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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件:第二章 2.1函数及其表示


数学 B(理)

第二章 函数概念与基本初等数 I

§2.1 函数及其表示

? 基础知识·自主学习
? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

基础知识·自主学习
1.函数的基本概念

知识梳理

(1)函数的定义
设集合A是一个 非空的数集 ,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法

则f,都有唯一确定的数 y与它对应,则这种对应关系叫做集合 A上
的一个函数,记作 y=f(x),x∈A .

(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,其中所有x组成的集合A称为函数y=f(x)的

定义域 ;将所有y组成的集合叫做函数y=f(x)的 值域 .

基础知识·自主学习
(3)函数的三要素: 定义域 、 对应法则 和 值域 . (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 . (5)分段函数

知识梳理

若函数在其定义域的不同子集上,因 对应法则 不同而分别用几个

不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于各

段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的
是一个函数.

基础知识·自主学习
2.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0

知识梳理

2n

f?x?,n∈N+

1 与[f(x)]0 f?x?
logaf(x)(a>0,a≠1)
logf(x)g(x)

f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0

基础知识·自主学习
tan f(x) f(g(x))(f(x)定义域为[a,b]) 四则运算组成的函数

知识梳理

π f(x)≠kπ+2,k∈Z
a≤g(x)≤b的解集 各个函数定义域的交集

实际问题
3.函数解析式的求法

使实际问题有意义

求函数解析式常用方法有 待定系数法 、换元法 、配凑法、消去法.

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 x (1)f(x)= 与g(x)=x是同一个函数.( × ) x (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( ×
(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义域为

)

{x|1≤x<5}.( ×

)

基础知识·自主学习
? 1-x2 ?-1≤x≤1?, (4)f(x)=? ?x+1 ?x>1或x<-1?, ? 1-x2 ?-1≤x≤1?, 则 f(-x)=? (√ ?-x+1 ?x>1或x<-1?.

知识梳理

)

(5)函数是特殊的映射.( √

)

(6)函数 f(x)= x2+3+1 的值域是{y|y≥1}.( × )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
C C {3,0}
①②

解析

2
3

4

对于①函数是映射,但映射不一定是函数; 对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数; 对于③函数y=2x (x∈N)的图象不是一条直线; 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

函数的概念
?x≥0? 表示同一函数; ?x<0?

有以下判断: ? ?1 |x| ①f(x)= 与 g(x)=? x ? ?-1

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; ? ?1?? ? ?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ? f ? ?2??=0. ? ? ?? 其中正确判断的序号是________.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

函数的概念
?x≥0? 表示同一函数; ?x<0?

有以下判断: ? ?1 |x| ①f(x)= 与 g(x)=? x ? ?-1

②函数 y=f(x)的图象与直线 x= |x|1 的交点最多有 1 个; 解析 对于①,由于函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而 xt+1 是同一函数; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2 ? ?1?? ? ?x≥0? ? ? ?? ?1 ④ 若 f ( x ) = | x - 1| - | x | ,则 f ? ?f ?2??=0.R,所以二者不是同一函数; 函数 g(x)= 的定义域是 ? ? ?? ? ?-1 ?x<0? 其中正确判断的序号是________.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

函数的概念

有以下判断: ? ?x≥0? ?1 |x| ①f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ? - 1 ? x <0 ? ? 对于②,若 = 1不是y=f(x)定义域内的值,则直线 x= 1与y=f(x)的 ② 函数 y=fx (x )的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③ f(x)=x2-2x+1 与 x g= (t)1 = t2 - 2 1 是同一函数; 图象没有交点,如果 是 y = ft (+ x) 定义域内的值,由函数定义可 ? ?1?? ? ?? 知,直线 x= 1与 y- =|f (|x )的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直 ④ 若 f(x)= |x- 1| x ,则 f? f ? ?2??=0. ? ? ?? 线x=1最多有一个交点; 其中正确判断的序号是 ________.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

函数的概念

有以下判断: ? ?x≥0? ?1 |x| ? 对于③, x)与 (= t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以 f(x)和 ① f(x)= f( 与 g(g x) 表示同一函数; x ? ?-1 ?x<0? g(t)表示同一函数; ②函数 y=f(x)的图象与直线 = 1 ?1? ?1 ? x ?1 ? 1 的交点最多有 ? ?1? ? 个; 2 ? ?=0,所以 f ?f ? ??=f(0)=1. ? ?=? -1?- 对于 ,由于 ③ f(x④ )= x2-2xf+ 1 与 g ( t ) = t ?2? ?2 ? - ?22 ? t+1 是同一函数; ? ?2?? ? ?1?? ? .?? 综上可知,正确的判断是 ②③ ④ 若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f? f ? ?2??=0. ? ? ??

