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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第3部分 专题一 第1讲 送分题——准确解,一分不丢



第一讲 送分题——准确解,一分不丢

高考试卷虽然是选拔性的试卷, 但是试卷中仍然有相当部分的送分题. 所谓送分题是指 知识点基础,数据计算量小,解题方法基本的试题.这部分试题往往因为简单,导致许多考 生思想重视不够,从而失分,特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此.笔者以多年送考的 经验告诉大家,只要处理好以下几个方面的问题,即可达到“送分题,一分不丢”的效果, 使考生能在高考考场上取得开门红,增强考试的信心.

问题一

使用概念要明确

[例 1] (2013· 大连模拟)若复数 z=(a2+2a-3)+(a+3)i 为纯虚数,则 a 的值是( A.-3 C.3 或-1 [尝试解答] B.-3 或 1 D.1

)

[错因] 本题易混淆复数的有关概念,忽视虚部不为零的限制条件.
?a2+2a-3=0, ? [正解] 因为复数 z=(a2+2a-3)+(a+3)i 为纯虚数,所以? 解得 a= ?a+3≠0, ?

1. [答案] D [反思领悟] 利用复数的有关概念解题时,一定要过好审题关,仔细辨析试题中的待求 问题;在准确用好概念的前提下对试题进行解答,这样才能避免应用概念出错.如本题,若 能搞清复数 z 为纯虚数的概念,只需令复数 z 的实部为零,虚部不为零,从而把求参数问题 转化为求方程组解的问题,即可避开概念的陷阱. [例 2] 已知:p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)· (x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分不必要 条件,则实数 m 的取值范围为________. [尝试解答]

[错因] 本题的易错点是对充要条件的概念把握不清,判断错误,并且不会将充要条件 进行转化.

[正解] ∵p:-2≤x-3≤2,1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5. 易得 q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ∴2≤m≤4. ? ?m+1≤5,

[答案] [2,4] [反思领悟] 对充要条件的判定需注意:(1)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一 个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. (2)要注意转化: 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 那么綈 p 是綈 q 的必要不充分条件. 同 理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么綈 p 是綈 q 的充分不必要条件;如果 p 是 q 的充要 条件,那么綈 p 是綈 q 的充要条件. 问题二 作图用图要准确

?4x-4,x≤1, ? [例 3] 函数 f(x)=? 2 的图像和函数 g(x)=log2 x 的图像的交点个数是 ?x -4x+3,x>1 ?

(

) A.4 C.2 [尝试解答] B.3 D.1

[错因] 不能准确作出两函数在相应区间的图像以及两函数图像的相对位置关系,只是 想当然、没有依据地乱作图像,很容易导致错误. [正解] 分别在同一坐标系内作出两函数的图像.如图所示,观察 易知两函数图像有且仅有 3 个交点. [答案] B [反思领悟] 在判断函数图像交点的个数或利用函数图像判断方程 1 解的个数时,一定要注意函数图像的相对位置关系,可以取特殊值验证一下,如取 x= 时, 2 4x-4<log2x,即此时对函数图像上的点应在相应直线的上侧,因此我们可以通过取特殊值 的方法相对准确地确定两函数图像的相对位置关系.

[例 4] 已知函数 f(x)=ax2+bx-1(a,b∈R 且 a>0)有两个零点,其中一个零点在区间 b (1,2)内,则 的取值范围为( a+1 A.(-∞,1) C.(-2,1] [尝试解答] ) B.(-∞,1] D.(-2,1)

[错因] 不能根据函数解析式的特点以及零点所在区间确定 a,b 所满足的条件,导致 找不到解决问题的突破口,或者忽视 a>0 的限制条件,导致错解. [正解] 因为 a>0,所以二次函数 f(x)的图像开口向上,又因为 f(0)=-1,所以要使函 a>0, ? ? 数 f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则有?f?1?<0, ? ?f?2?>0, a>0, ? ? 即?a+b-1<0, ? ?4a+2b-1>0.

如图所示的阴影部分

b 是上述不等式组所确定的平面区域, 式子 表示平面区域内 a+1 的点 P(a,b)与点 Q(-1,0)连线的斜率.而直线 QA 的斜率 k 1-0 = =1,直线 4a+2b-1=0 的斜率为-2,显然不等 0-?-1? 式组所表示的平面区域不包括边界,所以 P,Q 连线的斜率的 取值范围为(-2,1). [答案] D [反思领悟] 本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问题,先结合函数图像 确定函数在指定区间存在零点的条件, 再确定不等式组所表示的平面区域, 将目标函数转化 为平面区域内的点与定点连线的斜率, 根据图形判断其取值范围. 在作图时要注意不等式组 中各个不等式是否带有等号,否则很容易忽视边界值而导致错解.

