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存在性问题习题(含答案)



全国中小学个性化教育辅导专家
1、 (1) 、因为点 A、B 均在抛物线上,故点 A、B 的坐标适合抛物线方程

------佳绩改变未来

?4a ? c ? 0 ∴? ?a ? c ? ?3

?a ? 1 2 解之得: ? ;故 y ? x ? 4 为所求 ?c ? ?4

y P2 P1

(2)如图 2,连接 BD,交 y 轴于点 M,则点 M 就是所求作的点
?2k ? b ? 0 ?k ? 1 设 BD 的解析式为 y ? kx ? b ,则有 ? ,? , ? ? k ? b ? ?3 ?b ? ?2
A O M N C P3 D

x

故 BD 的解析式为 y ? x ? 2 ;令 x ? 0, 则 y ? ? 2 ,故 M (0, ? 2)
B

(3)、如图 3,连接 AM,BC 交 y 轴于点 N,由(2)知,OM=OA=OD=2, ? AMB ? 90 ? 易知 BN=MN=1, 易求 AM ? 2 2 , BM ?
S ? ABM ? 1 2 ?2 2? 1 2
2
2

2

图3

2 ? 2 ;设 P ( x , x ? 4) , 1 2 ? 4? x ? 4 ? 4 ? 2
2

依题意有:

AD ? x ? 4 ? 4 ? 2 ,即:

解之得: x ? ? 2 2 , x ? 0 ,故 符合条件的 P 点有三个:
P1 (2 2 , 4), P2 ( ? 2 2 , 4), P3 (0, ? 4)

2、解: (1)∵二次函数 y ?

1 2

x ? bx ? c 的图像经过点 A(2,0)C(0,-1)
2

? 2 ? 2b ? c ? 0 ∴? ?c ? ? 1

解得: b=-

1 2

c=-1
1 x ?
2

∴二次函数的解析式为 y ?

x ?1 2 2 (2)设点 D 的坐标为(m,0) (0<m<2)

1

∴ OD=m

∴AD=2-m
AD AO ? DE OC

由△ADE∽△AOC 得, ∴
2?m 2 ? DE 1

∴DE=

2?m 2 1 2 2?m 2

∴△CDE 的面积=

×

×m

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------佳绩改变未来

=?

m 4

2

?

m 2

=?

1 4

( m ? 1) ?
2

1 4

当 m=1 时,△CDE 的面积最大 ∴点 D 的坐标为(1,0) (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 y ?
x ? 1 解得:x1=2 2 2 ∴点 B 的坐标为(-1,0) C(0,-1)
2

1 2

x ?
2

1 2

x ?1

设 y=0 则 0 ?

1

x ?

1

x2=-1

设直线 BC 的解析式为:y=kx+b
?? k ? b ? 0 ∴ ? ?b ? ? 1

解得:k=-1

b=-1

∴直线 BC 的解析式为: y=-x-1 0 在 Rt△AOC 中,∠AOC=90 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC= 5 ∵点 B(-1,0) 点 C(0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点 C 为顶点且 PC=AC= 5 时, 设 P(k, -k-1) 过点 P 作 PH⊥y 轴于 H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中

k2+k2= ? 5 ?
10 2

2

解得 k1=

10 2

, k2=-
10 2

10 2

∴P1(

,-

10 2

? 1 ) P2(-



10 2

?1 )

②以 A 为顶点,即 AC=AP= 5 设 P(k, -k-1),过点 P 作 PG⊥x 轴于 G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣ 在 Rt△APG 中 AG2+PG2=AP2 (2-k) +(-k-1) =5 解得:k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, -2) ③以 P 为顶点,PC=AP 设 P(k, -k-1) 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q PL⊥x 轴于点 L,∴L(k,0)
2 2

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全国中小学个性化教育辅导专家 ∴△QPC 为等腰直角三角形, PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= 2 k ∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在 Rt△PLA 中( 2 k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k=
5 2

------佳绩改变未来

∴P4(

5 2

,-

7 2

)
10 2 10 2

综上所述: 存在四个点:P1(

,-

?1 )

P2(-

10 2



10 2

?1 )

P3(1, -2)

P4(

5 2

,-

7 2

)

5、解:(1)设该抛物线的表达式为

y=ax?+bx+c 根据题意,得 a= 解之,得
1 3 2 3

a- b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1 ∴所求抛物线的表达式为 y= x?- ?
3 1 2 3

b= ?

c=-1 x-1

(2)①AB 为边时,只要 PQ∥AB 且 PQ=AB=4 即可。 又知点 Q 在 y 轴上,∴点 P 的横坐标为 4 或-4,这时符合条件的点 P 有两个,分别 记为 P1,P2 . 而当 x=4 时,y= ;当 x=-4 时,y=7,
3 5

此时 P1(4, )P2(-4,7)
3

5

②当 AB 为对角线时,只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可 又知点 Q 在 Y 轴上,且线段 AB 中点的横坐标为 1 ∴点 P 的横坐标为 2,这时符合条件的 P 只有一个记为 P3 而且当 x=2 时 y=-1 ,此时 P3(2,-1) 综上,满足条件的 P 为 P1(4, )P2(-4,7)P3(2,-1)
3 5

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