答案 ②③ 其中正确判断的序号是 ________.

题型分类·深度剖析
思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定;当且仅

当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是, 函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相 同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按 照这两个对应法则算出的函数值是否相同).

题型分类·深度剖析
跟踪训练1
(1)下列各组函数中,表示同一函数的是( )

A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1

题型分类·深度剖析
解析 (1)A中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x).
B中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x (x≥0), ∴两函数的定义域不同.

C中,f(x)=x+1 (x≠1),g(x)=x+1(x∈R),
∴两函数的定义域不同.

D 中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0), f(x)的定义域为 {x|x≥1};

题型分类·深度剖析

g(x)= x2-1(x2-1≥0),

g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1}. ∴两函数的定义域不同.故选A.

答案 A

题型分类·深度剖析
(2)下列四个图象中,是函数图象的是( B )

A.①

B.①③④

C.①②③

D.③④

解析 由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知②不是函数图
象,①③④是函数图象.

题型分类·深度剖析 题型二 求函数的解析式
解析 答案

2 例2 (1)已知 f( +1)=lg x,则 f(x) x =___________.

题型分类·深度剖析 题型二 求函数的解析式
解析 答案

2 2 例2 (1)已知 f( +1)=lg x,则 f(x) (换元法)令 t= +1(t>1), x x 2 则 x= , =___________. t-1

2 ∴f(t)=lg , t-1 2 即 f(x)=lg (x>1). x-1

题型分类·深度剖析 题型二 求函数的解析式
解析 答案

2 2 例2 (1)已知 f( +1)=lg x,则 f(x) (换元法)令 t= +1(t>1), x x 2 2 lg (x>1) 则 x= , x -1 =___________. t-1

2 ∴f(t)=lg , t-1 2 即 f(x)=lg (x>1). x-1

题型分类·深度剖析
解析 答案

例2 (2) 已知 f(x) 是一次函数,且满
足 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 2x + 17 ,则 f(x)=________.

题型分类·深度剖析
解析 答案

例2 (2) 已知 f(x) 是一次函数,且满 (待定系数法) 设f(x)=ax+b(a≠0),
足 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 2x + 17 ,则 f(x)=________.

则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+ 3a + 3b - 2ax + 2a - 2b = ax +5a+b,

即ax+5a+b=2x+17不论x
为何值都成立,

题型分类·深度剖析
解析 答案

例2 (2) 已知 f(x) 是一次函数,且满

?a=2, ∴? ?b+5a=17, 足 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 2x + 17 ,则
f(x)=________.

?a=2, 解得? ?b=7,

∴f(x)=2x+7.

题型分类·深度剖析
解析 答案

例2 (2) 已知 f(x) 是一次函数,且满

?a=2, ∴? ?b+5a=17, 足 3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 2x + 17 ,则

2x+7 f(x)=________.

?a=2, 解得? ?b=7,

∴f(x)=2x+7.

题型分类·深度剖析
1 例2 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f( )· x-1, x 则 f(x)=_____________.

解析 (消去法)
1 1 在 f(x)=2f( ) x-1 中,用 代替 x, x x

1 1 得 f( )=2f(x) -1, x x

题型分类·深度剖析
1 例2 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f( )· x-1, x 2 1 x+ 3 3 则 f(x)=_____________.
1 2f?x? 1 将 f( )= -1 代入 f(x)=2f( ) x-1 中, x x x

2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3

题型分类·深度剖析
1 例2 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f( )· x-1, x 2 1 x+ 3 3 则 f(x)=_____________.
函数解析式的求法 2 1 x+ 3 3 (1)待定系数法:若已知函数的类型 (如一次函数、二次函数),可 用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要 注意新元的取值范围;

题型分类·深度剖析
1 例2 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f( )· x-1, x 2 1 x+ 3 3 则 f(x)=_____________.
2 1 x+ (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的 3 3
表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;
1? ? (4)消去法:已知f(x)与f 或 f(-x)之间的关系式,可根据已知条件 x? ?
? ? ? ?

