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第 1 课时

函数及其表示

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2014?考纲下载
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域. 2.了解映射的概念,在实际情景中会根据不同的需要选择 恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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请注意!

本节是函数的起始部分,以考查函数的概念、三要素及表示 法 为 主 , 同 时 函 数 的 图 像 、 分 段 函 数 的 考 查 是 热 点 , 另 外 , 实 际 问题中的建模能力偶有考查.特别是函数的表达式及图像,仍是 2015 年高考考查的重要内容.

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1.函数与映射的概念

函数 两集合 A、B

映射

设A、B是两个 非空数集 . 设A、B是两个 非空集合 . 如果按某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的 任意 一个元素x在集合B中 有唯一 的元素y与之对应 称对应 f:A→B为从集合A 到集合B的一个映射 对应f:A→B是一个映射
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如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中 对应关系 的 任意 一个数x,在集合 f:A→B B中有 唯一 的数f(x)和它 对应 称 f:A→B为从集合A到 名称 集合B的一个函数 y=f(x),x∈A 记法
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2.函 数 1 () 函 数 实 质 上 是 从 一 个 非 空 数 集 到 另 一 个 非 空 数 集 的 映 射 . 2 () 函 数 的 三 要 素 : 3 () 函 数 的 表 示 法 : 4 () 两 个 函 数 只 有 当 个 函 数 才 相 同 .

定义域 值域 对应法则 . 解析法 图像法 列表法 . 定义域和对应法则 都 分 别 相 同 时 , 这 两

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3.分段函数 在一个函数的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,有 着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数,分段函数是一个函 数而不是几个函数.

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1.(课本改编题)判断下列对应是不是从 A 到 B 的 映 射 ? 是 不是从 A 到 B 的函数? ①A={x|x 是锐角},B={y0 |< y≤1},f:x→y=n s i x ②A={衡水市,武汉市,郑州市},B={湖北省,河南省, 湖南省,河北省},f:每一个城市与其所属的省对应 ③A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},f:x→y=(x-2)2.
答案 ①是映射是函数, ②是 映 射 , 不 是 函 数 , ③不是映射,

也不是函数
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2.已知 f(x)=m(x∈R),则 f(m3)等于( A.m3 C. m
答案 B

)

B.m D.不确定

3

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3.设 f,g 都是从 A 到 A 的映射(其中 A={1,2,3}),其对应 关系如下表: x 1 2 3 f 3 1 2 g 3 2 1 则 f(g(3))等于( A.1 C.3
答案 解析 C 由表格可知 g3 () =1,∴f(g3 ( )
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) B.2 D.不存在

=f1 () =3.故选 C.
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4 .函 数 y=f(x)的 图 像 如 图 所 示 , 那 么 , 值域是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

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f ( x) 的 定 义 域 是

_ _ _ _

_;

;其中只与 x 的 一 个 值 对 应 的

y 值 的 范 围 是

答案

[-3 0 ,]

∪2 [ 3 ,]

1 [ 5 ,]

1 [ 2 ,)

∪4 ( 5 ,]

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5.2 (0 1 3 · =_ _ _ _ _ _ _ _ .
答案

福建)已 知 函 数

2x3,x<0, ? ? π f(x)=? 则 f(f(4)) π -a t n x,0≤x<2, ? ?

-2

解析 -2.

π π π ∵f(4)=-a t n 4=-1,∴f(f(4))=f(-1)=2×(-1)3=

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例1 下 列 对 应 是 否 是 从 集 合 数 ?

