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2017届高三第一学期第一次月考文科科数学试卷


2017 届高三第一学期第一次月考文科数学试卷
注:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3} , B ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则集合 A ? B 为( A. (0, 3) 2.已知 B. )

??1,3?

C. (?1, 3)

D. (?3, ?1) ) C.-1+i D.-1-i

(1 ? i ) 2 =1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z=( z
B.1-i )

A.1+i

3.0<x<2 是不等式|x+1|<3 成立的( A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.下面各组函数中为相同函数的是 ( ) A.f(x)= ( x ? 1) 2 ,g(x)=x-1 C.f(x)=ln ex 与 g(x)=eln x 5.下列命题中是假命题的是( π A.?x∈(0, ),x>sinx 2 C.?x∈R,3x>0 ) B.?x0∈R,sinx0+cosx0=2 D.?x0∈R,lgx0=0 ) B.f(x)= x 2 ? 1 ,g(x)=
0

x ?1 ?

x ?1

D. f ? x ? ? ? x ? 1? 与g ? x ? ?

1

? x ? 1?

0

?2x,x>0, ? 6.已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? ?x+1,x≤0.

A.-3

B.-1

C.1

D.3 )

7. a ? log 0.7 6 , b ? 60.7 , c ? 0.7 0.6 ,则 a, b, c 的大小关系为( A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

8.下列结论错误的是( ) A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若 ? q ,则 ? p ”互为逆否命题 B. 命题 p : "?x ? ? 0,1? ,1 ? e x ? e( e 是自然对数的底数) , 命题 q : " ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0" , 则 p ? q 为真 C. “ am 2 ? bm 2 ”是“ a ? b ”成立的必要不充分条件

答案第 1 页,总 8 页

D.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 9.函数 f ( x) ? 3x ? 2 ln

| x | 的图象可能是( 2



10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=0,f(x+4)=f(x),且 x∈(-2,0)时,f(x)= 1 2x+ ,则 f(log220)=( 5 A.1 B. ) 4 5 C.-1 4 D.- 5

?2x,x≤0, ? 11.设函数 f(x)=? 函数 y=f[f(x)]-1 的零点个数为________. ? ?log2x,x>0,

A.0

B.1

C.2

D.3

12. 设 函 数 f ? x ? 是 定 义 在

R

上 的 偶 函 数 , 对 任 意 x ? R , 都 有 f ? x? ? f ? x ? 4? , 且 当
x

x ? ? ?2, 0?

?1? 时 , f ? x? ? ? ? ?1 , ?2?

若 在 区 间

? ?2,6?

内 关 于 x 的 方 程

f ? x ? ? log a ? x ? 2 ? ? 0 ? a ? 1? 恰有三个不同的实数根, 则 a 的取值范围是(
A.



?

3, 0

?

B.

?

3

4, 2

?

C. ? 3 4, 2

?

?

D. ? 3 4, 2 ?

?

?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.函数 y= -lg(1-x)的定义域为________. 14.已知 t 为常数,函数 y=|x -2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________. 15.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 有两个公共点,则实数 k 的取值范围为 .
2

3 2 16.设函数 f ( x) ? 2x ? ax ? bx ? 1 的导数是 f′(x), 且函数 f′(x)的图像关于 x ? ?

1 对 2

答案第 2 页,总 8 页

称,f′(1)=0.下列命题正确的有



(3)函数的单调增区间是 ( - ? ,-2)和(1,+ ? ) ; (1)a ? 3, b ? 12 ; (2)a ? 3, b ? ?12 ; (4)函数的极大值是 f (?2) ? 21,函数的极小值是 f (1) ? ?6 ; (5)函数有 3 个零点.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
17.(10 分)化简求值 (1) .

(2) (?4.8) 0 ? (

5 8 ?3 ) ? 2 ?1?log2 ? lg 2 5 ? lg 2(lg 25 ? lg 2) 27

1

18.已知函数 f(x)=x -2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(-∞, 2]上是减函数, 且对任意的 x1, x2∈[1, a+1], 总有|f(x1)-f(x2)| ≤4,求实数 a 的取值范围.

2

1 ? 19.(12 分) (1)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N , M ? ? ?m | ? ? m ? 2 ? ,(1) 4 ? ?
若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求 a 的取值范围. (2)已知命题: “ ?x ? ? x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x 2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题,求实数 m 的取值范围.

答案第 3 页,总 8 页

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? ? (1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ?
2 ?1. 8

?cx ? 1 ?2 ?
? x c
2

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

?1

满足 f (c 2 ) ?

9 . 8

21.(12 分)已知函数 f(x)=-x +ax+1-lnx. 1 (1)若 f(x)在(0, )上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)函数 f(x)是否既有极大值又有极小值?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由.

2

22.(12 分)已知函数 f ( x) ? mx ?

m , g ( x) ? 3ln x . x

(1)当 m ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 x ? (1, e ] ( e 是自然对数的底数)时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 3 恒成立,求实数 m 的 取值范围.

答案第 4 页,总 8 页

参考答案 一、单项选择 1、 【答案】C 2、 【答案】D 3、 【答案】A 4、 【答案】D 5、 【答案】B 6、 【答案】A 7、 【答案】D 8、 【答案】C 9、 【答案】B 10、 【答案】 A 11、 【答案】C 12、 【答案】D 二、填空题 13、 【答案】[0,1) 14、 【答案】1

1 15、 【答案】 (??, ) e
16、 【答案】1,3,4,5 三、解答题 17、 【答案】 (1)0.5; (2)1. 18.答案 (1)2 (2)2≤a≤3
2 2

解析 (1)∵f(x)=(x-a) +5-a (a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数.又定义域和值域均为[1,a],
? ?f(1)=1-2a+5=a, ∴? 解得 a=2. 2 2 ?f(a)=a -2a +5=1. ?