问题三

思考问题要严谨

[例 5] (2013· 福州模拟)已知数列{an}中 an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增, 则 k 的取 值范围是( )

A.(-∞,2] C.(-∞,2) [尝试解答]

B.(-∞,3) D.(-∞,3]

k [错因] 认为 an 是关于 n 的二次函数,定义域为整数集,又{an}递增,则必有 ≤1,即 2 k≤2,思维不严谨导致解题错误. [正解] an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,由于{an}单调递增,故应有

an+1-an>0,即 2n+1-k>0 恒成立,分离变量得 k<2n+1,故只需 k<3 即可. [答案] B [反思领悟] 函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若 单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所在函数不一定单调,关键原因在于数列是一个 定义域为正整数 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数.故对于数列的单调性的判 断一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断:若 an+1>an,则数列为递增数列;若 an+1<an,则 数列为递减数列. [例 6] 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若 AD =x AB +y AC ,则 x =________,y=________.

??? ?

??? ?

????

[尝试解答]

[错因] 本题想利用向量的基本运算, 但由于计算费时, 时间紧迫, 所以思路出现阻碍, 致使问题无法求解或求解失误. [正解] 以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系,且取单位长度为 AB, 则问题转化为求 D 点坐标(x,y).易知 BC= 2,所以 DE= 2,所以 BD=DEsin 60° = 易知直线 BD 的倾斜角是 45° ,所以 D 点纵坐标 y=BD· sin 45° = BDcos 45° =1+ 3 3 3 ,所以 D 点坐标为?1+ , ?. 2 2 2? ? 3 2 3 2 6 . 2

3 ,D 点的横坐标 x=1+ 2

[答案] 1+

[反思领悟] 在试题中不含有向量的坐标时,要善于根据问题的实际情况,在不改变问 题本质的情况下建立适当的坐标系,把向量问题代数化,可以降低问题的难度.

问题四

特殊情况要谨记

[例 7] 已知 l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0,且 l1∥l2,则 a 的值为( A.0 C.6 [尝试解答] 1 B.- 6 1 D.0 或- 6

)

[错因] 本题易出现忽略直线斜率不存在的特殊情况致误. [正解] 法一:当直线斜率不存在,即 a=0 时,有 l1:3x-5=0,l2:-x-2=0,符合 l1∥l2; 当直线斜率存在时, 3 3a-1 5 2 1 l1∥l2?- = 且 ≠- ?a=- . 2a a 2a a 6 1 故使 l1∥l2 的 a 的值为- 或 0. 6

法二:l1∥l2?3· (-a)-(3a-1)· 2a=0, 1 得 a=0 或 a=- . 6 1 故使 l1∥l2 的 a 的值为 0 或- . 6 [答案] D [反思领悟] 在给定直线的一般方程,利用直线的位置关系,求参数的值时,一定要注 意直线斜率存在性的讨论, 不能想当然地以斜率存在进行求解, 致使答案错误. 为避免讨论, 此类题可采用法二解决. [例 8] (2013· 郑州模拟)过点(0,3)作直线 l 与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,则直线 l 的条数为( A.0 C.2 [尝试解答] ) B.1 D.3

[错因] 本题易只考虑斜率 k 存在的情况, 而忽视斜率 k 不存在以及直线 l 平行于抛物 线对称轴时的两种情形. 1 [正解] 当斜率 k 存在且 k≠0 时,由题中条件知,直线 l 的方程为 y= x+3; 3 9 ? 当 k=0 时, 直线 l 的方程为 y=3, 此时 l 平行于对称轴, 且与抛物线只有一个交点? ?4,3?; 当 k 不存在时,直线 l 与抛物线也只有一个公共点,此时 l 的方程为 x=0. 1 综上,过点(0,3)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线 l 的方程为 y= x+3,y=3, 3 x=0,共 3 条. [答案] D [反思领悟] 解答直线与抛物线位置关系的相关问题时,注意直线与抛物线的两种特殊 的位置关系:直线和抛物线的对称轴垂直与直线和抛物线的对称轴平行. [例 9] 数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{an· an+1}是公比为 q(q>0)的等比数列,则数列 {an}的前 2n 项的和 S2n=________. [尝试解答]

