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求函数解析式的几种常用方法


求函数解析式的几种常用方法
河北 杨新兰

解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,与所选取的字母无关,是函 数与自变量之间建立联系的桥梁.由已知条件求函数的解析式,是函数这部分内 容的一个基本问题,它不仅能深化函数概念,还常常联系着一些重要解题思维方 法和技巧,也是高考常考的题型之一.因此,对这个问题进行探讨是很有必要 的.本文介绍几种求函数解析式的常用方法,供同学们学习时参考. 一、换元法 如果已知复合函数 f [g(x)]的表达式时,常用换元法求出函数 f (x)的解析 式.其解题基本思路是:先令 g(x) = t,从中求出 x,再代入 f [g(x)]中即得 f ( x) 的解析式. 例1 已知 f (x + ) = x 2 +
x 1 x 1 x
2

1

1 x
2

,求函数 f (x)的解析式.
1 x 1 x

解:t = x + ,又 x 2 + ∴ f ( t) = t 2 -2

= (x + ) 2 -2,且| x + |≥2,即| t |≥2. (| x |≥2).

(| t |≥2),即 f ( x) = x 2 -2

评注:在用换元法解题时,一定要注意定义域的变化,注意前边的 x 与后边 的 x 的区别与联系.所求的函数关系要注明定义域. 二、特殊值法 当所给函数含有两个不同的变量时,常用特殊值代入法求 f (x)的解析式, 其解题基本思路是:令变量取某些特殊值,从而减少未知元,求出 f (x)的解析 式. 例2 已知 f (x)是定义在 R 上的函数,且 f (0) = 1, f ( y-x) = f (y)-

xe 3 x ? y ,求函数 f (x)的解析式. 解:取 x = y,则由已知等式,有 f (0) = f (x)-xe 4 x , ∵ f (0) = 1,∴ f (x) = 1 + xe 4 x . 三、构建方程法

通过赋予不同变量构造一组方程,通过解新旧方程的方法求出 f (x)的解析 式. 例3 解: 用
1 x 1 x

设 f (x)满足 2x f (x)-3 f ( ) = x 2 + 1 替换①式中的 x, 2 得
1 x
f

1

①, 求函数 f (x) 的解析式.
1 x
2

( )-3 f (x) =
x

x 1

+ 1, 2 f ( )-3x f (x) 即
x

1

= + x ②, ①、②两个方程联立,消去 f ( )得: f (x) =- -
x 5 1 3 2 5

x-

2 5x



3 5x
2



四、待定系数法 如果已知函数解析式的结构时,常用待定系数法求 f ( x)的解析式,其解题 基本思路是:先设出 f ( x)的一般表达式,再根据已知条件确定出表达式中的参 数即得 f ( x)的解析式. 例4 设 f (x)是 x 的二次函数, g(x) = 2 x ·f (x), g(x + 1)-g(x) = 2 x ? 1 · 2 , 且 x

求函数 f (x)和 g(x)的解析式. 解:设 f (x) = ax 2 + bx + c (a≠0),则 g(x) = 2 x · 2 + bx + c). (ax

由 g(x + 1)-g(x) = 2 x ? 1 · 2 得: x 2 x ? 1 · (x + 1) 2 + b(x + 1) + c]-2 x · 2 + bx + c) = 2 x ? 1 · 2 , [a (ax x 即 ax 2 + (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 2 .这是关于 x 的恒等式,比较系数, 得
?a ? 2 , ? ? ? 4a ? b ? 0 , ? 2 a ? 2b ? c ? 0 . ? ?a ? 2 , ? ?b ??8 , ? c ? 12 . ?

∴ f (x) = 2x 2 -8x + 12 ,g(x) = 2 x ? 1 · 2 -4x + 6). (x


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