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3.1.2-用二分法求方程的近似解(1)优质课



§3.1.2 用二分法求方程的近似解

新课引入
某个雷电交加的夜晚,医院的医生正在抢救一个危 重病人,忽然电停了,医院采取了应急措施。据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障,维修工如何 迅速查出故障所在? (线路长10km,每50m一棵电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多。每查一个点要爬一次电线杆子, 10km长,大约有200根电线杆子。

想一 想

维修线路的工人师 傅怎样工作合理?

探索问题 提取原理 如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B(间距10km) A
(供电站)

C
取中点

E

D

B
(医院)

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

算一算

要把故障可能发生的范围缩小到 50m~100m左右,即一两根电杆附 近,最多查几次就可以了? 7次
这种解决问题的方法,就是我们今天要学 的二分法。

§3.1.2 用二分法求方程的近似解

知识回顾
零点概念: 等价关系:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在定理: 如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上
连续不断、且f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.

新知探究
问题1:你能求下列方程的解吗?

(1) x 2 ? 2x ?1 ? 0 (2) x3 ? 3x ? 4 ? 0 (3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0
问题2:以方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 为例,能不能确定方 程根的大概范围呢?

新知探究
问题2:以方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 为例,能不能确定方 程根的大概范围呢?
回顾旧知:

方程 f ( x) ? 0有实根
求 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根
零点存在性定理:

函数y ? f ( x)有零点. 求函数f ( x) ? ln x ? 2x ? 6的零点.

如果函数y ? f ( x)在区间? a, b? 上的图像是连续不断的一条曲线, 且f (a) ? f (b) ? 0, 那么函数y=f ( x)在区间? a, b ?内有零点,即存在 c ? ? a, b ? , 使f (c) ? 0,c就是方程f ( x) ? 0的根.

新知探究
问题3:你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗?
f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

2.5

2

2.625

2.75

3

概念形成

二分法的定义:
对于在区间? a, b ? 上连续不断且f (a) ? y ? f ( x),

f (b) ? 0的函数

通过不断的把函数f ( x)的零点所在区间

一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点
,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

想一想?
二分法的理论依据是什么?

0.1 ,求f ?x ? ? ln x ? 2 x ? 6零点在?2, 3? 问题4:给定精确度

次数
1
2 3 4

近似值 . 且 f (2) ? 0, f (3) ? 0 初始区间( 2,3) a?b 区间长度: a?b 取a ? 取b ? f( ) b?a 2 2
2.5 2.75 2.625 2.5625

-0.084
0.512 0.215 0.066

2.5 3 3) (2.5,
2.5 2.75) 2.75 (2.5,

0.5 0.25 0.125 0.0625

(2.5, 2.625)

(2.5, 2.5625)

由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 所以方程的近似解为:

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6

x ? 2.5625或2.5
2.5

2
2.562

2.65

2.75 3

探究归纳
给定精确度?,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
1.确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)· f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈( c, b) ). 4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b); 否则重复步骤2~4.

概念拓展 实践探究

下列函数的图像中,其中不能用二分法求解其零点的 例11. : 是(
y x

C


y x
0

y x

y

0

0

0

x

A

B

c

D

注意:二分法仅对函数的变号零点适用,对函数的

不变号零点不适用.

概念拓展 实践探究

实践探究

例2、利用计算器,求方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的近似解 (精确度 0.1)

解: 记函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 7
f (0) ? 0, f (2) ? 0 ? x0 ? (0, 2)
f (1) ? 0, f (2) ? 0 ? x0 ? (1, 2)

y ? 7 ? 3x

y

y ? 2x

0

2

x

f (1) ? 0, f (1.5) ? 0 ? x0 ? (1,1.5),

f (1.25) ? 0, f (1.5) ? 0 ? x0 ? (1.25,1.5)

f (1.375) ? 0, f (1.5) ? 0 ? x0 ? (1.375,1.5), f (1.375) ? 0, f (1.4375) ? 0 ? x0 ? (1.375,1.4375),
|1.375 ? 1.4375 |? 0.0625 ? 0.1, ? x ? 1.4375

概念拓展 实践探究

例3.不用计算器,求 3 3 的近似值(精确度0.01)
解:设 3 3 =x,则建立函数f(x)=x3-3,求f(x)的零点 的近似值。 取a=1,b=2,f(1)=-2<0,f(2)=5>0, x1=1.5,f(x1)=0.375>0,区间[1,1.5], x2=1.25,f(x2)=-0.0469<0,区间[1.25,1.5], x3=1.375,f(x3)=0.5996>0,区间[1.25,1.375], x4=1.3125,f(x4)=0.2610,区间[1.25,1.3125] x5=1.28125,f(x5)=0.1033>0,区间[1.25,1.28125], x6=1.26562,f(x6)=0.0273,区间[1.25,1.26562], x7=1.25781,f(x7)=-0.1,区间[1.25781,1.26562], ∴ 3 3 ? 1.26.

反思小结 体会收获





定区间,找中点, 中值计算两边看; 零点落在异号间, 区间长度缩一半; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.

巩固提高 课外练习

1、课堂作业: P92习题3.1A组 3、 4、 5 2、课外作业: (1)阅读课本P91 《中外历史上的方程求解》; (2)12只金表中有一只份量略轻,如何用 一架天平秤,在秤量次数最少的情况下分辩 出来?



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