[错因] 对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况,造成概念性错误.再 者没有从定义出发研究条件中的数列{an· an+1}是公比为 q(q>0)的等比数列,得不到数列{an} 的奇数项和偶数项成等比数列,从而找不到解题的突破口,使思维受阻. an+1an+2 an+2 [正解] 由数列{an· an+1}是公比为 q 的等比数列,得 =q? =q,这表明数列 an anan+1 {an}的所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是 q,又 a1=1,a2=2, 所以,当 q≠1 时,S2n=a1+a2+a3+a4+?+a2n-1+a2n=(a1+a3+a5+?+a2n-1)+(a2 a1?1-qn? a2?1-qn? 3?1-qn? +a4+a6+?+a2n)= + = ; 1-q 1-q 1-q 当 q=1 时,S2n=a1+a2+a3+a4+?+a2n-1+a2n =(a1+a3+a5+?+a2n-1)+(a2+a4+a6+?+a2n) =(1+1+1+?+1)+(2+2+2+?+2) =3n. 3?1-q ? ? ? ,q≠1, [答案] ? 1-q ? ?3n,q=1 an+2 [反思领悟] (1)本题中拆成的两个数列都是等比数列,其中 =q 是解题的关键; an (2)不要认为奇数项、偶数项都成等比数列,且公比相等,就是整个数列成等比数列, 解题时要慎重,写出数列的前几项进行观察、比较就能得出正确结论; (3)对等比数列的求和一定要注意公比为 1 这种特殊情况,高考往往就是在此设计陷阱, 使考生考虑的问题不全面而导致解题错误.
n

问题五

问题分类要全面

[例 10] 已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.[3,+∞)

)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞) [尝试解答]

[错因] 本题易忽视对公比大于 0 和小于 0 的讨论. [正解] 因为等比数列{an}中 a2=1, 1? 1 所以 S3=a1+a2+a3=a2? ?1+q+q?=1+q+q. 所以当公比 q>0 时, 1 S3=1+q+ ≥1+2 q 当公比 q<0 时, 1? S3=1-? ?-q-q?≤1-2 1 q·=3(当且仅当 q=1 时,等号成立); q

?-1?=-1(当且仅当 q=-1 时,等号成立). ?-q?· ? q?

所以 S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). [答案] D [反思领悟] 在利用基本不等式解决函数的值域问题时,要注意其使用条件和等号成立 1 a b 的条件,即所谓“一正、二定、三相等”.例如,求函数 y=x+ 的值域和 + 的取值范围 x b a 问题时,要注意分类讨论. 2 [例 11] (2013· 滨州模拟)设函数 f(x)=x- -aln x(a∈R). x (1)当 a=3 时,求 f(x)的极值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [尝试解答]

[错因] 本题的易错点是在讨论函数 y=f(x)的单调性时,因缺乏分类讨论意识,导致解

题错误;或者有分类讨论意识,但分类标准模糊导致分类不全致误. [正解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
2 2 3 x -3x+2 ?x-1??x-2? 当 a=3 时,f′(x)=1+ 2- = = ,令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2 x x x2 x2

=2. f′(x)与 f(x)随 x 的变化如下表: x f′(x) f(x) (0,1) + 递增 1 0 极大值 (1,2) - 递减 2 0 极小值 (2,+∞) + 递增

所以 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=-1; 在 x=2 处取得极小值,f(2)=1-3ln 2.
2 2 a x -ax+2 (2)f′(x)=1+ 2- = . x x x2

令 g(x)=x2-ax+2,其判别式 Δ=a2-8, ①当|a|≤2 2时,Δ≤0,f′(x)≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 a<-2 2时,Δ>0,g(x)=0 的两根都小于 0,所以在(0,+∞)上,f′(x)>0,故 f(x) 在(0,+∞)上单调递增; a- a2-8 a+ a2-8 ③当 a>2 2时,Δ>0,g(x)=0 的两根为 x1= ,x2= ,且都大于 0, 2 2 f′(x)与 f(x)随 x 的变化如下表: x f′(x) f(x) (0,x1) + 递增 x1 0 极大值 (x1,x2) - 递减 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 递增

? a- a2-8?, ?a+ a2-8 ? ?a- a2-8 a+ a2-8? 故 f(x)在?0, 在? ? ? ? ,+∞?上单调递增, , 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?
上单调递减.