A到B的 映 射 , 能 否 构 成 函

1 ①A=N,B=Q,f:a→b= ; a+1 1 1 * ②A={x|x=n,n∈N },B={y|y=n,n∈N },f:x→y=a;
*

③A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y,y2=x; ④A={平 面 M内 的 矩 形 的 外 接 圆 .
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},B={平 面 M内 的 圆 },f: 作 矩 形

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【解析】 ①当 a=-1 时,y 值 不 存 在 , 故 它 不 是 映 射 , 更不能构成函数; ②是映射,也是函数,因为 A 中所有元素的倒数都是 B 中 的元素; ③不 是 映 射 , 更 不 是 函 数 , 从 A 到 B 的对应为“一对多”;

④是映射,但不是函数,因为 A、B 不是数集.
【答案】 略

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探 究 1 1 () 映 射 只 要 求 第 一 个 集 合 个 集 合 B中 有 且 只 有 一 个 元 素 与 之 对 应 ; 至 于

A 中 的 每 个 元 素 在 第 二 B中 的 元 素 有 无

原 象 、 有 几 个 原 象 却 无 所 谓 . 2 () 函 数 是 特 殊 的 映 射 : 当 映 射 集 时 , 即 成 为 函 数 . 3 () 高 考 对 映 射 的 考 查 往 往 结 合 其 他 知 识 , 只 有 深 刻 理 解 映 射 的 概 念 才 能 在 解 决 此 类 问 题 时 游 刃 有 余 . f:A→B 中的 A、B 为 非 空 数

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思考题 1 1 () 集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下 列不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A.f:x→y=2x 2 C.f:x→y=3x
【解析】

)

1 B.f:x→y=3x D.f:x→y= x

依据函数概念,集合 A 中任一元素在集合 B 中

都有唯一确定的元素与之对应,选项 C 不符合.
【答案】 C

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2 () 设 a 在 映 射 f 下的象为 2a+a,则 20 在映射 f 下的原象为 ________.

【解析】 2a+a=20,当 a=4 时,24+4=20. 又函数 y=2x+x 为单调递增函数, ∴方程 2a+a=20 有且只有一个解 4. ∴20 在映射 f 下的原象为 4.
【答案】 4

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例 2 么 ?

以 下 给 出 的 同 组 函 数 中 , 是 否 表 示 同 一 函 数 ? 为 什

x 1 () f1:y=x;f2:y=1 . 2 ()
? ?x, f1:y=|x|;f2:y=? ? ?-x,

x>0, x< 0 .

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?1, ? 3 () f1:y=?2, ?3, ? f2: x≤1, 1 < x<2, x≥2 .

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< x<2 x≥2 x x≤1 1 y 1 2 3

4 () f1:y=2x;f2: 如 图 所 示 .

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【解析】1 () 不同 函 数 . 的 定 义 域 为 R.

f1(x) 的 定 义 域 为

{x ∈ R|x≠0 } , f2(x)

2 () 不同函数. f1(x) 的 定 义 域 为 R|x≠0 }. 3 () 同 一 函 数 .

R , f 2 ( x) 的 定 义 域 为

{x ∈

x与y的 对 应 关 系 完 全 相 同 且 定 义 域 相 同 , 它

们 是 同 一 函 数 的 不 同 表 示 方 法 . 4 () 同 一 函 数 . 理 由 同
【答案】

3 () .
; 同 一 函 数 3 ( 4 ( ) )

不同函数1 ( 2 ( ) )

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探究 2 1 () 构成函数的三要素中,定义域和对应法则相同, 则值域一定相同. 2 () 两 个 函 数 当 且 仅 当 定 义 域 和 对 应 法 则 相 同 时 , 是 相 同 函 数.

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思 考 题 2

下 列 各 对 函 数 中 , 表 示 同 一 函 数 的 是

(

)

A.f(x)=lgx2,g(x)=2 g l x B.y=f(x)与 y=f(x+1 ) C.f(u)= 1+u ,g(v)= 1-u 1+v 1-v

D.f(x)=x,g(x)= x2

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【解析】 在 A 中,f(x)的定义域{x|x≠0},g(x)的定义域(0, +∞);在 B 中 , 对 应 关 系 不 同 ; 在 的值域为[0,+∞).
【答案】 C

D 中,f(x)的值域为 R,g(x)

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例 3 求下列函数的解析式: 1 () 已知 f(x)是一次函数,并且 f[f(x)]=4x+3,求 f(x); 2 () 已知 f(2x+1)=4x2+8x+3,求 f(x); 1 1 2 3 () 已知 f(x+x )=x +x2-3,求 f(x); 1 4 () 已知 f(x)-2f(x )=3x+2,求 f(x).

