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云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考(七)文科数学试卷(扫描版含答案)


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(七) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
0,, 1 2} ,故选 D. 1.由 ( x ? 1)( x ? 2) ≤ 0 解得 ?1 ≤ x ≤ 2 ,得 M ? N ? {?1,

1 D

2 A

3 B

4 D

5 C

6 D

7 D

8 A

9 A

10 C

11 A

12 B

2. z ?

2 2(i ? 1) ? ? ?1 ? i ,故选 A. i ? 1 (i ? 1)(i ? 1)

2 3.由题意知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,由 a1 , a 2 ,a 5 构成等比数列得 a2 ? a1a5 ,即 (a1 ?d ) 2 ? a 1(a 1 ?4d ) ,得 d ? 2a1 ,

所以 S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d ? 4a1 , S3 ? 3a1 ? 3d ? 9a1 , S4 ? 4a1 ? 6d ? 16a1 .又 a1 ? 0 ,所以 S1 , S2 , S4 能构成等比数列,故选 B. 4.由 ? ? m , ? ? n ,直线 l 满足 l ? m , l ? n 知 l ? ? ,又 l ? ? 得 ? ? ? ,故选 D.
?1 π 3 ?1 , ? ac ?sin ? 2 6 2 ? ? 5.由题意得 ? c 解得 c ? 2 ,故选 C. a ? , ? π ?π π? ? sin sin ? ? ? 4 ? ?6 4? ?

6 . 选 项 A 的 程 序 框 图 输 出 的 结 果 为 S ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ; 选 项 B 的 程 序 框 图 输 出 的 结 果 为
S ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ;选项 0 ? 1 1C 的程序框图输

出的结果为 S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ;选项 D 的程序框 图输出的结果为 S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ,故选 D. 7.作出不等式组表示的区域如图 1 所示,由图可知,
z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 过点 A(1, 1) 时取最大值,

所以 a ? b ? 4 ,故选 D.

图1

1 2 2 2 1 2 8.∵ ? ? 2 ab ,∴a ? 0 , b ? 0 .∵ ? ≥2 (当且仅当 b ? 2a 时取等号) ,∴2 ab≥2 ,解得 2ab≥2 2 ,即 ab 的最 a b ab ab a b

小值为 2 ,故选 A. 9.由三视图还原出几何图形如图 2 所示,其中正视图由 SBC 面看入,
SD ? 平面ABCD ,AB 与 DC 平行, AB ? 2,DC ? 4 ,
AD ? 3,SD ? 3 , V ? ? ? (2 ? 4) ? 3 ? 3 ? 9 ,故选 A.

1 1 3 2

10. f ?( x) ? 3x2 ? 2tx ? 3 ,由于 f ( x) 在区间 [1,4] 上单调递减,

图2

3? 1? 3? 1? 则有 f ?( x) ≤ 0 在 [1,4] 上恒成立,即 3x2 ? 2tx ? 3 ≤ 0 ,也即 t ≥ ? x ? ? 在 [1,4] 上恒成立,因为 y ? ? x ? ? 在 [1,4] 上单调 2? x? 2? x? 3? 1 ? 51 递增,所以 t≥ ? 4 ? ? ? ,故选 C. 2? 4? 8

11. 取 △ ABC 外接圆圆心 F,连接 AD 的中点即球心 O 与 F,由球的性质可知 OF 与平面 ABC 垂直,AB ? BD ? 2 . 在 Rt△ AOF 中, AO ? 1 , AF ?
? 6? 6 3 ,故 OF ? 12 ? ? ? 3 ? ? ? 3 . 3 ? ?
2 3 ,因此 V三棱锥A? BCD ? V三棱锥D? ABC ? 3
2

又 AD ? 2OA ,故 D 到平面 ABC 的距离 h ? 2OF ?
1 3 2 3 1 ? ? ( 2) 2 ? ? ,故选 A. 3 4 3 3

12 . ∵| OF |? c , | OE |?