再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)=______________. x2-1(x≥1)
解析 设 x+1=t(t≥1),则 x=t-1.
代入 f( x+1)=x+2 x,

得f(t)=t2-1(t≥1),
∴f(x)=x2-1(x≥1).

题型分类·深度剖析
(2)(2013· 安徽 ) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x + 1) = 2f(x) .若当 x?x+1? 0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=- _________. 2
解析 当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1,

1 1 由已知 f(x)= f(x+1)=- x(x+1). 2 2

题型分类·深度剖析
(3)已知2f(x)-f(-x)=lg(x+1),x∈(-1,1),求f(x)的解析式. 解 ∵2f(x)-f(-x)=lg(x+1),

∴2f(-x)-f(x)=lg(1-x),
?2f?x?-f?-x?=lg?x+1?, 解方程组? ?2f?-x?-f?x?=lg?1-x?

2 1 得 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x)(-1<x<1). 3 3

题型分类·深度剖析 题型三
例3

求函数的定义域

解析

答案

思维升华

1 x (1) 函数 f(x) = ln +x 2 的 x-1

定义域为( A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)

)

D.(0,1)∪(1,+∞)

题型分类·深度剖析 题型三
例3

求函数的定义域

解析

答案

思维升华

1 x (1) 函数 f(x) = ln +x 2 的 x-1

定义域为( A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1)

)

? x ? >0, x - 1 由? ?x≥0, ?

解得 x>1,

1 x 故函数 f(x)=ln +x 2 的定 x-1

义域为(1,+∞).

D.(0,1)∪(1,+∞)

题型分类·深度剖析 题型三
例3

求函数的定义域

解析

答案

思维升华

1 x (1) 函数 f(x) = ln +x 2 的 x-1

定义域为( B ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)

? x ? >0, x - 1 由? ?x≥0, ?

解得 x>1,

1 x 故函数 f(x)=ln +x 2 的定 x-1

义域为(1,+∞).

题型分类·深度剖析 题型三
例3

求函数的定义域

解析

答案

思维升华

1 x (1) 函数 f(x) = ln +x 2 的 x-1

简单函数定义域的类型及
求法 (1)已知函数的解析式,则

定义域为( B ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)

构造使解析式有意义的不
等式(组)求解.

题型分类·深度剖析 题型三 求函数的定义域
解析 答案 思维升华
1 x (2)抽象函数: +x 2 的 例3 (1) 函数 f(x) = ln x-1 ① 若已知函数 f(x) 的定义域为 定义域为( B ) [a , b] ,则函数 f[g(x)] 的定义 A.(0,+∞) 域由不等式a≤g(x)≤b求出; B.(1,+∞) ②若已知函数f[g(x)]的定义域 C.(0,1) 为[a,b],则f(x)的定义域为 D.(0,1)∪(1,+∞) g(x)在x∈[a,b]时的值域.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)(2013· 大纲全国)已知函数

f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为(
A.(-1,1) C.(-1,0)

)

1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)(2013· 大纲全国)已知函数

f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为(
A.(-1,1) C.(-1,0)

由-1<2x+1<0, 1 解得-1<x<- , 2
故函数 f(2x+1)的定义域为 1 (-1,- ). 2

)

1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)(2013· 大纲全国)已知函数

f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( B )
A.(-1,1) C.(-1,0) 1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2

由-1<2x+1<0, 1 解得-1<x<- , 2
故函数 f(2x+1)的定义域为 1 (-1,- ). 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)(2013· 大纲全国)已知函数

f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( B )
A.(-1,1) C.(-1,0) 1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2

简单函数定义域的类型及
求法 (1)已知函数的解析式,则

构造使解析式有意义的不
等式(组)求解.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)(2013· 大纲全国)已知函数

f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( B )
A.(-1,1) C.(-1,0) 1 B.(-1,- ) 2 1 D.( ,1) 2

(2)抽象函数: ① 若已知函数 f(x) 的定义域为 [a , b] ,则函数 f[g(x)] 的定义 域由不等式a≤g(x)≤b求出; ②若已知函数f[g(x)]的定义域 为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3
(1)已知函数 f(x)的定义域是[0,2] ,则函数 g(x)= 1 3 1 1 [ , ] 2 2 . f(x+ )+f(x- )的定义域是________ 2 2

解析 因为函数f(x)的定义域是[0,2], 1 1 所以函数 g(x) = f(x + ) + f(x - ) 中的自变量 x 需要满足 2 2 1 3 1 ? 解得: ≤x≤ , 0 ≤ x + ≤ 2 , 2 2 ? 2 ? 1 3 ?0≤x-1≤2, 所以函数 g(x)的定义域是[ , ]. 2 2 ? 2

题型分类·深度剖析
ln?x+1? -x2-3x+4

(2)函数 y=

(-1,1) 的定义域为____________ .