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【 解 析 】

1 () 设 f(x)=a x +b(a≠0 ),

则 f[f(x)]=f(a x +b)=a(a x +b)+b =a2x+a b +b=4x+3 .
2 ? ?a =4, ∴? ? ?ab+b=3,

解 得

? ?a=2, ? ? ?b=1

? - ?a= 或? ? - ?b=

2, 3 .

故 所 求 的 函 数 为

f(x)=2x+1 或 f(x)= - 2x-3 .

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1 2 () 设 2x+1=t, 则 x=2(t-1 ), ∴f(2x+1 ) =f(t) 1 1 2 =4 [ · 2(t-1 ] ) +8 [ · 2(t-1 ] ) +3=t2+2t. ∴f(x)=x2+2x. 1 1 12 2 3 () ∵f(x+x )=x +x2-3=(x+x ) -5, ∴f(x)=x2-5,x∈(-∞, -2 ] ∪[2, + ∞ ).

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1 1 4 () 令 t=x , 则 x= t ,

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1 3 1 3 ∴f( t )-2f(t)= t +2, 即 f(x )-2f(x)=x +2 . 1 ? ?f?x?-2f?x ?=3x+2, ? ?f?1?-2f?x?=3+2, x ? x

与 原 式 联 立 得

2 解 得 f(x)=-x-x -2, 故 所 求 函 数 的 解 析 式 为 2 f ( x) = - x-x -2 .
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【答案】 1 () f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3 2 () f(x)=x2+2x 3 () f(x)=x2-5,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 2 4 () f(x)=-x- x-2

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探 究 3

函 数 解 析 式 的 求 法 f(g(x))=F(x), 可 将 F(x)改 写 成 关 于 x替 代 g(x), 便 得 f(x)的 表 达 式 . (如 一 次 函 数 、 二 次 函 数 )

1 () 凑 配 法 : 由 已 知 条 件 g(x)的 表 达 式 , 然 后 以

2 () 待 定 系 数 法 : 若 已 知 函 数 的 类 型 可 用 待 定 系 数 法 .

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3 () 换 元 法 : 已 知 复 合 函 数 时 要 注 意 新 元 的 取 值 范 围 . 4 () 方 程 思 想 : 已 知 关 于

f(g(x))的 解 析 式 , 可 用 换 元 法 , 此

1 f(x)与 f(x )或 f(-x)等 的 表 达 式 , 可 根

据 已 知 条 件 再 构 造 出 另 外 一 个 等 式 组 成 方 程 组 , 通 过 解 方 程 组 求 出 f ( x) .

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思考题 3 1 () 已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的 解 析 式 .
【解析】 1 () 方 法 一 : 设 u= x+1,则 x=u-1(u≥1).

∴f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1). 即 f(x)=x2-1(x≥1). 方法二:∵x+2 x=( x+1)2-1, 由于 x≥0,所以 x+1≥1. ∴f( x+1)=( x+1)2-1,即 f(x)=x2-1(x≥1).
【答案】 f(x)=x2-1(x≥1)
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2 () 已知 f(x-2)=2x2-9x+13,求 f(x)的 解 析 式 .

【解析】

方 法 一 : 凑 配 法 .

f(x-2)=2x2-9x+13=2(x- f(x)=2x2-x+3.即 所 求 解 析 式 为

2)2-(x-2)+3, 得 对 应 法 则 为 f(x)=2x2-x+3. 方 法 二 : 换 元 法 . 令

x-2=t,则 x=t+2, 代 入 原 函 数 关 系

式,得 f(t)=2 ( · t+2)2-9(t+2)+13=2t2-t+3. 所以 f(x)的 解 析 式 为
【答案】

f(x)=2x2-x+3.

f(x)=2x2-x+3

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3 () 若函数 f(x)满足 f(x)+2f(1-x)=x, 则 f(x)的解析式为____.

