 2 2 2



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