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河北省石家庄市2017届高三冲刺模考数学(理)试题+扫描版含答案



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2017 届石家庄冲刺模考

数学理科答案
一、选择题: 1.B. 7.B. 2.A. 8.A. 3.

D. 9.C. 4.D. 10.C. 5.C. 11.D 6.D. 12.D.

二、填空题: 13. 45 14. 2 15.

10 3

16. 8 .

三、解答题: 17.解析: (Ⅰ)由 cos 2B ? cos 2 A ? 2sin C ? (sin A ? sin C ) ,可得

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A ? sin C .????2 分
根据正弦定理得 a ? c ? b ? ac ,???????4 分
2 2 2

由余弦定理,得

cos B ?

? a 2 ? c2 ? b2 1 ? ,? 0 ? B ? ? ,? B ? .????6 分 3 2ac 2
b ? 2, sin B

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
??????8 分 其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

, ? ? (0,

?
3

)

? A ? (0,


2? ) ,∴ 3

A ? ? ? (? ,

时, (2a ? c)max ? 2 7 , 2 2? ? ? 时, (2a ? c) ? 2 3 , 当 A ?? ? 3 当 A ? ? ? ? 时, (2a ? c) ? 3 .

当 A?? ?

?

2? ? ?) , 3

????10 分

所以 2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ] .即 2a ? c ? ( 3, 2 7] ????12 分

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18. (Ⅰ)证明:由顶点 F 在 AC 上投影为点 G ,可知, FG ? AC . 取 AC 的中点为 O ,连结 OB , GB . 在 Rt ?FGC 中, FG ? 3 , CF ? 在 Rt ?GBO 中, OB ? 3 , OG ?
2 2 2

3 21 ,所以 CG ? . 2 2 1 13 ,所以 BG ? . 2 2

所以, BG ? GF ? FB ,即 FG ? BG .????3 分 ∵ ∴

FG ? AC , FG ? GB , AC ? BG ? G
FG ? 面 ABC .

又 FG ? 面 FGB ,所以面 FGB ? 面 ABC .????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OB ? FG , OB ? AC ,且 AC ? FG ? G 所以

OB ? 面 AFC ,且 FG ? 面 ABC .以 OB 所在直线为 x 轴,OC 所在直线为 y
????8 分

轴,过点 O 作平面 ABC 的垂线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,如图所示:

1 A(0, ?1, 0), B( 3, 0, 0), F (0, ? , 3) , 2 ??? ? 3 E ( 3, ? , 3) , BA ? (? 3, ?1,0) , 2

??? ? ??? ? 3 5 1 BE ? (? , ? , 3), BF ? (? 3, ? , 3) 4 4 2
设平面 ABE , ABF 的法向量分别为 m, n ,则

?? ?

?? ??? ? ?? ? ?m ? BA ? 0 ,则 m ? (1, ? 3, ?1) , ? ? ?? ???? ? ?m ? BM ? 0 ? ??? ? ? ?n ? BA ? 0 ,则 ? ? ? ??? ? ?n ? BF ? 0 ? 1 n ? (1, ? 3, ) , ????10 分 2 ?? ? m ? n 7 85 cos ? ? ?? ? ? , 85 m n

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所以二面角 E ? AB ? F 的余弦值为

7 85 .????12 分 85

19.解析: (Ⅰ)根据已知数据得到如下 2 ? 2 列联表: 甲地 长纤维 短纤维 总计 9 11 20 乙地 16 4 20 总计 25 15 40 ????2 分 根据 2 ? 2 列联表中的数据,可得 K ?
2

40(9 ? 4 ? 16 ?11) 2 ? 5.227 ? 5.024 25 ?15 ? 20 ? 20

????4 分 所 以 , 在 犯 错 误 概 率 不 超 过 0.025 的 前 提 下 认 为 “ 纤 维 长 度 与 土 壤 环 境 有 关 系” . ????6 分 (Ⅱ)由表可知在 8 根中乙地“短纤维”的根数为

15 ?8 ? 3, 40

X 的可能取值为:0,1,2,3,

????8 分

P( X ? 0) ?

3 2 1 C11 C11 C4 44 33 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C15 91 C15 91 1 2 3 C11 C4 C4 66 4 , .????10 分 ? P ( X ? 3) ? ? 3 3 C15 455 C15 455

P( X ? 2) ?


X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P


33 91

44 91

65 455

4 455

E( X ) ? 0 ?