【 解 析 】

∵f(x)+2f(1-x)=x,

① ②

∴f(1-x)+2f(x)=1-x. 2 ①-2×②, 得 f(x)=-x+3.

2 【答案】 f(x)=3-x

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1 ? ? ,x∈?-∞,0?, 例 4 已知函数 f(x)=?x 2 ? x ? ,x∈[0,+∞?. g(x)=x+1,求: 1 () g[f(x)];
【思路】

2 () f[g(x)].
本题考查分段函数与复合函数.

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【 解 析 】

1 1 1 () x<0 时,f(x)=x, g[f(x)]=x +1;

x ≥0 时 , f(x)=x,2 g[f(x)]=x2+1 . 1 ? ? +1 ?x<0?, ∴g[f(x)]=?x 2 ? ?x +1 ?x≥0?.

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2 () 由 x+1<0,得 x<-1. 由 x+1≥0,得 x≥-1. ? 1 ? ?x<-1?, ∴f[g(x)]=?x+1 2 ? ??x+1? ?x≥-1?.

1 ? ? +1 ?x<0?, 【答案】 1 () g[f(x)]=?x 2 ? ?x +1 ?x≥0?. ? 1 ? ?x<-1?, 2 () f[g(x)]=?x+1 2 ? ??x+1? ?x≥-1?.
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探究 4 分 段 函 数 、 复 合 函 数 是 高 考 热

点 , 分 段 函 数 体 现 在

不同定义域的子集上,对应法则不同,因此注意选择法则,而复 合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量, 因此要注 意复合函数定义域的变化.

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思考题 4 1 () 2 (0 1 3 · 域为________.

? lg 1x,x≥1, ?o 北京)函数 f(x)=? 2 的值 x ? ?2 ,x<1

【解析】 分段函数是一个函数,其定义域是各段函数定义 域的并集,值域是各段函数值域的并集.当 x≥1 时,o lg 1x≤0,
2

当 x<1 时,0 < 2 x<2,故值域为0 ( 2 ,)
【答案】 (-∞,2)

∪(-∞,0]=(-∞,2).

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2 () 设函数

x-4 ? 2 ?x≤4?, ? f(x)=? ? lg 2?x+1? ?x>4?, ?-o

1 若 f(a)=8,则 f[f(a

+6 ] ) =________.

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? ? ?a≤4, ?a>4, 【解析】 依题意得? a-4 1 或? 1 2 =8 -o lg 2?a+1?=8, ? ? ? ? 解得 a=1. ∴f(a+6)=f7 () =-o lg
28=-3.
-7

1 ∴f[f(a+6 ] ) =f(-3)=2 =128.

1 【答案】 128

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例 5 已知偶函数 f(x),对任意的 x1,x2∈R 恒有 f(x1+x2) =f(x1)+f(x2)+2x1x2+1,则函数 f(x)的 解 析 式 为 ________.

【解析】 取 x1=x2=0,所以 f0 () =2f0 () +1. 所以 f0 () =-1. 因为 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+2x· (-x)+1. 又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=x2-1.
【答案】 f(x)=x2-1
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探究 5 抽象函数问题的处理一般有两种途径: 1 () 看 其 性 质 符 合 哪 类 具 体 函 数 形 式 , 用 具 体 函 数 代 替 抽 象 解决问题. 2 () 利 用 特 殊 值 代 入 寻 求 规 律 和 解 法 .

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思考题 5

设 f ( x) 是 R 上 的 函 数 , 且

f0 () =1, 对 任 意

x,y

∈R 恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)的 表 达 式 .

【 解 析 】

方 法 一 :

∵f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1 ),

令 y=x, 得 f0 () =f(x)-x(2x-x+1 ). ∵f0 () =1,∴f(x)=x2+x+1 . 方 法 二 : 令 x=0, 得 f(-y)=f0 () -y(-y+1 ) =y2-y+1 .再

令 y= - x, 得 f(x)=x2+x+1 .
【答案】 f(x)=x2+x+1
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常用结论记心中,快速解题特轻松: 1. 映 射 问 题 允 许 多 对 一 , 但 不 允 许 一 对 多 ! 换 句 话 说 就 是 允许三石一鸟,但不允许一石三鸟! 2.函数问题定义域优先! 3.抽象函数不要怕,赋值方法解决它! 4.分段函数分段算,然后并到一起保平安.

