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2015年北京海淀高三二模数学试题及答案



2015 年北京海淀高三二模数学试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习



学(理)

2015.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。() 一、选择题共 8 小题

,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知全集 U ? Z ,集合 A ? {1, 2} , A U B ? {1, 2,3, 4} ,那么 (CU A) I B =( (A) ? (2)设 (B) {x ? Z x ? 3} ,则( ) (C) a ? b ? c (D) b ? a ? c (C) {3, 4} )

(D) {1, 2}

a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? 20.3

(A) b ? c ? a

(B) c ? b ? a

π (2, ? ) 6 且平行于极轴的直线的方程是( (3)在极坐标系中,过点
(A) ? cos? ? 3 (B) ? cos? ? ? 3 (C) ? sin ? ? 1

) (D) ? sin ? ? ?1 )

(4)已知命题 p , q ,那么“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件 )

(5)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ( ? 为常数)为奇函数,那么 cos ? ? (

(A)

?

2 2

(B) 0

2
(C) 2

(D)1

(6) 已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示.向图中的 矩形区域随机投出 100 粒豆子,记下落入阴影 区域的豆子数.通过 10 次这样的试验, 算得落入 阴影区域的豆子的平均数约为 33,由此可估计
3

y

?


1

0

f ( x)dx 的值约为
O 1 x



99 (A) 100 9 (C) 10

3 (B) 10 10 (D) 11
3 x ?1

(7)已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 1) e 点的个数是( (A)5 ) (B)4 (C)3

.那么函数 f ( x ) 的极值

(D)2

(8)若空间中有 n(n ? 5) 个点,满足任意四个点都不共面,且任意两点的连线都与其它任意三点 确定的平面垂直,则这样的 n 值( (A)不存在 ) (C)等于 5 (D)最大值为 8

(B)有无数个

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足 a2 a6 ? 64 , a3a4 ? 32 , 则 公 比 q ? _____ ;
2 a12 ? a2 ? 2 ? an ?


C O E A D B

( 10 ) 如 图 , 在 ?ACB 中 , ?ACB ? 120? ,

AC ? BC ? 3 , 点 O 在 BC 边上, 且圆 O 与 AB 相切于
点 D , BC 与 圆 O 相 交 于 点 E , C , 则

?E D B =

, BE =

.

(11)右图表示的是求首项为 ?41 ,公差为 2 的等差数列 {an } 前 n 项 和的最小值的程序框图.①处可填写_____;②处可填写 .

(12)若双曲线 M 上存在四个点 A, B, C , D ,使得四边形 ABCD 是正 方形,则双曲线 M 的离心率的取值范围是 .

(13)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色 .若要求 每个小方格涂一种颜色, 且涂成红色的方格数为偶数 , 则不同的涂色方 .. 案种数是 .(用数字作答)

( 14 ) 设关于 x , y 的 不 等式组 ?3x ? 4 ? 0,

? ?( y ? 1)(3x ? y ? 6) ? 0

表 示的 平面 区域为 D , 已 知点

O(0, 0), A(1, 0) ,点 M 是 D 上的动点.

OA ? OM ? ? OM

,则 ? 的取值范围是

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分)

在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , (Ⅰ )求 a 的值;

a?

3 6 cos A 2 .

(Ⅱ )求证: ?B ? 2? A .

(16) (本小题满分 13 分) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行 测试,记录的数据如下: 男生投掷距离(单位:米) 9 7 7 8 7 6 6 6 8 5 5 3 0 7 3 1 1 2 2 0 已知该项目评分标准为: 男 生 ? [5.4, 6.0) [6.0, 6.6) [6.6, 7.4) [7.4, 7.8) [7.8,8.6) [8.6,10.0) [10.0, ??) 投 掷 距 离 (米) 女 生 ? [5.1,5.4) [5.4,5.6) [5.6, 6.4) [6.4, 6.8) [6.8, 7.2) [7.2, 7.6) 投 掷 距 离 (米) 个 人 ? 得 分 (分) 4 5 6 7 8 9 5. 6. 7. 8. 9. 10. 女生投掷距离(单位:米) 4 6 4 5 5 6 6 6 9 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 1