??? ? 1 ??? ? ??? ? a2 a2 a , ∴| EF |? c 2 ? .∵ , 设 F? 为 双 曲 线 右 焦 点 , 则 OE ? (OF ? OP) , ∴| PF |? 2 c 2 ? 9 9 3 2

| PF ? |?

17 a 2 2a 2a ? ? 2 a , ∴e ? .∵| PF | ? | PF ? |? 2a ,∴2 c 2 ? ,故选 B. 3 9 3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.设圆心坐标为 (a,a) ,则有 13
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

14

15 1133

16 [3,9]

4 5

|a?a| 2

?

| a ? a ? 4| 2

,解得 a ? 1 ,则 r ?

| 2a | 2

? 2 ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .
4 . 5

14.方程有实根,则 ? ? 4m2 ? 4(5m ? 6)≥0 ,即 m2 ? 5m ? 6 ≥ 0 ,解得 m ≤ 2 或 m ≥ 3 ,所以概率为 P ?

15. 当 n 为奇数时,an ? 2 ? 2an , 故奇数项是以 a1 ? 1 为首项, 公比为 2 的等比数列; 当 n 为偶数时,an? 2 ? an ? 2 , 故偶数项是以 a2 ? 2 为 首项,公 差为 2 的等差 数列,所 以前 20 项中 的奇数项 和为 S奇 ?

1 ? 210 ? 210 ? 1 ? 1023 ,前 20 项中的偶 数项和 为 1? 2

S偶 =10 ? 2+

10 ? 9 ? 2=110 ,所以 S20 ? 1023 ? 110 ? 1133 . 2

16.以点 E 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立平面
0),A(0, 3) , 直角坐标系,如图 3 所示,则点 E (0,

内切圆 D 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,设点

??? ? ??? ? F (cos ?, 1 ? sin ? ) ,则 AE ? AF ? (0, ? 3)?(cos?, sin ? ? 2)
? 6 ? 3sin ? ? [3, 9] .
图3

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)因为 a ? b cos C ?

3 c sin B , 3 3 sin C sin B , 3

由正弦定理知 sin A ? sin B cos C ? 即 sin( B ? C ) ? sin B cos C ?

3 sin C sin B , 3

……………………………………(3 分)

sin B cos C ? cos B sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? 3 sin C sin B . 3

3 sin C sin B , 3

又由 C 为 △ ABC 的内角,故而 sin C ? 0 ,所以 tan B ? ? 3 . 又由 B 为 △ ABC 的内角,故而 B ?

2π . 3

……………………………………(6 分)

??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)如图 4,因为点 D 为边 AC 的中点,故而 2BD ? BA ? BC ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 两边平方得 4 | BD |2 ?| BA |2 ?2 | BA | ?| BC | ?cos ?ABC ? | BC |2 .
……………………………………………………(9 分) 又由(Ⅰ)知 ?ABC ? 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)第 3 组的人数为 0.3× 100=30,第 4 组的人数为 0.2× 100=20, 第 5 组的人数为 0.1× 100=10. ……………………………………………………(3 分)
图4

??? ? 3 2π ,所以 4 | BD |2 ? 3 ,即 BD ? . …………………(12 分) 2 3

因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组:

30 ?6 ? 3; 60 20 ?6 ? 2; 60 10 ? 6 ?1, 60
………………………(6 分)

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.

(Ⅱ)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1, 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1), 共有 15 种结果. …………………………………………………………………(8 分)

其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1 , B1) , (A1 , B2) , (A2 , B1) , (A2 , B2) , (A3 , B1) , (A3 , B2) , (B1 , B2) , (B1 , C1) , (B2 , C1) , 共 有 9 种 结 果 , ………………………………………………(10 分) 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

9 3 ? . 15 5

……………………(12 分)

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:当 ? ?

1 时,点 F 为 PA 的中点. 2

如图 5,取 PB 的中点 O,连接 OF,OC, 则 OF∥AB 且 OF ?