解析

?x+1>0, 由? 2 得-1<x<1. ?-x -3x+4>0,

题型分类·深度剖析 题型四
例4

分段函数
(1) 已 知 函 数 f(x) =

解析

答案

思维升华

x ? ?2 ,x>0, ? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则 )

实数 a 的值等于( A.-3 C.1 B.-1 D.3

题型分类·深度剖析 题型四
例4

分段函数
(1) 已 知 函 数 f(x) =

解析

答案

思维升华

由题意知f(1)=21=2.
∵f(a)+f(1)=0,

x ? ?2 ,x>0, ? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则 )

∴f(a)+2=0.
①当a>0时,f(a)=2a,

实数 a 的值等于( A.-3 C.1 B.-1 D.3

2a+2=0无解;
②当a≤0时,f(a)=a+1,

∴a+1+2=0,∴a=-3.

题型分类·深度剖析 题型四
例4

分段函数
(1) 已 知 函 数 f(x) =

解析

答案

思维升华

由题意知f(1)=21=2.
∵f(a)+f(1)=0,

x ? ?2 ,x>0, ? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则

∴f(a)+2=0.
①当 a>0 时, f(a) = 2a,2a + 2

实数 a 的值等于( A ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

=0无解;
②当a≤0时,f(a)=a+1,

∴a+1+2=0,∴a=-3.

题型分类·深度剖析 题型四
例4

分段函数
(1) 已 知 函 数 f(x) =

解析

答案

思维升华

x ? ?2 ,x>0, ? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则

(1) 分段函数是一个函数, “分段求解”是解决分段

实数 a 的值等于( A ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

函数的基本原则.

题型分类·深度剖析 题型四
例4

分段函数
(1) 已 知 函 数 f(x) =

解析

答案

思维升华

?2x,x>0,

(2) 在求分段函数值时,一
定要注意自变量的值所在

? ? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则

的区间,再代入相应的解
析式;自变量的值不确定

实数 a 的值等于( A ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

时,要分类讨论.

题型分类·深度剖析
例4 (2) 设函 数 y = f(x) 在 R 上 有 定
解析 答案 思维升华

义.对于给定的正数M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则称函数 ? ?M,f?x?>M,

fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定 函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0) 的值为( A.2 C. 2 ) B.1 D.- 2

题型分类·深度剖析
例4 (2) 设函 数 y = f(x) 在 R 上 有 定
解析 答案 思维升华

义.对于给定的正数M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则称函数 ? ?M,f?x?>M,

由题设f(x)=2-x2≤1,得 当x≤-1或x≥1时,fM(x)=

fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定 函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0) 的值为( A.2 C. 2 ) B.1 D.- 2

2-x2;
当-1<x<1时,fM(x)=1.

∴fM(0)=1.

题型分类·深度剖析
例4 (2) 设函 数 y = f(x) 在 R 上 有 定
解析 答案 思维升华

义.对于给定的正数M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则称函数 ? ?M,f?x?>M,

由题设f(x)=2-x2≤1,得 当x≤-1或x≥1时,fM(x)=

fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定 函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0) 的值为( B A.2 C. 2 ) B.1 D.- 2

2-x2;
当-1<x<1时,fM(x)=1.

∴fM(0)=1.

题型分类·深度剖析
例4 (2) 设函 数 y = f(x) 在 R 上 有 定
解析 答案 思维升华

义.对于给定的正数M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则称函数 (1) 分段函数是一个函数, ? ?M,f?x?>M,

fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定 “分段求解”是解决分段 函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0) 的值为( B A.2 C. 2 ) B.1 D.- 2

函数的基本原则.

题型分类·深度剖析
例4 (2) 设函 数 y = f(x) 在 R 上 有 定
解析 答案 思维升华

义.对于给定的正数M,定义函数 ? ?f?x?,f?x?≤M, fM(x) = ? 则称函数 ? ?M,f?x?>M,

(2) 在求分段函数值时,一
定要注意自变量的值所在

fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定 函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(0) 的值为( B A.2 C. 2 ) B.1 D.- 2

的区间,再代入相应的解
析式;自变量的值不确定

时,要分类讨论.