[7.6, ??)
~ 10

注:满分 10 分,且得 9 分以上(含 9 分)定为“优秀”. (Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,随机抽取 2 名,求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况. (写出两个结论即可) (17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD ,

AB ? AD , AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 , M 是棱
PB 上一点.
(Ⅰ)若 BM ? 2MP ,求证: PD / / 平面 MAC ;
A

P M

B

D

C

(Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ;

2 PM (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 3 ,求 PB 的值.

(18) (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
已知函数

1 ? ln x x2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点及单调区间;

y?
(Ⅱ)求证:曲线

ln x x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1.

(19) (本小题满分 13 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4 , 以椭圆 C 的短

轴为直径的圆 O 经过这两个焦点,点 A , B 分别是椭圆 C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆 O 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P ,Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点( P ,Q 位于 y 轴两侧) ,且直线 PQ 与 x 轴平行,直线 AP , BP 分别与 y 轴交于点 M , N .求证:∠ MQN 为定值. (20) (本小题满分 14 分) 对于数列

A : a1, a2 ,L , an ,经过变换 T : 交换 A 中某相邻两段的位置(数列 A 中的一项或连

续的几项称为一段) ,得到数列 T ( A) .例如,数列 A :

a1 , ???, ai , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ? p ? q ?1 , L , an 1444 42 4444 3 1444442 444443
M N

( p ? 1, q ? 1 )

经交换 M , N 两段位置,变换为数列 T ( A) :

a1 , ???, ai , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ? q ?1 , L , an 1444442 444443 1444 42 4444 3
N M

.



A0 是有穷数列,令 Ak ?1 ? T ( Ak )(k ? 0,1, 2,L ) . A0 为 3, 2,1 ,且 A2 为 1, 2,3 . 写出数列 A1 ; (写出一个即可) A0 为 9,8, 7, 6,5, 4,3, 2,1, A1 为 5, 4,9,8, 7, 6,3, 2,1, A2 为

(Ⅰ)如果数列 (Ⅱ)如果数列

5, 6,3, 4,9,8, 7, 2,1, A5 为 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 .写出数列 A3 , A4 ; (写出一组即可)
(Ⅲ)如果数列 最小值.

A0 为等差数列:2015, 2014, L ,1, An 为等差数列:1, 2,L , 2015 ,求 n 的

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学(理)答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)D (7)C

2015.5

(4)A (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分)

4n ? 1 (9)2, 3

(10)30 ? ,1

(11)a ? 0 ,a ? a ? 2

(12) ( 2, ??) 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

(13)14

10 ,1] (14) 10 (

a?
解: (Ⅰ)因为

3 6 cos A 2 ,

a?
所以 分

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 2bc .

??????3

因为 c ? 5 , b ? 2 6 ,
2 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .

解得: a ? 3 ,或 分

a??

49 3 (舍).

??????6

cos A ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:

2 6 ?3 ? 3 . 3 6
1 3.

cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ?
所以 分

??????9

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,

cos B ?
所以 分

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? 2ac 3.

??????11

所以 cos 2 A ? cos B . 分 因为 c ? b ? a ,

?????? 12

? A ? (0, ) 3 . 所以
因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2? A . 分 ??????13

另解:因为 A ? (0, ?) ,

sin A ? 1 ? cos 2 A ?
所以

3 3 .

2 6 3 ? sin B 3 3 . 由正弦定理得:
sin B ?
所以

2 2 3 . 3 6 2 2 ? ? ? sin B 3 3 3 .

sin 2 A ? 2 ?
所以 分 因为 c ? b ? a ,

??????12

? ? A ? (0, ) B ? (0, ) 3 , 2 . 所以
所以 ?B ? 2? A . 分 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. ??????3 分 ??????13

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. 分

??????4

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C12 C8 C82 14 C12 33 48 ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 ; C20 95 ; C20 95 ;

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

X
P
分 (Ⅲ)略. 分

0

1

2

33 95

48 95

14 95
?????? 10 ??????13

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情 况进行合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况 对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

P M

(17) (共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM . 因为 AB / / CD , AB ? 2CD ,

A O D C

B

BO AB ? ?2 所以 DO CD .
因为 BM ? 2 MP ,

BM ?2 PM 所以 .