1 AB ? 1 . 2
图5

又由题意知, CD∥AB 且 CD ? 1 , 所以 CD∥OF 且 CD ? OF , 故而四边形 CDFO 为平行四边形, 所以 FD∥OC , 又由 DF ? 平面 PBC 且 OC ? 平面 PBC,

所以 DF∥平面PBC . ………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)解:如图 6,取 BC 的中点 I,连接 PI,AC, 由 BC ? PB ? PC ? 2 , 则 PI⊥BC ,且 PI ? 3 . 又侧面 PBC ? 底面 ABCD, 且平面 PBC ? 平面 ABCD ? BC , 所以 PI ? 平面 ABCD, 所以 V三棱锥P ? ACD

图6

1 ? ? PI ?S△ACD . 3

1 由题意知, S△ACD ? BC ?CD ? 1 , 2
所以 V三棱锥P ? ACD ?
3 . 3

1 由 PF ? PA , 3
1 1 3 则 V三棱锥F ? PCD ? V三棱锥A? PCD ? V三棱锥P ? ACD ? , 3 3 9

所以三棱锥 F ? PCD 的体积为 20. (本小题满分 12 分)

3 . 9

……………………………………………(12 分)

解: (Ⅰ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,代入椭圆的方程有,
2 2 x2 y2 x12 y12 ? ? 1, ? ?1, a 2 b2 a 2 b2

…………………………………………………………(2 分)

2 2 x2 ? x12 y2 ? y12 ? ?0, 2 a b2 y ? y1 y ? y1 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y1 )( y2 ? y1 ) 即 2 1 2 2 1 ? 2 , k2 ? 2 , ? 0 ,又 k1 ? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 a b

两式相减:

联立两个方程有 k1k2 ? ?

b2 2 ?? , a2 3

…………………………………………(4 分)

解得 e ?

c 3 ? . a 3

………………………………………………………………(5 分)
c 3 ? ,得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c2 , a 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 e ?

可设椭圆方程为 2 x2 ? 3 y 2 ? 6c2 . 设直线 l 的方程为 x ? my ? 3 ,代入椭圆的方程有,

(2m2 ? 3) y2 ? 4 3my ? 6 ? 6c2 ? 0 .

………………………………………………(6 分)

因为直线与椭圆相交,所以 ? ? 48m2 ? 4(2m2 ? 3)(6 ? 6c2 ) ? 0 , 由韦达定理得 y1 ? y2 ?
4 3m 6 ? 6c2 , . y y ? 1 2 2m 2 ? 3 2m2 ? 3

??? ? ???? 又 DP ? 2QD ,所以 y1 ? ?2 y2 ,
代入上述两式有 6 ? 6c2 ? ? 所以 S△OPQ ?

96m2 , 2m2 ? 3

………………………………………(8 分)

48m2 ? 4(2m2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) 1 3 ? 3 | OD || y1 ? y2 |? ? ? ? 2 2 |a| 2 | 2m 2 ? 3 |

…(9 分)

? 18

| m| 1 3 6 , ? 18 ≤ 2 3 2 | m | ?3 2 2| m| ? | m|

…………………………………………(10 分)

当且仅当 m2 ?

3 时,等号成立. 2

此时 c 2 ? 5 ,代入 ? 有 ? ? 0 成立, 所以所求椭圆方程为 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由 f ( x)≤0 有 kx≥ ln x ? 1 , 即 k≥

x2 y 2 ? ?1. 15 10

…………………………………………(12 分)

ln x ? 1 . x ln x ? 1 ? ln x , h?( x) ? 2 ? 0 , x x
……………………………………………………………………(2 分)

令 h( x) ?

解得 x ? 1 .

在 (0, 1) 上, h?( x) ? 0 ,在 (1, ? ?) 上, h?( x) ? 0 , 所以在 x ? 1 时, h( x) 取得最大值 h(1)=1 , 即 k≥1 . …………………………………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 k ? 1 时, ln x≤x ? 1 .
1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? , …………(7 分) (n ? N* , n≥2) ,有 ln ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 n ? n n(n ? 1) n ? 1 n n ? 1 ? 1 ? 所以有 ln ? 1 ? 2 ? ? 1 ? , 2 ? 2 ? 1? 1 1 ? ln ?1 ? 2 ? ? ? , 3 ? ? 2 3

令 x ?1?