? a- a2-8?, 综上,当 a≤2 2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>2 2时,f(x)在?0, ? 2 ? ? ?a+ a2-8 ? ?a- a2-8 a+ a2-8?上单调递减. ? ? ,+∞?上单调递增,在? , 2 2 2 ? ? ? ?
[反思领悟] 判断含参数的单调性问题应注意:先树立分类讨论的思想意识,做题时应 先对问题作深入的研究, 明确其分类的标准, 如本题中要讨论函数 f(x)的单调性, 应讨论 f′(x) 的符号,即讨论 x2-ax+2 的符号,从而应分 Δ≤0 与 Δ>0 两种情况讨论;由于考虑到函数 的定义域为(0, +∞), 应讨论 f′(x)=0 的两根与定义域的关系, 故再次分 a<-2 2和 a>2 2 两种情况.一般地,与 y=ax2+bx+c 有关的讨论有三种依据:a 取值,Δ 取值,根的大小.

问题六

等价转化要严谨

[例 12] 曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有公共点, 则实数 b 的取值范围为________. [尝试解答]

[错因] 本题易直接联立 y= 1-x2与 y=x+b,整理为 2x2+2bx+b2-1=0,然后错误 地认为曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有公共点等价于方程 2x2+2bx+b2-1=0 无解,从 而导致解题错误.

?y= 1-x2, [正解] 如图,根据图像可知:当 b> 2或 b<-1 时,方程组? 无解,即 ?y=x+b
曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有交点.故 b 的取值范围为(-∞,-1)∪( 2,+∞). [答案] (-∞,-1)∪( 2,+∞) [反思领悟] 在研究直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点的个数时,通常联立与曲线的 方程,通过方程组解的个数来判断.但是在解决此类问题时,一定要注意圆或圆锥曲线是否 为完整的圆或圆锥曲线,否则应画出图形,利用数形结合法解决,如本例中曲线 y= 1-x2 表示的图形为半圆而不是整个圆,故应采用数形结合的方法求解. 1 [例 13] 若 sin x+sin y= ,则 sin y-cos2x 的最大值为________. 3 [尝试解答]

1 2 2 2 ? [错因] 本题易将 sin y-cos2x 转化为? ?3-sin x?-cos x=sin x-sin x-3,误认为 sin x ∈[-1,1],致使问题转化不等价而导致解题错误. 1 [正解] 由已知条件有 sin y= -sin x, 3

1 2 ? 且 sin y=? ?3-sin x?∈[-1,1],结合 sin x∈[-1,1],得-3≤sin x≤1, 1 2 而 sin y-cos2x= -sin x-cos2x=sin2x-sin x- , 3 3 2 ? 令 t=sin x? ?-3≤t≤1?, 1 2 11 2 t- ?2- ?- ≤t≤1?, 则原式=t2-t- =? ? 3 ? 2? 12? 3 1 因为对称轴为 t= , 2 2 2 4 故当 t=- ,即 sin x=- 时,原式取得最大值 . 3 3 9 [答案] 4 9

[反思领悟] 在利用换元法解决问题时,要注意换元后自变量取值范围的变化,当题目 条件中出现多个变元时, 要注意变元之间的相互约束条件, 如本例中易忽视等式 sin x+sin y 1 1 = 中两个变量的相互制约,即由于-1≤sin y≤1,所以 sin x 必需满足-1≤ -sin x≤1 这 3 3 个隐含的约束条件.

问题七

推理论证要严谨

[例 14] (2013· 南京师大附中模拟)如图,正方形 ABCD 和 三角形 ACE 所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB= 2EF. (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:BF⊥BD. [尝试解答]

[错因] 本题易失分的原因有以下两点: (1)推理论证不严谨,在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条 件,如证明 BF∥平面 ACE 时,易忽视指明 BF?平面 ACE; (2)线面位置关系的证明思路出错,缺乏转化意识,不知道要证明线线垂直可以通过线