答案第 5 页,总 8 页

(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2. 又 x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a . ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4, 即(6-2a)-(5-a )≤4,解得-1≤a≤3. 又 a≥2,∴2≤a≤3. 19、 【答案】 (1) a ?
2 2

? ? 1 9 ; (2) ?m ? ? m ? 2? . 4 4 ? ?
?N

试题分析: (1)由必要条件转化为集合间的关系,即 M

,结合子集的概念进行运算,

得解; (2)把“ ?x ? ? x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x 2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题转化为方程
x 2 ? x ? m ? 0 在 (?1,1) 上有解,

即 m 的取值集合就是函数 y ? x 2 ? x 在 (?1,1) 上的值域,得结论. 试题解析: (1)因为 x ? N 是 x ? M 的必要条件,所以 M ? N , 当 a ? 1 时,解集 N 为空集、不满足题意; 当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ? x | 2 ? a ? x ? a? ,

则?

1 ? 9 ?2 ? a ? ? ,所以 a? ; 4 4 ? ? a?2

(2)由题意得,方程 x 2 ? x ? m ? 0 在 (?1,1) 上有解,

1 ? 所以 m 的取值集合就是函数 y ? x 2 ? x 在 (?1,1) 上的值域,易得 M ? ? ?m | ? ? m ? 2 ? . 4 ? ?
考点: (1)充分必要条件; (2)函数的应用. 20、 【答案】(1) c ?

? 2 ? 1 ; (2) ? x ?x? 4 2 ? ?

5? ? ? 8? ?

(1)显然 0 ? c ? 1 ,所以 c 2 ? c ,代入相应解析式求出 c ; (2)由(1)确定函数解析式, 对在不同段上的 x 讨论. 试题解析: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c 2 ? c ;由 f (c 2 ) ?

9 1 9 ,即 c3 ? 1 ? ,? c ? . 8 2 8

答案第 6 页,总 8 页

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1, 2? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ,由 f ( x) ? 2 ? 1 得, 8 ?? ? ?2?4 x ? 1, ≤ x ? 1? ? ? ?? ? ?
1 时,解得 2 ? x ? 1 ; 2 4 2 1 5 1 当 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? . 2 8 2
当0 ? x ? 所以 f ( x) ?

? ? 2 5? ? 2 ? x ? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? ? 4 ?

答案 (1)a≤3 (2)a>2 2 1 解析 (1)f′(x)=-2x+a- , x 1 ∵f(x)在(0, )上为减函数, 2 1 1 1 ∴x∈(0, )时,-2x+a- ≤0 恒成立,即 a≤2x+ 恒成立. 2 x x 1 1 设 g(x)=2x+ ,则 g′(x)=2- 2. x x 1 1 1 1 ∵x∈(0, )时, 2>4,∴g′(x)<0,∴g(x)在(0, )上单调递减,g(x)>g( )=3,∴a≤3. 2 x 2 2 (2)若 f(x)既有极大值又有极小值,则 f′(x)=0 必须有两个不等的正实数根 x1,x2,即 2x -ax+1=0 有两个不等的正实数根. Δ >0, 2 ? ? ? ?a -8>0, 故 a 应满足?a ?? ?a>2 2. ?a>0 >0 ? ? 2 ? ∴当 a>2 2时,f′(x)=0 有两个不等的实数根. 不妨设 x1<x2, 1 2 2 由 f′(x)=- (2x -ax+1)=- (x-x1)(x-x2)知,0<x<x1 时 f′(x)<0,x1<x<x2 时 f′ x x (x)>0,x>x2 时 f′(x)<0, ∴当 a>2 2时 f(x)既有极大值 f(x2)又有极小值 f(x1). 21、 【答案】 (1) y ? 5 x ? 4 ; (2) (??,
2

9 e ). 2e ? 2

试题分析: (1)直接运用导数的几何意义求解; (2)借助题设条件运用等价转化的数学思想 先进行转化,再构造运用导数的知识求其值域求解. 试题解析:
答案第 7 页,总 8 页

(1)当 m ? 4 时, f ( x) ? 4 x ? ∴所求切线方程为 y ? 5 x ? 4 .

4 4 , f ' ( x) ? 4 ? 2 , f ' (2) ? 5 ,又 f (2) ? 6 , x x

(2)由题意知, x ? (1, e ) , mx ? 立, ∵ x ? (1, e ) ,∴ x 2 ? 1 ? 0 ,则 m ?

m 2 ? 3ln x ? 3 恒成立,即 m( x ? 1) ? 3x ? 3x ln x 恒成 x
3 x ? 3 x ln x 恒成立. x2 ?1

令 h( x ) ?

?3( x 2 ? 1) ? ln x ? 6 3( x 2 ? 1) ? ln x ? 6 3x ? 3x ln x ,则 ' , , m ? h ( x ) h ( x ) ? ? ? min ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2 x2 ?1

∵ x ? (1, e ) ,∴ h' ( x) ? 0 ,即 h( x) 在 (1, e ] 上是减函数. ∴当 x ? (1, e ) 时, h( x) min ? h( e ) ? ∴ m 的取值范围是 (??, 9 e ) . 2e ? 2 考点:导数的有关知识和综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含 参数 m 的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解 答本题的第一问时,这时 m ? 4 ,求解时先对已知函数 f ( x) ? 4 x ?

9 e . 2(e ? 1)

4 进行求导,再将切点横坐 x

标 x ? 2 代入求得切线的斜率为 k ? 5 ,就可以求出切线的方程为 y ? 5 x ? 4 ; 第二问中的求 m 的取值范围问题则可直接从不等式中分离出参数 m ,再运用导数求其最小值从而使得问题获 解.

答案第 8 页,总 8 页


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