1 ? 1 1 ? l n? 1 ? 2 ?? ? , n ? n? 1 n ?

……………………………………………………………(10 分) …………(12 分)

5 10 17 n2 ? 1 1 累加得: ln ? ln ? ln ? … ? ln 2 ? 1 ? ? 1(n ? N* , n≥2) . 4 9 16 n n
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 解: (Ⅰ)因为 E 为 BC 的中点,所以 BE ? 3 , BC ? 6 . 由割线定理知, BD ? BA=BE ? BC ,所以 可得 BA=

7 ? BA ? 18 , 2

……………………(2 分)

36 23 , AD= . 7 14

…………………………………………………………(4 分)

又因为 CD 是 ?ACB 的平分线, 所以 DE ? AD ?

23 . 14

……………………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)因为 DF 是圆 O 的切线,D 为切点,FC 为圆 O 的割线, 由切割线定理知, DF 2 =FE ? FC ? FE ?( FE ? EC ) , 因为 EC ? 3EF ,所以 DF 2 =4FE 2 ,即 DF =2FE , 由 △DFE∽△CFD ,所以 …………………………(8 分)

DE EF 1 ? ? . DC DF 2

……………………………………(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】

?3 2 3 2 ? 解: (Ⅰ)点 P 的直角坐标为 ? ? 2 , 2 ? ?; ? ?

………………………………(2 分)

π? ? 由 ? ? 2 cos ? ? ? ? 得 ? 2 ? 2? cos? + 2?sin? ①, ………………………………(3 分) 4? ?

将 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x , ? sin? ? y 代入①,

? 2? ? 2? 可得曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? ?? y? ? ? ?1. ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

2

……………………(5 分)

(Ⅱ)直线 l: 2? cos? ? 4? sin ? ? 2 的直角坐标方程为 2x ? 4 y ? 2 ? 0 . ………………………………………………………………………………(6 分)

? 2 ? 2 设点 Q 的直角坐标为 ? ? cos? , ? sin ? ? ? ?, 2 ? 2 ?
cos ? sin ? ? , 2? 则M? 2 ? 2 2 ? ? ?, ?

………………………………………………(8 分)

那么 M 到直线 l 的距离
cos? ? 2? 2 ? 2 ? sin? ? ? ? +4 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?4
2 2

d=

? ?? 2 ?

=

| 5 2+cos? +2sin? | 5 2+ 5sin(? +? ) = , 2 5 2 5

∴ d≥

5 2? 5 2 5

=

10 ? 1 (当且仅当 sin(? +? )= ? 1 时取等) , 2

所以 M 到直线 l: 2? cos? ? 4? sin ? ? 2 的距离的最小值为 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】
??2 x ? 1, x ≤ ?3, ? a ? 3 解: (Ⅰ)当 时, f ( x) ? ?5, ? 3 ? x ? 2, ?2 x +1, x≥2. ?

10 ? 1 . ………(10 分) 2

………………………………(2 分)

当 x≤ ? 3 时,由 f ( x)≥7 得 ?2 x ? 1≥7 ,解得 x≤ ? 4 ; 当 ?3 ? x ? 2 时, f ( x) ≥ 7 无解; 当 x ≥ 2 时,由 f ( x) ≥ 7 得 2 x +1 ≥ 7 ,解得 x ≥ 3 , 所以 f ( x) ≥ 7 的解集为 (??,? 4] ? [3,? ?) . …………………………………(5 分) …………………………(6 分) …………(8 分)

(Ⅱ) f ( x)≤ | x ? 4 | 等价于 | x ? a | ≤ | x ? 4 | ? | x ? 2 | .

当 x ? [0, 2] 时, | x ? a |≤| x ? 4 | ? | x ? 2 | 等价于 ?2 ? a ≤ x ≤ 2 ? a , 由条件得 ?2 ? a ≤ 0 且 2 ? a≥2 ,即 ?2≤a≤0 . 故满足条件的 a 的取值范围为 [?2,0] .

………………………………………(10 分)


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