面垂直达到目的. [正解] (1)设 AC 与 BD 交于 O 点,连接 EO. 在正方形 ABCD 中, 2BO=AB, 又因为 AB= 2EF, ∴BO=EF. 又∵EF∥BD, ∴四边形 EFBO 是平行四边形,∴BF∥EO, 又∵BF?平面 ACE,EO?平面 ACE, ∴BF∥平面 ACE. (2)在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 又∵正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, BD?平面 ABCD, 平面 ABCD∩ 平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE. ∵EO?平面 ACE,∴BD⊥EO. ∵EO∥BF,∴BF⊥BD. [反思领悟] 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据线面平行、垂直关 系的判定和性质,进行相互之间的转化,如本题第(2)问是证明线线垂直,但分析问题时不 能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个 平面上),通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的,但证明线面垂直又要借助于线线 垂直,在不断的相互转化中达到最终目的.解决这类问题时要注意推理严谨,使用定理时要 找足条件,书写规范等. [例 15] 已知点 A(x1,ax1),B(x2,ax2) 是函数 y=ax(a>1)的图像上任意不同两点,依据 图像,可知线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图像的上方,因此有结论
x +x a x1 ? a x2 >a 2 2
1 2

成立.运用类比思想,可知若点 C(x1,sin x1),D(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x∈(0,π))的图 像上的不同两点,则类似地有____________成立. [尝试解答]

[错因] 本题通过类比推理,易得“

sin x1+sin x2 x1+x2 >sin ”的错误结论,其错误的原 2 2

因是类比推理不严谨,未真正读懂题意,未能把握两曲线之间相似的性质,导致得出错误结 论. [正解] 运用类比推理与数形结合,可知 y=sin x(x∈(0,π))的图像是上凸,因此线段

CD 的 中 点 的 纵 坐 标

sin x1+sin x2 总 是 小 于 函 数 y = sin x(x ∈ (0 , π)) 图 像 上 的 点 2

?x1+x2,sinx1+x2?的纵坐标,即sin x1+sin x2<sinx1+x2成立. 2 2 2 ? ? 2
[答案] sin x1+sin x2 x1+x2 <sin 2 2

[反思领悟] 类比推理是从特殊到特殊的推理,求解有关类比推理题时,应找出两类事 物之间的相似性和一致性, 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的命 题.类比推理的关键是找到合适的类比对象,否则就失去了类比的意义.

问题八

运算过程要合理

[例 16] 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=1,c= 3. π (1)若角 C= ,则角 A=________; 3 π (2)若角 A= ,则 b=________. 6 [尝试解答]

[错因] 在用正弦定理解三角形时,易出现丢解或多解的错误,如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大,在求得 sin A= asin C 1 π 5π = 后,得出角 A= 或 ;在第(2)问中又因为没有考虑角 c 2 6 6

csin A 3 π π C 有两解,由 sin C= = ,只得出角 C= ,所以角 B= ,解得 b=2,这样就出现了 a 2 3 2 丢解的错误. a c asin C 1 π [正解] (1)由正弦定理 = ,得 sin A= = ,又 a<c,∴A<C,∴A= . sin A sin C c 2 6 (2)由 a c csin A 3 π 2π = ,得 sin C= = ,得 C= 或 . sin A sin C a 2 3 3

π π 当 C= 时,B= ,可得 b=2; 3 2 2π π 当 C= 时,B= ,此时得 b=1. 3 6

π [答案] (1) (2)2 或 1 6 [反思领悟] 已知两边及其中一边的对角解三角形时,注意要对解的情况进行讨论,讨 论的根据:一是所求的正弦值是否大于 1,当正弦值小于或等于 1 时,还应判断各角之和与 180° 的关系;二是两边的大小关系. x2 y2 [例 17] 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1| a b =2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________. [尝试解答]

[错因] 本题容易因忽视特殊情况而出错.因为当点 P 在右顶点处,∠F1PF2=π,所 以 0<∠F1PF2≤π.如果忽视特殊情况,就会出现 0<∠F1PF2<π 的错误. [正解] 如图所示,设|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π),当点 P 在 右顶点处时,θ=π. 由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cos θ,且||PF1|- |PF2||=m=2a. 2c 所以 e= 2a = m2+?2m?2-4m2cos θ m

= 5-4cos θ. 又-1≤cos θ<1,所以 e∈(1,3]. [答案] (1,3] [反思领悟] 本题在求解中稍不注意,就会出现漏掉特殊情况的错误.在平时的训练中 应该加强对解题的监控,注意多研究问题的各种情况,以形成全面思考,周密答题的良好习 惯.这对考生来说,是非常重要的.



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