题型分类·深度剖析
跟踪训练4 (1)已知函数
? ?log3x,x>0, f(x)=? x ? ?2 ,x≤0,

1 1 则 f(f( ))=________. 4 9

解析

1 1 1 -2 f(f( ))=f(log3 )=f(-2)=2 = . 9 9 4

题型分类·深度剖析
(2)设函数
x ? ?2 ?x≤0?, f(x)=? ? ?|log2x|?x>0?,

1 则方程 f(x)= 的解集为 2

2 {-1, , 2} 2 ____________________ .
1 解析 当 x≤0 时,解 2 = 得 x=-1; 2
x

1 2 当 x>0 时,解|log2x|= 得 x= 或 x= 2. 2 2 ? ? ? ? 1 2 ? 所以方程 f(x)= 的解集为?-1, , 2? . ? 2 2 ? ?

题型分类·深度剖析 易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
典例:已知实数a≠0,函数f(x)= f(1+a),则a的值为________.
易 错 分 析
? ?2x+a,x<1, 若f(1-a)= ? ? ?-x-2a,x≥1,

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析 易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
典例:已知实数a≠0,函数f(x)= f(1+a),则a的值为________.
易 错 分 析
? ?2x+a,x<1, 若f(1-a)= ? ? ?-x-2a,x≥1,

解 析

温 馨 提 醒

本题易出现的错误主要有两个方面: (1)误以为1-a<1,1+a>1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误.

题型分类·深度剖析 易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
典例:已知实数a≠0,函数f(x)= f(1+a),则a的值为________.
易 错 分 析
? ?2x+a,x<1, 若f(1-a)= ? ? ?-x-2a,x≥1,

解 析

温 馨 提 醒

解析

当a>0时,1-a<1,1+a>1,

由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,
3 解得 a=- ,不合题意; 2

题型分类·深度剖析 易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
典例:已知实数a≠0,函数f(x)=
3 - f(1+a),则a的值为________ . 4
易 错 分 析
? ?2x+a,x<1, 若f(1-a)= ? ? ?-x-2a,x≥1,

解 析

温 馨 提 醒

当a<0时,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a,
3 解得 a=- . 4

题型分类·深度剖析 易错警示系列2 分段函数意义理解不清致误
典例:已知实数a≠0,函数f(x)=
3 - f(1+a),则a的值为________ . 4
易 错 分 析
? ?2x+a,x<1, 若f(1-a)= ? ? ?-x-2a,x≥1,

解 析

温 馨 提 醒

(1)对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定,应
分情况求解. (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意 求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此 要检验结果是否符合要求.

思想方法·感悟提高
一是定义域是否相同;二是对应法则是否相同.
2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依 据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行.

1 .在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:

方 法 与 技 巧

3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、 配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

求分段函数应注意的问题: 在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域 的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的 值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围 的并集.

练出高分
1

A组
2
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

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1

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2
3 4

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1 1.(2014· 山东)函数 f(x)= 的定义域为( C ) 2 ?log2x? -1 ? 1? A.?0,2? B.(2,+∞) ? ? ? ? 1? 1? C.?0,2?∪(2,+∞) D.?0,2?∪[2,+∞) ? ? ? ? ? ?x>0, 解析 由题意知? 2 ? ? log x ? >1, 2 ?

1 解得 x>2 或 0<x< .故选 C. 2

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2
3 4

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?x2+1,x≤1, ? 2.设函数 f(x)=?2 ,x>1, ? ?x

则 f(f(3))等于( D )

2 13 B.3 C. D. 3 9 ?2? ?2?2 2 13 ? ? ? ? 解析 由题意知 f(3)= ,f 3 = 3 +1= , 3 9 ? ? ? ?
∴f(f(3))=f
?2? 13 ? ?= . 9 ?3?

1 A. 5

练出高分
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2
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3 .若函数 y = f(x) 的定义域为 M = {x| - 2≤x≤2} ,值域为 N = {y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( B )

解析 可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.

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4.设g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等于( D ) A.-2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7

解析 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.