33 44 65 4 364 4 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? ? .????12 分 91 91 455 455 455 5

20.解析: (Ⅰ)依题意有, EA ? QE ? EQ ? PE ? 4 ,??2 分 且 QA ? 4 ,

所以点 E 的轨迹方程为:

x2 ? y 2 ? 1 .????4 分 4

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(Ⅱ)依题意设直线 CD 的方程为: x ? my ? n , 代入椭圆方程 x 2 ? 4 y 2 ? 4 得: (4 ? m2 ) y 2 ? 2mny ? (n2 ? 4) ? 0 且: y1 ? y2 ? ?

2mn n2 ? 4 y y ? ①, ② 1 2 4 ? m2 4 ? m2

????6 分

∵直线 TM : y ?

y1 y ( x ? 2) ,直线 TN : y ? 2 ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2
????8 分

由题知 TM , TN 的交点 T 的横坐标为 4,得:

3 y1 y ? 2 ,即 3 y1 ( x2 ? 2) ? y2 ( x1 ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2
即: 3 y1 (my2 ? n ? 2) ? y2 (my1 ? n ? 2) ,整理得:

2my1 y2 ? (n ? 2) y2 ? 3(n ? 2) y1 ③
将①②代入③得:

2m(n2 ? 4) ?2mn ? (n ? 2)( ? y1 ) ? 3(n ? 2) y1 ????10 分 2 4?m 4 ? m2

化简可得: (n ?1)[m(n ? 2) ? y1 (4 ? m2 )] ? 0 当 m, y1 变化时,上式恒成立,故可得: n ? 1 所以直线 CD 恒过一定点 (1, 0) . 21.解析: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a . ①当 a ? 0 时,则 f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (??, ??) 是单调增函数. ???2 分 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a ,
ln a) 上是单调减函数; 若 x ? ln a , f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,

????12 分

若 x ? ln a , f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (ln a ,? ?) 上是单调增函数.??4 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 当 a ? 0 时 , 函 数 y ? f ( x) 其 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 , 则 有
1 i ? 1, 2) . e xi ? axi ? a ? 0 ,则 a( xi ? 1) ? e xi ? 0 ? xi ?(
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于是 e
x0 ?

x1 ? x2 2

? a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 显 然 C = 90 ° , 所 以

x1 ? x2 ? ( x1 ,x2 ) ,即 y0 ? f ( x0 ) ? 0 ,????6 分 2

由直角三角形斜边的中线性质,可知 所以 y0 ?

x2 ? x1 ? ? y0 , 2

x1 ? x2 x2 ? x1 x ?x ? 0 ,即 e 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2 1 ? 0 ,????8 分 2 2 2

所以 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2

x2 ? x1 ?0, 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? 0. 2

即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] ? 2

x2 ? 1 ?1 x2 ? 1 a x2 ? 1 x1 ? 1 因为 x1 ? 1 ? 0 ,则 a ? 1? ? ? 0 ,????10 分 x1 ? 1 2 x1 ? 1 2

?

?



x2 ? 1 ? t ,所以 at ? a (1 ? t 2 ) ? 1 (t 2 ? 1) ? 0 , 2 2 x1 ? 1

即 a ? 1 ? 2 ,则 (a ? 1)(t ? 1) ? 2. 所以 at ? (a ? t ) ? 1 .????12 分 t ?1

22.解析: (Ⅰ)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? 所以 ? ? 4 ? (
2

?
6

),

3 1 cos ? ? sin ? ) ?????2 分 2 2
2 2

所以圆 C 的普通方程 x ? y ? 2 3x ? 2 y ? 0 .????4 分 (Ⅱ)由圆 C 的方程 x ? y ? 2 3x ? 2 y ? 0 ,可得 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 ,
2 2 2 2

所以圆 C 的圆心是 ( 3,1) ,半径是 2,?????6 分

? 3 x? 3? t ? ? 2 将? ,代入 u ? 3x ? y ,得 u ? 4 ? t ,????8 分 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
又直线 l 过 C ( 3,1) ,圆 C 的半径是 2,所以 ?2 ? t ? 2 , 即 u ? 3x ? y 的取值范围是 [2, 6] .????10 分
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23.解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? x ?1 ? x ? 5 ? x ?1 ? x ? 5 ? 6 , 所以 m ? 6 . (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ????4 分

a 2 ? b2 ? 2ab , a 2 ? c2 ? 2ac , c2 ? b2 ? 2cb

2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2(ab ? ac ? bc) .????6 分 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? (a ? b ? c)2 ,

?????8 分 又 m ? 6 ,所以 a ? b ? c ? 6 ,∴

a2 ? b2 ? c2 ? 12 .????10 分

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