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必修2多媒体教案第二章2.2.1 直线与平面平行的判定



2.2

直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定

2.2.1

1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理; 2.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力;
3.让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.

1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?

a

r />
a ?
记作:

a

?

A

?
a//?

a ??

a ?? ? A

2.如何判断直线和平面平行? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判定直线

与平面有没有公共点.但是,直线无限延长,平面无限延展,
如何保证直线与平面没有公共点呢?

a

?

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇绕着一 边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有公共点,此时 门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象.

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面,封面边
缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系?

A

A

你能抽象概括出 几何图形吗?

B

B

如图,直线a在平面?内的投影是直线b,回答以下问题

1.直线a在平面?内还是在平面?外?
直线a在平面?外 2.直线a与直线b共面吗? a与b共面(因为a∥b)

a
b

?

3.假如直线a与平面? 相交,交点会在哪? 在直线b上

直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行.

a

?
判定直线与平 面平行的条件有 几个,是什么?

b

定理中的三个条件


② ③

a在平面 ? 外,即 a ? ?;
b 在平面 ?
内,即 b ? ?;

a

a 与 b 平行,即 a / / b(平行).

?

b

a ??? ? 用符号语言可概括为:b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?
线线平行?线面平行

例1

求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另

外两边所在的平面.

分析:先写出已知,求证.
再结合图形求证. 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别 AB,AD的中点. ?

A
E

F D
C

B

求证:EF//平面BCD.

A
证明:连接BD. ∵AE = EB,AF = FD, ∴EF//BD(三角形中位线的性质).

E

F D
C

? B

? EF ? 平面BCD, BD ? 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得:

EF//平面BCD.

例2

如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E为 DD1 的中

点, 证明 BD1∥平面AEC. 证明:连结BD交AC于O,连结EO, 在 ?BDD1 中, ∵E,O分别为DD1 与BD的中点, 1 ∥ ∴EO = 2 BD1 而EO ?平面AEC, BD1 ? 平面AEC ∴ BD1∥平面AEC.
A
D1 A1 B1 C1

E D
O

C B

技巧点拨:中点问题可考虑利用中位线的性质解决.

对判定定理的再认识
①它是证明直线与平面平行最常用最简易的方法; ②应用定理时,应注意三个条件是缺一不可的;

③要证明直线与平面平行,只要在这个平面内找出一条直线
与已知直线平行,把证明线面问题转化为证明线线问题.

a

?

b

1.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与

这两个平面的交线的位置关系是( C ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定

2.下列说法正确的是( D ) A.直线l 平行与平面a内的无数条直线平行,则l / /α; B.若直线a在平面α外,则a / / α; C.若直线a / /b,直线b ? α,则a / /α; D.若直线a / /b,b ? α,那么a平行于平面α内的无数直线.

3.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 平面 CC?D?D ; (2)与 AA? 平行的平面是 平面 B?BCC ?, 平面 CC?D?D ; (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C ?D?,

(3)与AD平行的平面是 D?
A?

平面 A?B?C ?D?,
C?

平面 B?BCC?

.

B?
D

C
B

A

4. 如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC, CD,AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面? (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系;

A E H

(3)你能说出图中满足线面平行位置
关系的所有情况吗?

D
B

G F C

解:(1)E、F、G、H四点共面。 ∵在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点. 1 E ∴EH∥BD且 EH = BD 2 同理GF ∥BD且 H D

A

EH ∥GF 且EH=GF

1 GF = BD 2

B
F

G
C

∴E、F、G、H四点共面。 (2) AC ∥平面EFGH

(3)由EF ∥HG ∥AC,得

EF ∥平面ACD
AC ∥平面EFGH HG ∥平面ABC 由BD ∥EH ∥FG,得 BD∥平面EFGH EH ∥平面BCD FG ∥平面ABD

A

E B

H D

G
F C

定义法

判定定理

直线与平面平行 的判定
注意 三个 条件

线线平行?线面平行

不能因为我们感觉不到温暖就否定太
阳的存在;不能因为我们感觉不到真诚就

否定人间真诚的存在。



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