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本 课 时 主 要 涉 及 到 三 类 题 型 : 函 数 的 三 要 素 , 分 段 函 数 , 函 数 的 解 析 式 . 通 过 例 题 的 讲 解 (有 些 题 目 直 接 源 于 教 材 ), 一 方 面

使 学 生 掌 握 各 类 题 型 的 解 法 ; 另 一 方 面 , 也 要 教 给 学 生 把 握 复 习 的 尺 度 , 教 学 大 纲 是 高 考 命 题 的 依 据 , 而 教 材 是 贯 彻 大 纲 的 载 体 ,

研 习 教 材 是 学 生 获 取 知 识 、 能 力 的 重 要 途 径 . 从 近 几 年 的 新 课 标 高 考 试 题 可 以 看 到 , 高 考 试 题 严 格 遵 循 教 学大纲及《高考大纲》 ,有一定数量的试题直接源自教材,这就 要 求 我 们 在 教 学 过 程 中 要 紧 扣 教 材 和 大 纲 , 全 面 、 系 统 地 抓 好 对 基 础 知 识 、 基 本 技 能 、 基 本 思 想 和 方 法 的 教 学 , 对 各 模 块 的 内 容 要 注 重 全 面 , 更 要 突 出 重 点 , 对 重 点 内 容 、 通 解 通 法 要 讲 清 讲 透 .
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1 1.已知 fg l ( x)=x ,则 f1 () =_ _ _ _ _ _ _ _ . 1 答案 10 解析 f1 () =fg l ( 1 0 ) 1 =10.

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2. 电 信 资 费 调 整 后 , 市 话 费 标 准 为 : 通 话 时 间 不 超 过 收费 0.2 元;超过 3 m n i 1 m n i 按1 m n i 以后,每增加 1 m n i

3 m n i 收费 0.1 元,不足 tm (n i) 的函数

计 费 , 则 通 话 收 费 )

s(元)与 通 话 时 间

图像可表示为图中(

答案

B
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3. 已 知 函 数 A.o lg C.o lg
答案
32 32

x ? 3 ? ,x≤1, f(x)=? ? ?-x,x>1,

若 f(x)=2,则 x 等于(

)

B.-2 或-2 D.2

A
32;

解析 当 x≤1 时,3x=2,∴x=o lg

当 x>1 时,-x=2,∴x=-2(舍去). ∴x=o lg
32.

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4. 已 知 集 合

M={-1,1,2,4},N={0,1,2}, 给 出 下 列 四 个 对 其 中 能 构 2|x|,

应法则:①y=x2,②y=x+1,③y=2x,④y=o lg 成从 M 到 N 的函数的是________.
答案 ④

解析

对于①、②,M 中的 2,4 两元素在 N 中找不到象与之

对应,对于③,M 中的-1,2,4 在 N 中没有象与之对应.

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1 1 2 5.已知 f(x-x )=x +x2,则 f3 () =_ _ _ _ _ _ .
答案 11

1 12 解析 ∵f(x-x )=(x-x ) +2, ∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f3 () =32+2=1 1 .

讲评 关键是求 f(x)的 解 析 式 . 用 配 凑 法 , 即 1 +2.由于 x-x 可以取到全体实数,∴f(x)的 定 义 域 为

1 12 x +x2=(x-x)
2

R.

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6.如图所示,函数 f(x)的 图 像 是 折 线 段 C 的坐标分别为0 ( 4 ,) ,2 ( 0 ,) ,6 ( 4 ,) ,则 f(f0 ( )

ABC,其中 A,B, =________.

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答案

2

解析 由图及题中已知可得
? ?-2?x-2?,0≤x≤2, f(x)=? ? ?x-2,2<x≤6,

f0 () =4,f(f0 ( )

=f4 () =2.

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