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2 5. 已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|, 则 f(x)的解析式是( B ) x+|x| A.f(x)=log2x C.f(x)=2-x B.f(x)=-log2x D.f(x)=x-2

1 解析 根据题意知 x>0,所以 f( )=log2x, x 1 则 f(x)=log2 =-log2x. x

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6.下列对应法则是集合P上的函数的是________.(填序号) ①P=Z,Q=N+,对应法则f:对集合P中的元素取绝对值与 集合Q中的元素相对应; ②P = { - 1,1 ,- 2,2} , Q = {1,4} ,对应法则 f : x→y = x2 , x∈P,y∈Q;

③P={三角形},Q={x|x>0},对应法则f:对集合P中的三角
形求面积与集合Q中的元素对应.

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1

A组
2
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解析

由于在①中,集合P中的元素0在集合Q中没有对应元

素,并且③中的集合P不是数集,从而知只有②正确. 答案 ②

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7 1 - 7.已知函数 f(x)=log2 ,f(a)=3,则 a=________. 8 x+1
解析 1 1 7 3 由题意可得 log2 =3,所以 =2 ,解得 a=- . 8 a+1 a+1

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7 ?2x?x≤2?, 4 8.已知 f(x)=? 则 f(log27)=________. ?f?x-2??x>2?

解析

7 log 7 7 4 f(log27)=f(log27-2)=f(log24)= 2 =4.
2

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9.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1, 求函数f(x)的解析式是__________________.

解析 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),又f(0)=0,
∴c=0,即f(x)=ax2+bx.
又∵f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,

练出高分
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1 ? ?a=2, ?2a+b=b+1, ∴? 解得? ?a+b=1, ?b=1. 2 ?
1 2 1 ∴f(x)= x + x. 2 2
答案 1 2 1 f(x)= x + x 2 2

练出高分
10

B组
11

专项能力提升
12

13

14

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B组
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专项能力提升
12

13

14

? 1x ?-? ? ,a≤x<0, 10.已知函数 f(x)=? 2 2 ? - x +2x,0≤x≤4 ?

的值域是[ -8,1] ,则

实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-3] C.[ -3,-1]

) B.[-3,0) D.{-3}

练出高分
10

B组
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12

13

14

解析

当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1];

1a 当 a≤x<0 时,f(x)∈[-( ) ,-1), 2 1 1 所以[- a,-1)?[ -8,1] ,-8≤- a<-1, 2 2

即-3≤a<0. 答案 B

练出高分
10

B组
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专项能力提升
12

13

14

1 1 2 11 11.已知 f(x- )=x + 2,则 f(3)=________. x x
解析 1 1 12 2 ∵f(x- )=x + 2=(x- ) +2, x x x

∴f(x)=x2+2(x≠0),∴f(3)=32+2=11.

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12.已知一次函数 f(x)满足f[f(x)]=3x+2,则f(x)的函数解析式
f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1 . 为_____________________________________

解析 由题意令f(x)=ax+b,
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=3x+2.
2 ? a ? =3, ∴? ? ?ab+b=2,

? ?a= 解得? ? ? b=

3, 3-1,

? ?a=- 或? ? ?b=-

3, 3-1,

∴f(x)= 3x+ 3-1 或 f(x)=- 3x- 3-1.

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10

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12

13

14

13.设函数

2 ? x ? +4x+6,x≤0, f(x)=? ? ?-x+6,x>0,

则不等式 f(x)<f(-1)的解集

(-3,-1)∪(3,+∞) . 是________________________

解析 f(-1)=3,f(x)<3,当x≤0时,x2+4x+6<3,
解得x∈(-3,-1);当x>0时,-x+6<3,

解得x∈(3,+∞),
故不等式的解集为(-3,-1)∪(3,+∞).

练出高分
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14

14. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继
续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作

刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹
车距离y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关 2 x 系:y= +mx+n(m,n是常数).如图是根据 200 多次实验数据绘制的刹车距离 y( 米 ) 与汽车的车

速x(千米/时)的关系图.

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14

(1)求出y关于x的函数表达式;
解 由题意及函数图象, 2 ? 40 ?200+40m+n=8.4, 得? 2 ? 60 +60m+n=18.6, ?200 1 解得 m= ,n=0, 100 x2 x 所以 y= + (x≥0). 200 100

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12

13

14

(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.
x2 x 解 令 + ≤25.2, 200 100
得-72≤x≤70. ∵x≥0,∴0≤x≤70.

故行驶的最大速度是70千米/时.

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