BM BO ? DO . 所以 PM
所以 OM / / PD . ??????2 分

因为 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , 所以 PD / / 平面 MAC . 分 ??????4

(Ⅱ) 证明: 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AD ? AB , 平面 PAD

平面 ABCD ? AD ,

AB ? 平面 ABCD ,
所以 AB ? 平面 PAD . 分 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 AB ? PA . 分 同理可证: AD ? PA . 因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD ??????7 ??????6

AB ? A ,

所以 PA ? 平面 ABCD . 分

??????9

(Ⅲ)解:分别以边 AD, AB, AP 所在直线为

x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由 AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 得 A(0, 0, 0) ,B(0, 2, 0) ,C (2,1, 0) ,D(2,0,0) ,P(0, 0, 2) ,

uuu r uur AC ? (2,1,0) 则 , PB ? (0, 2, ?2) .
由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD .

r n ABCD 所以 平面 的一个法向量为 ? (0,0,1) .

??????10 分

PM uuur uu u r uur uuu r uur ?? (0 ? ? ? 1) AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . 设 PB ,即 PM ? ? PB .所以

u r m AMC 设平面 的法向量为 ? ( x, y, z) ,则
u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, r uuur ?u ? m ? ? ? AM ? 0, 即 ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0.
令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? .

u r m ? (? ?1, 2 ? 2?, ?2?) . 所以

z

??????12

2 因为 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 3 ,

P M

所以

2 1 ? ?? 2 9? ? 10? ? 5 3 ,解得 2.
PM PB
A B y C

| 2? |










D x

1 2.
?????14 分

?

(18) (共 13 分)

解: (Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? e . 故 f ( x ) 的零点为 e . 分 ??????1

1 (? ) ? x 2 ? (1 ? ln x) ? 2 x 2 ln x ? 3 f '( x) ? x ? 2 2 (x ) x3 ( x ? 0 ).

2 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? e . 3

?????? 3

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

f ( x)
f '( x)

3

3

(0, e 2 )

e2

(e 2 , ??)

3

?

3 2

0

?

3 2

f ( x)

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, e ) ,单调递增区间为 (e , ??) . 分

??????6

1 ? x ? 1? ln x ln x 1 ? ln x x g ( x) ? g '( x) ? ? ? f ( x) 2 x .则 x x2 (Ⅱ)令 .


?????? 7

因为

1 1 f ( ) ? 4 ? 4 ln 2 ? 4 ? 4 ? ? 6 2 2 , f (e) ? 0 , 且由 (Ⅰ) 得, f ( x ) 在 (0, e)

内是减函数,

1 x0 ? ( , e) g '( x0 ) ? f ( x0 ) ? 6 . 2 所以 存在唯一的 ,使得
当 x ? [e, ??) 时, f ( x) ? 0 .

y?
所以 曲线 分

ln x x 存在以 ( x0 , g ( x0 )) 为切点,斜率为 6 的切线. ??????10

g '( x0 ) ?


1 ? ln x0 ?6 2 2 ln x0 ? 1 ? 6x0 x0 得: .

2 ln x0 1 ? 6 x0 1 g ( x0 ) ? ? ? ? 6 x0 x0 x0 x0 所以 .

因为

x0 ?

1 2,

1 ?2 ?6 x0 ? ?3 . x 0 所以 ,
所以 分

y0 ? g ( x0 ) ? ?1 .

??????13

(19) (共 14 分)

解: (Ⅰ)依题意得 分

?2a ? 4, ? ? c ? b, ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?

解得: a ? 2 , b ? c ?

2.

?????? 3

x2 y 2 ? ?1 2 所以圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,椭圆 C 的方程为 4 . ??????5
2 2

分 (Ⅱ)解法一:如图所示,设

Qx ( Q , y )0 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ) , ,则
y N

2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 2 ?4 ? x 2 ? y 2 ? 2, 0 ? Q

2 2 ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , ? 2 2 ? xQ ? 2 ? y0 . 即?

P Q A M O B x

??????7 分

AP : y ?
又由

y0 2 y0 ( x ? 2) M (0, ) x0 ? 2 x ? 2 0 得 . y0 2 y0 ( x ? 2) N (0, ? ) x0 ? 2 x0 ? 2 . 得
??????10 分

BP : y ?


uuur 2 y0 xy QM ? ( ? xQ , ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) x0 ? 2 x0 ? 2 , 所以 uuu r 2 y0 xy QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) x0 ? 2 x0 ? 2 .
2 2 uuur uuu r x2 y 2 (4 ? 2 y0 ) y0 2 2 QM ? QN ? xQ ? 20 0 ? 2 ? y0 ? ?0 2 x ? 4 ? 2 y 0 0 所以 .





QM ? QN




y N P

?MQN ? 90? .
14 分

??????

(Ⅱ)解法二:如图所示,设

P( x0 , y0 ) ,
A

Q

M O B x

AP : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 ?4 ? y ? k ( x ? 2) 由? 得

(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 .
8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 ?2 x0 ? 2 x0 ? 2 2k ? 1 ,即 2k ? 1 . 所以
y0 ?

所以

2 ? 4k 2 4k 4k P ( , 2 ) 2 2 2k ? 1 ,即 2k ? 1 2k ? 1 .

4k 2k 2 ? 1 ? ? 1 2 ? 4k 2 2k ?2 2 所以 直线 BP 的斜率为 2k ? 1 .
BP : y ? ?
所以

1 ( x ? 2) 2k .

1 N (0, ) k . 令 x ? 0 得: M (0, 2k ) ,

??????10 分



Q( xQ , y0 )

,则

uuur QM ? (? xQ , 2k ? y0 )

uuu r 1 QN ? (? xQ , ? y0 ) k , .

uuur uuu r 1 2k 2 ? 1 2 2 2 QM ? QN ? xQ ? (2k ? y0 )( ? y0 ) ? xQ ? y0 ?2? ? y0 k k 所以 .
2 2 xQ ? y0 ? 2, y0 ?

因为

4k 2k 2 ? 1 ,

uuur uuu r QM ? QN ?0. 所以
所以 QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? . 分 ??????14

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ) 分 . (Ⅱ) 分

A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 .

??????2

A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1;

??????4

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .
分 (Ⅲ)考虑数列

??????6

A : a1, a2 ,L , an ,满足 a ? a 的数对 a , a 的个数,我们称之为“顺序 i i ?1 i i ?1 A0 : 2015, 2004, L ,1的顺序数为 0 ,等差数列 An :1, 2,L , 2015 的顺序

数” .则等差数列 数为 2014 .

首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对 数列 L , p, a,L , b, c,L , d , q,L ,交换其相邻两段 a, L , b 和 c, L , d 的位置,变换为数列

L , p, c,L , d , a,L , b, q,L .
显然至多有三个数对位置变化. 假设三个数对的元素都改变顺序, 使得相应的顺序数增 加,即由 p ? a, b ? c, d ? q 变为 p ? c, d ? a, b ? q . 分别将三个不等式相加得 p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾. 所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.

其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
分 最后,说明可以按下列步骤,使得数列 对数列

??????10

A1008 为 1, 2,L , 2015 .

A0 : 2015, 2014, L ,1,

A 第 1 次交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 1 :
1008,1007, 2015, 2014,L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1 ;

A 第 2 次交换 2,3,L ,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 2 :
1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;

A 第 3 次交换 3, 4,L ,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 3 :
1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014, L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1 ;
L L ,以此类推

A 第 1007 次交换 1007,1008, L , 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 1007 :
1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ;

A 最 终 再 交 换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009, L , 2014 位 置 上 的 两 段 , 即 得 1008 :
1, 2,L , 2015 .
所以 n 的最小值为 1008. 分 ??????13



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